一、單選題
1．的倒數(shù)是（ ）
A． B． C．D．2
2．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖正面擺放的幾何體中，左視圖是三角形的是（ ）
A． B． C．D．
4．如圖醫(yī)療圖標(biāo)既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C．D．
5．下列說法正確的是（ ）
A．要了解襄陽市學(xué)生的“雙減”情況應(yīng)選用普查方式
B．若甲、乙兩組數(shù)平均數(shù)相同，，，則乙組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定
C．天氣預(yù)報(bào)說：某地明天降水的概率是，那就是說明天有半天都在降雨
D．早上的太陽從西方升起是隨機(jī)事件
6．我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁？”意思是：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完.試問大、小和尚各多少人？設(shè)大和尚有人，依題意列方程得（ ）
A．B．
C．D．
7．若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖像上，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C．D．
8．若正多邊形的內(nèi)角和是，則該正多邊形的一個(gè)外角為（ ）
A． B． C．D．
9．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，，則的解集是（ ）
或 B．或
C．或 D．或
10．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)位于、之間，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方且橫坐標(biāo)小于5，則下列結(jié)論：①；②；③（其中為任意實(shí)數(shù)）；④，其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題
11．第五屆進(jìn)博會(huì)企業(yè)預(yù)定展覽面積已超過15萬平方米，15萬用科學(xué)記數(shù)法表示為 .
12．解不等式組的整數(shù)解為 .
13．飛機(jī)著陸后滑行的距離（單位：）關(guān)于滑行時(shí)間（單位：）的函數(shù)解析式是，飛機(jī)著陸至停下來共滑 .
14．如圖，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，射線與另一支曲線交于點(diǎn)，軸，垂足為點(diǎn).有以下結(jié)論：①；②點(diǎn)坐標(biāo)為；③面積為；④隨的增大而增大，其中正確的結(jié)論是 （填入正確答案的序號(hào)）.
15．如圖，中，，，.點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，則的面積是 .
三、解答題
16．化簡求值：，其中.
17．如圖，，，的平分線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若，直接寫出的度數(shù).
18．已知關(guān)于的一元二次方程.
（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程兩個(gè)根，，滿足，則的值為多少？
19．某校舉行知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).發(fā)現(xiàn)該校全體學(xué)生的競(jìng)賽成績（百分制）均不低于60分，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取名學(xué)生的競(jìng)賽成績進(jìn)行整理和分析（成績得分用表示，共分成四組），并繪制成如圖的競(jìng)賽成績分組統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，其中“”這組的數(shù)據(jù)如下：60，62，64，65，65，68.
競(jìng)賽成績扇形統(tǒng)計(jì)

競(jìng)賽成績分組統(tǒng)計(jì)表
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1） ；
（2）“”這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 分；
（3）第3組所在扇形的圓心角是 ；
（4）若學(xué)生競(jìng)賽成績達(dá)到90分以上（含90分）獲獎(jiǎng)，請(qǐng)你估計(jì)全校1500名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)。
20．如圖是人民英雄紀(jì)念碑，它位于北京天安門廣場(chǎng)中心，是為了紀(jì)念在人民解放戰(zhàn)爭(zhēng)和人民革命中犧牲的人民英雄，碑體正面是毛澤東親筆題詞“人民英雄永垂不朽”八個(gè)鎏金大字，它的示意圖如圖所示.小妮在處測(cè)得碑頂?shù)难鼋菫?，沿紀(jì)念碑方向前進(jìn)后到達(dá)處，在處測(cè)得碑頂?shù)难鼋菫椋c(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)，，在同一水平線上），求紀(jì)念碑的高.（結(jié)果精確到.參考數(shù)據(jù)：，，，）
21．如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn).于點(diǎn).
（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，求圖中陰影部分的面積.
22．某體育用品商場(chǎng)采購員要到廠家批發(fā)購買籃球和排球共100個(gè)，籃球個(gè)數(shù)不少于排球個(gè)數(shù)，付款總額不得超過11200元，已知籃球和排球的廠家批發(fā)價(jià)分別是每個(gè)120元和每個(gè)100元，商場(chǎng)零售價(jià)分別是每個(gè)150元和每個(gè)120元.設(shè)該商場(chǎng)采購個(gè)籃球.
（1）求該商場(chǎng)的采購費(fèi)用與的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；
（2）該商場(chǎng)把這100個(gè)球全部以零售價(jià)售出，求商場(chǎng)能獲得的最大利潤；
（3）受原材料和工藝調(diào)整等因素影響，采購員實(shí)際采購時(shí)，籃球批發(fā)價(jià)上調(diào)了元/個(gè)，同時(shí)排球批發(fā)價(jià)下調(diào)了元/個(gè).該體育用品商場(chǎng)決定不調(diào)整商場(chǎng)零售價(jià)，發(fā)現(xiàn)將100個(gè)球全部賣出獲得的最低利潤是2300元，求的值.
23．
【探究證明】（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請(qǐng)你給出證明：
如圖①，在矩形中，，分別交、于點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，求證：；
【結(jié)論應(yīng)用】（2）如圖②，將矩形沿折疊，使得點(diǎn)和點(diǎn)重合，若，.求折痕的長；
【拓展運(yùn)用】（3）如圖③，將矩形沿折疊.使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到四邊形，若，，，請(qǐng)求的長.
24．拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).
（1）寫出拋物線的對(duì)稱軸，并求的值；
（2）求出拋物線的解析式。
（3）如圖1，，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為.
①若、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求點(diǎn)坐標(biāo)；
②若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，當(dāng)?shù)闹凳且粋€(gè)定值時(shí)，求的值.
【參考答案】
黃石十四中教聯(lián)體2023-2024學(xué)年度下學(xué)期九年級(jí)2月月考數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．B
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義（兩個(gè)非零數(shù)相乘積為1，則說它們互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)）求解.
【詳解】解：的倒數(shù)是，
故選：.
【點(diǎn)睛】本題難度較低，主要考查學(xué)生對(duì)倒數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的掌握.
2．C
【分析】根據(jù)整式的加法法則，冪的乘方的運(yùn)算法則，同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方的運(yùn)算法則即可解答.
【詳解】解：、，錯(cuò)誤，故項(xiàng)不符合題意；
、，錯(cuò)誤，故項(xiàng)不符合題意；
、，正確，故項(xiàng)符合題意；
、，錯(cuò)誤，故項(xiàng)不符合題意；
故選.
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加法法則，冪的乘方的運(yùn)算法則，同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方的運(yùn)算法則，熟記對(duì)應(yīng)法則是解題的關(guān)鍵.
3．D
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中，看得見的用實(shí)線，看不見的用虛線，虛實(shí)重合用實(shí)線.
【詳解】解：從左面看，是梯形、是上層為三角形下層為矩形、是矩形、是三角形，
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，左視圖是從物體的左面看得到的視圖.
4．A
【分析】將一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折，則直線兩邊的圖形能夠完全重疊，則這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形；將一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度之后能與原圖形完全重疊，則這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖形
【詳解】解：、該圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，符合題意；、該圖形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意.
故選：.
【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念是解題關(guān)鍵.
5．B
【分析】根據(jù)抽查和普查的特點(diǎn)可判斷；根據(jù)方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定可判斷；根據(jù)可能性的大小可判斷；根據(jù)隨機(jī)事件的特點(diǎn)可判斷.
【詳解】解：、襄陽市學(xué)生人數(shù)較多，要了解襄陽市學(xué)生的“雙減"情況應(yīng)選用抽查方式，錯(cuò)誤，不符合題意；
、，，則乙組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，正確，符合題意；
、天氣預(yù)報(bào)說：某地明天降水的概率是，說明明天下雨的可能性為，不能說明天有半天都在降雨，錯(cuò)誤，不符合題意；
、早上的太陽從西方升起是不可能事件，錯(cuò)誤，不符合題意，
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查調(diào)查方式、方差、可能性的大小，隨機(jī)事件的概念，理解相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵.
6．D
【分析】設(shè)大和尚有人，需要個(gè)饅頭，則小和尚有人，需要個(gè)饅頭，依據(jù)100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，正好分完列方程即可.
【詳解】解：設(shè)大和尚有人，需要個(gè)饅頭，則小和尚有人，需要個(gè)饅頭，
依題意得：
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，關(guān)鍵是表示出大小和尚所需求的饅頭數(shù).
7．B
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)增減性可知，當(dāng)時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，再結(jié)合，，位置判斷即可得到答案.
【詳解】解：點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖像上，
，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，且，在第三象限，值為負(fù)；在第一象限，值為正，
，
，即，
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)比較應(yīng)變量大小，熟記反比例函數(shù)圖像與增減性是解決問題的關(guān)鍵.
8．A
【分析】首先設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得，繼而可求得答案.
【詳解】設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，
一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為，
，
解得：，
這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角是：.
故選：.
【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí).此題難度不大，注意掌握方程思想的應(yīng)用，注意熟記公式是關(guān)鍵.
9．C
【分析】先求出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)利用函數(shù)圖像與不等式的關(guān)系解不等式即可得到答案.
【詳解】解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，，
，則當(dāng)時(shí)，，
，，
的解集是指一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方部分對(duì)應(yīng)的自變量的范圍，即或，
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、不等式與函數(shù)圖像關(guān)系，弄清函數(shù)圖像交點(diǎn)是求出不等式解集是關(guān)鍵.
10．D
【分析】利用拋物線與軸的交點(diǎn)位置得到，利用對(duì)稱軸方程得到，則，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，則當(dāng)時(shí)，，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到時(shí)，二次函數(shù)有最大值，則，即，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方且橫坐標(biāo)小于5，利用函數(shù)圖象得時(shí)，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，即，然后把代入解的不等式，則可對(duì)④進(jìn)行判斷；
【詳解】解：拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，
，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，
，所以①正確；
拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于、之間，
拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)位于，之間，
即當(dāng)時(shí)，，也就是，因此選項(xiàng)②正確；
對(duì)稱軸為直線，
時(shí)的函數(shù)值大于或等于時(shí)函數(shù)值，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最大，
，
即，因此③正確；
直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方且橫坐標(biāo)小于5，
時(shí)，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，
即，而，
，解得，因此④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④，
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式等知識(shí)，利用兩個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖象求自變量的取值范圍以及判斷系數(shù)的大小關(guān)系是?？嫉闹R(shí).
二、填空題
11．
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義把一個(gè)大于10（或者小于1）的數(shù)記為的形式，其中即可解答.
【詳解】解：萬平方米方米平方米，
故答案為；
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示形式是把一個(gè)大于10（或者小于1）的數(shù)記為的形式，其中，確定和的值是解題的關(guān)鍵.
12．0和1
【分析】根據(jù)一元一次不等式組的解法步驟直接求解后，得出滿足條件的整數(shù)解即可.
【詳解】解：，
由①得；
由②得；
不等式組的解集為，
不等式組的整數(shù)解為0和1，
故答案為：0和1.
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組的解法，熟記解一元一次不等式組的步驟是解決問題的關(guān)鍵.
13．750
【分析】要求飛機(jī)從著陸至停下來共滑，即求出函數(shù)的最大值即可.【詳解】解：，
所以當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值750.
故答案為：750.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)求最值的方法，即公式法或配方法是解題關(guān)鍵.
14．①②③
【分析】將點(diǎn)代入可判斷①：根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷②；
根據(jù)三角形面積公式即可判斷③；根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷④.
【詳解】將點(diǎn)代入可得，，故①正確；
由圖像可得，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，故②正確；
，
，
，故③正確；
由圖象可得，
在每一象限內(nèi)，隨的增大而增大，故④錯(cuò)誤.
綜上所述，正確的有①②③.
故答案為：①②③.
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式、圖象與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用.
15．
【分析】取中點(diǎn)，連接，，由即可得到，再由，可得當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，然后利用直角三角形的性質(zhì)可得，即可推出，則是等邊三角形，求得的面積，根據(jù)可得.
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
在中，，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，
點(diǎn)是中點(diǎn)，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切的定義與特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關(guān)系，直角三角形斜邊上的中線，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠綜合應(yīng)用各種性質(zhì)解題.
三、解答題
16．；
【分析】先對(duì)小括號(hào)通分，然后化除為乘，再根據(jù)分式的乘法，進(jìn)行計(jì)算，把代入，即可.【詳解】



，
，
，
原式.
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的乘除法運(yùn)算法則，完全平方公式的運(yùn)用.
17．（1） 見解析
【分析】（1）利用推出，推出，用平分推導(dǎo)，從而得到，從而得證；
（2）根據(jù)，推出，再結(jié)合利用三角形內(nèi)角和為推出，從而得到.
【詳解】證明：，
.
，
.
平分，
，
，
.
（2）
【解析】，
求解過程如下：
，，
，
又，
，
.
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的相關(guān)計(jì)算，等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵
18．（1） 實(shí)數(shù)的取值范圍是；
【分析】（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足，由此可以得到關(guān)于的不等式，然后解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，而，所以，代入，然后解關(guān)于的方程即可.
【詳解】解：

，
又原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）
【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，
，，即，
整理得：，
，，
由（1）知，，
應(yīng)舍去，
即：
【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒有實(shí)數(shù)根.和考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為，，則，.
19．（1） 12
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)眾數(shù)定義進(jìn)行解答即可；
（3）用第3組的百分比，即可得出答案；
（4）用總?cè)藬?shù)乘以成績達(dá)到90分以上學(xué)生的百分比即可得出答案.
【詳解】解：由題意得，樣本容量為：，
故.
故答案為：12.
（2） 65
解：“”這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多是65，故眾數(shù)是65，
故答案為：65；
（3） 144
解：第3組所在扇形的圓心角是，
故答案為：144；
（4） 300名
解：（名），
答：估計(jì)全校1500名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)約300名.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)定義.
20．
【分析】設(shè)，得出的值，根據(jù)，得出的值，即可解答.
【詳解】解：設(shè)，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
答：紀(jì)念碑的高度約為.
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握好三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
21．（1） 與相切，理由見解析
【分析】（1）連接，利用角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)證得，則，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證得即可作出判斷；
（2）利用銳角三角函數(shù)求得的半徑和對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)，利用扇形面積公式和三角形的面積公式求解即可.
【詳解】解：與相切.
理由：連接，
分，
，
，
，
，
，
，
，又為的半徑，
與相切；
（2）
解：，，
，又，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，，

，
故圖中陰影部分的面積為.
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、角平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、扇形面積公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.
22．（1）
【分析】（1）根據(jù)題意列函數(shù)解析式和不等式組求解即可；
（2）設(shè)利潤為，根據(jù)題意得到總利潤，利用一次函數(shù)的增減性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)利潤為，根據(jù)題意得到總利潤，分和，利用一次函數(shù)的增減性質(zhì)求解即可.
【詳解】解：設(shè)該商場(chǎng)采購個(gè)籃球，則采購個(gè)排球，
根據(jù)題意，，
由得，
答：該商場(chǎng)的采購費(fèi)用與的函數(shù)關(guān)系式為；
（2） 2600元
解：該商場(chǎng)采購個(gè)籃球，設(shè)利潤為，根據(jù)題意，得
，
，
隨的增大而增大，又，
當(dāng)時(shí)，最大，最大值為2600，
答：商場(chǎng)能獲得的最大利潤為2600元；
（3） 3
解：該商場(chǎng)采購個(gè)籃球，根據(jù)題意，得
，當(dāng)即時(shí)，隨的增大而增大，
又，
當(dāng)時(shí)，有最小值為，
解得，舍去；
當(dāng)即時(shí)，隨的增大而減小，
又，
當(dāng)時(shí)，最小值為，
解得，
綜上，滿足條件的值為3.
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、解一元一次方程，理解題意，正確列出函數(shù)解析式是解答的關(guān)鍵.
23．【探究證明】（1） 見解析；
【分析】（1）過點(diǎn)作，交于，過點(diǎn)作，交于，如圖1，易證，，，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；
（2）連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出的長，再根據(jù)結(jié)論（1）得出，進(jìn)而可求出的長.
（3）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于.根據(jù)矩形的性質(zhì)得到的長，由結(jié)論（1）可得出的長，再由勾股定理得出的長，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出四邊形是矩形，進(jìn)而得出的長度，最后根據(jù)相似三角形得出的長度就可以得出的長度.
【詳解】如圖①，過點(diǎn)作，交于，過點(diǎn)作，交于，交于.
四邊形是矩形，
，. 四邊形、四邊形都是平行四邊形，
，.
又，
，
.
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
.
【結(jié)論應(yīng)用】（2） ；
【解析】如圖②中，連接.
四邊形是矩形，
，，
，
，關(guān)于對(duì)稱，
，
，
，
.
【拓展運(yùn)用】（3） .
【解析】如圖③中，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于.
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
由翻折可知：，設(shè)，
在中，，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
在中，.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題.
24．（1） 直線，；
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到答案；
（2）①先根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到，再求出拋物線與軸的交點(diǎn)，利用勾股定理列方程，求得，進(jìn)而得到拋物線，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征，得到，將點(diǎn)代入拋物線解析式，求出的值，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)；
②設(shè)直線的解析式為，先求出，然后聯(lián)立直線與拋物線，求得，再利用待定系數(shù)法分別求出和的值，即而得到的值，最后利用的值是一個(gè)定值，即可求出的值.
【詳解】解：拋物線，
對(duì)稱軸為直線，
拋物線與軸交于點(diǎn)，，即，
解得：；
（2） 拋物線
（3） ① ；
解：
【解析】拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，
，
，，
，
拋物線與軸交于點(diǎn)，
，
，
由勾股定理得：，，
，
由勾股定理得：，
，
整理得：，
，
，
拋物線，
點(diǎn)、點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
，
，
整理得：，
，
，，
；
② 4
【解析】設(shè)直線的解析式為，
為直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，
，
，
直線的解析式為，
聯(lián)立，解得，
當(dāng)時(shí)，，
，
將代入直線，
，
，
將代入直線，
，
，
，
的值是一個(gè)定值，
，.
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，題目較難，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
組別
競(jìng)賽成績分組
頻數(shù)
1

8
2


3


4

10

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