（注：請在答題卷上答題）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．下列5個實數(shù)中，無理數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．下列計算中錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列命題的逆命題是真命題的是（ ）
A．如果，那么，
B．如果一個三角形有一個角是鈍角，那么它的另外兩個角是銳角
C．角平分線上的點到角兩邊的距離相等
D．全等三角形的周長相等
4．我們經(jīng)常將調(diào)查、收集得來的數(shù)據(jù)用各類統(tǒng)計圖進行整理與表示．下列統(tǒng)計圖中，能凸顯由數(shù)據(jù)所表現(xiàn)出來的部分與整體的關系的是（ ）
A．條形圖B．扇形圖C．折線圖D．頻數(shù)分布直方圖
5．我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一個證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
6．將直角三角形的三條邊長同時擴大為原來的2倍，得到的三角形是（ ）
A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．無法確定
7．某中學八年級（1）班的同學在聽了“天宮課堂”第三課后，組成數(shù)學興趣小組進行了設計傘的實踐活動．康康所在的小組依據(jù)全等三角形的判定設計了截面如圖所示的傘骨結構，當傘完全打開后，測得分別是的中點，，那么的依據(jù)是（ ）
（第7題圖）
A．B．C．D．SSS
8．如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算（ ）
（第8題圖）
A．B．C．D．
9．某數(shù)學興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實踐探究活動．如圖，當張角為時，頂部邊緣處離桌面的高度為，此時底部邊緣處與處間的距離為，小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當張角為時（是的對應點），頂部邊緣處到桌面的距離為，則底部邊緣處與之間的距離為（ ）
（第9題圖）
A．B．C．D．
10．有一個圓柱體新年禮盒，高，底面周長為．現(xiàn)準備在禮盒表面粘貼彩帶作為裝飾，若彩帶一端粘在處，另一端繞禮盒側面2周后粘貼在處（為的中點），則彩帶最短為（ ）
（第10題圖）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．如果，那么的平方根為______．
12．我們用反證法證明命題“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．”時，應先假設______．
13．中，的平分線與邊所夾的銳角為，則______．
14．如圖，所有陰影四邊形都是正方形，兩個空白三角形均為直角三角形，且三個正方形的邊長分別為、10，則正方形的面積為______．
（第14題圖）
15．如圖，在等邊中，于是線段上一點，是邊上一點，且滿足是的中點，連接，則下列四個結論：①；②；③；④當時，，其中正確的有______．（填序號）
（第15題圖）
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16．（12分）（1）；
（2）計算：．
（3）因式分解：；
（4）因式分解：．
17．（7分）先化簡，再求值：，其中，．
18．（9分）《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》已經(jīng)正式實施，新課程標準明確要求要設置勞動課程．某校利用課外活動時間開設了“廚藝、園藝、電工、木工、編織”五大類勞動課程．為了解八年級學生對每類課程的選擇情況，隨機抽取了八年級若干名學生進行調(diào)查（每人必選且只選一類最喜歡的課程），將調(diào)查結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：
（1）本次共調(diào)查了______名學生；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）扇形統(tǒng)計圖中，的值為______；“編織”所對應的圓心角的度數(shù)為______；
（4）若該校八年級共有1000名學生，請估計該校八年級學生選擇“電工”勞動課的人數(shù)．
19．（10分）如圖，已知點以及直線，垂足為點．
（1）過點作，垂足為點；
（2）在直線上求作一點，使；
（要求：第（1）、（2）小題用尺規(guī)作圖，并在圖中標明相應字母，保留作圖痕跡，不寫作法．）
（3）在所作的圖中，連接，若，求證：．
20．（7分）如圖，在中，是邊上的中點，．
（1）求的大小．
（2）若，求的長．
21．（7分）周末，小明和小亮去漢風公園放風箏，為了測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：
①測得水平距離的長為12米；
②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為20米；
③牽線放風箏的小明的身高為1.65米．
（1）求風箏的垂直高度；
（2）如果小明想風箏沿方向下降7米，則他應該往回收線多少米？
22．（10分）在數(shù)學課本第12章《整式乘除》里學習了兩數(shù)和的平方公式，還記得它是如何被發(fā)現(xiàn)的嗎？
如圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是，如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．
圖1 圖2 圖3 圖4
類比探究一：
（1）如圖2，正方形是由四個邊長分別是的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的法對圖2的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用表示）；
類比探究二：
（2）如圖3，正方形的邊長是，它由四個直角邊長分別是的直角三角形和中間一個小正方形組成的，對圖3的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的式子是______（用，表示，結果化為最簡）；
應用探索結果解決問題：
（3）如圖3，正方形的邊長是，它由四個直角邊長分別是的角三角形和中間一個小正方形組成的，當時，求的值．
（4）如圖4，將四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形．若該圖形的周長為．則該圖形的面積為______．
23．（13分）若和均為等腰三角形，且，當和互余時，稱與互為“底余等腰三角形”，的邊上的高叫做的“余高”．
圖1 圖2
（1）如圖1，與互為“底余等腰三角形”．若連接，判斷與是否互為“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；
（2）如圖1，與互為“底余等腰三角形”．當時，若的“余高”是．
①請用直尺和圓規(guī)作出（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
②求證：
如圖2，當時，與互為“底余等腰三角形”，連接、，若，請求出的長．
2023-2024學年八年級（上）數(shù)學期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
BDCBD CDAAD
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11、
12、三個內(nèi)角都大于（或每個內(nèi)角、各個內(nèi)角或三角形中沒有一個內(nèi)角小于等于均可）
13、或14、3915、①③④
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16．【12分】解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式．
17、【7分】解：
，
當時，
原式
．
18、【9分】解：（1）本次隨機調(diào)查的學生人數(shù)為（名），
故答案為：60；
（2）“電工”的頻數(shù)為（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：
（3），即，
“編織”所對應的圓心角的度數(shù)為，
故答案為：25，；
（4）（人），
答：該校八年級1000名學生中選擇“電工”勞動課的大約有150人．
19、【10分】（1）解：如圖2，直線就是要求作的垂線；
（2）解：如圖2，點就是所要求作的點；
（3）證明，．
，．，
在和中
．
，．
20、【7分】解：（1），，
，，
；
（2）在中，，根據(jù)勾股定理得，
，
．
21、【7分】解：（1）由題意可知：米，米，
在中，由勾股定理得，，
，（米），
答：風箏的垂直高度為17.65米；
（2）風箏沿方向下降7米，保持不變，如圖，
此時的（米），
即此時在中，米，有（米），
相比下降之前，縮短長度為（米），
他應該往回收線5米．
22、【10分】解：（1）如圖2，正方形是由四個邊長分別是的長方形和中間一個小正方形組成，
，．
故答案為：；
（2）正方形的邊長是，正方形的面積為．
正方形由四個直角邊長分別是的角三角形和中間一個小正方形組成，
，，
．故答案為：；
（3）正方形的邊長是，
正方形的面積為25．
正方形由四個直角邊長分別是的角三角形和中間一個小正方形組成，
，
，，．
，
，；
（4）設，則，
有勾股定理得：，
圖形的周長為80，
，解得：，
，，
該圖形的面積為．
故答案為：120．
23、【13分】（1）解：如圖1，，
，，，，
，，
，，
，，
與互為“底余等腰三角形”，故答案為：是；
（2）①圖形如圖所示：
圖1
②證明：如圖，作于點，則
，，
，，
，
在和中，
，
，；
（3）解：過點作于點．則
由（1）可知與是“底余等腰三角形”，
由（2）可知，
，，
，，
在中，根據(jù)勾股定理得
．

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