考點(diǎn)一 向量極化恒等式
極化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.
變式：(1)a·b＝eq \f(?a＋b?2,4)－eq \f(?a－b?2,4)，
a·b＝eq \f(|a＋b|2,4)－eq \f(|a－b|2,4).
(2)如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則Aeq \(B,\s\up6(→))·Aeq \(C,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(CB,\s\up6(→))2＝Aeq \(M,\s\up6(→))2－Meq \(B,\s\up6(→))2.
例1 (1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．Beq \(A,\s\up6(→))·Ceq \(A,\s\up6(→))＝4，Beq \(F,\s\up6(→))·Ceq \(F,\s\up6(→))＝－1，則Beq \(E,\s\up6(→))·Ceq \(E,\s\up6(→))的值為________．
(2)(2023·鄭州模擬)如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長度為6的線段EF的中點(diǎn)為B，則eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的取值范圍是________．
規(guī)律方法 利用向量的極化恒等式可以對數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問題．
跟蹤演練1 (1)如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))等于( )
A．1 B.eq \f(1,16) C.eq \f(1,4) D．－eq \f(1,2)
(2)如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)(包含邊界)，且PA⊥PB，則eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的取值范圍是________．
考點(diǎn)二 平面向量“奔馳定理”
定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0.
例2 (1)已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋meq \(OC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(4,7)，則實(shí)數(shù)m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(2023·重慶模擬)△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式S△OBC·eq \(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq \(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若△ABC的三邊為a，b，c，現(xiàn)有a·eq \(OA,\s\up6(→))＋b·eq \(OB,\s\up6(→))＋c·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，則O為△ABC的( )
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
易錯(cuò)提醒 利用平面向量“奔馳定理”解題時(shí)，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)；定理中等式左邊三個(gè)向量的系數(shù)之比對應(yīng)三個(gè)三角形的面積之比．
跟蹤演練2 (1)如圖，設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))，則eq \f(S△AOB,S△ABC)等于( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,3)
(2)(2023·安陽模擬)如圖，已知O是△ABC的垂心，且eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，則tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶4
C．2∶3∶4 D．2∶3∶6
考點(diǎn)三 等和(高)線定理
等和(高)線
平面內(nèi)一組基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP′,\s\up6(—→))，eq \(OP′,\s\up6(—→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線．
(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；
(2)當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；
(3)當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；
(4)當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k＝0；
(5)若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；
(6)定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．
例3 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ的最大值為( )
A．3 B．2eq \r(2) C.eq \r(5) D．2
規(guī)律方法 要注意等和(高)線定理的形式，解題時(shí)一般要先找到k＝1時(shí)的等和(高)線，利用比例求其他的等和(高)線．
跟蹤演練3 如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點(diǎn)P是△BCD內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的取值范圍為( )
A．[2,3] B．[1,2]
C．[1,3] D．[1,4]

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