第2章 常用邏輯用語2 . 2 充分條件、必要條件、充要條件一、命題真假與推出關(guān)系p ? qp ? qp ? s例如：(1) x＝y(tǒng) ? x2＝y(tǒng)2，但 x2＝y(tǒng)2 ? x＝y(tǒng)；(2) x＞1 ? x2＞1，但 x2＞1 ? x＞1；這里，“x＞1”表示“x是大于1的實數(shù)”；“S△ABC”表示“△ABC的面積”. (3) △ABC ≌ △A′B′C′ ? S△ABC＝ S△A′B′C′， 但 S△ABC ＝ S△A′B′C′ ? △ABC ≌ △A′B′C′.● 如果“p＝q”，那么 p，q 之間有怎樣的關(guān)系? 分析(1)(2)(3)，可以發(fā)現(xiàn)，“p ? q”的含義是：一旦 p 成立，q 一定也成立. 即 p 對 q 的成立是充分的. 也可以這樣說：如果 q 不成立，那么力一定不成立.即g 對的成立是必要的.二、充分條件、必要條件充分必要例 1下列所給的各組 p，q中，p 是 q 的充分條件的有哪些?解：因為p ? q，所以 p 是 q 的充分條件.解：因為p ? q，所以 p 不是 q 的充分條件.(3) p：同位角相等，q：兩條直線平行；(4) p：四邊形是平行四邊形， q：四邊形的對角線互相平分.解：因為p ? q，所以 p 是 q 的充分條件.解：因為p ? q，所以 p 是 q 的充分條件.例 2下列所給的各組 p，q 中，p 是 q 的必要條件的有哪些?(1) p：∣x∣＝1，q：x＝1；(2) p：兩個直角三角形全等， q：兩個直角三角形的斜邊相等；解：因為 q ? p，所以 p 是 q 的必要條件.解：因為 q ? p，所以 p 不是 q 的必要條件.(3) p：同位角相等，q：兩條直線平行；(4) p：四邊形是平行四邊形， q：四邊形的對角線互相平分解：因為 q ? p，所以 p 是 q 的必要條件.解：因為 q ? p，所以 p 是 q 的必要條件. 觀察例1 (3) 和 例2 (3)、例1 (4) 和 例2 (4)，可以發(fā)現(xiàn)，其中既有 p ? q，也有q ? p.三、充要條件定 義p?q 本 質(zhì)p是q的充分必要條件，也常說成p成立當且僅當q成立.應 用充要條件是數(shù)學中非常重要的概念，應用充要條件可以從不同的角度來理解、刻畫很多數(shù)學內(nèi)容.“?”和“?”都具有傳遞性，即如果 p ? q，q ? s，那么 p ? s；如果 p ? q，q ? s，那么 p ? s.【思考】命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分哪幾類?提示：① 充分必要條件(充要條件)，即 p?q且q?p. ② 充分不必要條件，即p?q且q?p. ③ 必要不充分條件，即p?q且q?p. ④ 既不充分又不必要條件，即p?q且q?p.例 3指出下列命題中，p 是 q 的什么條件：(1) p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的對應角相等； 解：根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，得出兩個三角形的對應角相等，所以 p ? q. 反過來，由兩個三角形的對應角相等，不能得出兩個三角形全等. 例如，兩個等腰直角三角形，它們對應的角相等，但對應邊不相等，這兩個三角形就不全等. 所以 q?p.因此，p是q的充分條件，但p不是q的必要條件.(2) p：三角形的三邊相等，q：三角形是等邊三角形；解：根據(jù)等邊三角形的定義，可知三邊相等的三角形是等邊三角形，所以 p ? q.反過來，根據(jù)等邊三角形的定義，可知等邊三角形的三邊相等. 所以 q ? p.因此，p ? q，即p是q的充要條件.(3) p：a2 ＝ b2，q：a ＝ b；解：a2－b2 ? a2－b2＝0 ? (a－b)(a＋b)＝0 ? a－b＝0或 a＋b＝0 ? a＝－b或a＝b， 所以 p?q. 反過來，a＝b ? a－b＝0 ? (a－b)(a＋b)＝0 ? a2－b2＝0 ? a2＝b2， 所以 q ? p. 因此，q ? p，但 p ? q，即p是q的必要條件，但p不是q的充分條件.還可以通過舉反例來說明，如 22＝(－ 2)2，但 2≠－2.(4) p：x ＞ y，q：x2＞y2.解：取 x＝1，y＝－2，此時，x＞y，但 x2＜y2，所以 p?q.反過來，取 x＝－2，y＝－1，此時，x2＞y2，但 x＜y，所以q ? p. 因此，p 不是q 的充分條件， q也不是p的必要條件.四、性質(zhì)定理、判定定理和數(shù)學定義(1) 性質(zhì)定理是指某類對象具有的具體特征. 性質(zhì)定理具有“_____________”.(2) 判定定理是指對象只要具有某具體的特征，就一 定有該對象的所有特征. 判定定理具有“_____________”.(3) 數(shù)學定義既具有必要性也具有充分性.必要性充分性【基礎(chǔ)小測】1. 辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”) (1) 若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件.(　　) (2) 兩個三角形相似的充要條件是兩個三角形的三邊對應成比例. (　　)??(3) 若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件.(　　)(4) 如果p是q的充分條件，則p是唯一的.(　　)??不唯一，如 x＞3，x＞5，x＞10 等都是 x＞0的充分條件.2. 從符號“?”“?”“?”中選擇適當?shù)囊粋€填空：????3. 從“充分”“必要”中選擇適當?shù)囊粋€填空：(1)“x＞2”是“x＞3”的________條件；?(2)“四邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形” 的________條件.?必要　充分 解析：(1)因為“x＞3”?“x＞2”，所以“x＞2”是“x＞3”的必要條件； (2) 因為“四邊形ABCD是正方形”?“四邊形ABCD是菱形”，所以“四邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形”的充分條件.解析【解題策略】(1) 準確理解題意，明確證明方向 ① 條件已知推出結(jié)論成立是充分性，結(jié)論已知推出條件成立是必要性. ②“p是q的充分(必要)條件”有時也寫為“q的充分(必要)條件是p”.充要條件的證明策略(2) 關(guān)注證明的兩個環(huán)節(jié) 一是充分性； 二是必要性. 證明時，不要認為它是推理過程的“雙向書寫”，而應該進行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明.【跟蹤訓練】1. 使x(y－2) ＝0成立的一個充分條件是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. x2＋(y－2)2＝0 B.(x－2)2＋y2＝0 C. (x＋1)2＋y2＝0 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝0A 解析：根據(jù)題意，原題可改寫為“(　　)是x(y－2) ＝0的充分條件” . x2＋(y－2)2＝0?x＝0且y＝2? x(y－2) ＝0， 所以 x2＋(y－2)2＝0是x(y－2) ＝0的充分條件.解析2. 對于任意的實數(shù) a，b，c，在下列命題中，真命題是 (　　)A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要條件B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件C.“ac＜bc”是“a＜b”的充分條件D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件B 解析：若a＝b，則 ac＝bc；若 ac＝bc，則a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件.解析3.“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的________條件， “x2－x－2＝0”是“x＝－1”的________條件. (用“充分”“必要”填空)?充分　必要 解析：由x＝－1?x2－x－2＝0，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分條件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的必要條件.解析4. p：1－x＜0，q：x＞a，若p是q的充分條件，則a的取 值范圍為__________.?a≤1 解析：x＞1? x＞a，令A ＝{x∣x＞1}，B＝{x ∣x＞a}，則A?B，所以 a≤1.解析5. 求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有一正根和 一負根的充要條件是ac＜0.??6. 求證：關(guān)于x的方程 ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的 充要條件是 a－b＋c＝0.證明：充分性：∵ a－b＋c＝0， 即a·(－1)2＋b·(－1) ＋c＝0， ∴－1是ax2＋bx＋c＝0 的一個根.必要性： ∵ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1， ∴ a·(－1)2＋b·(－1) ＋c＝0，即 a－b＋c＝0. 綜上可得 ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的充要條件是a－b＋c＝0. 練 習 1.下列所給的各組 p，q中，p是q的充分條件的有哪些?(1) p：三角形有一個內(nèi)角是 60°， q：三角形是正三角形；因為三角形有一個內(nèi)角是60°? 三角形是正三角形即 p?q.所以 p 不是 q 的充分條件.(2) p：兩個角相等，q：兩個角是對頂角；因為兩個角相等，這兩個角有可能是內(nèi)錯角或同位角，故兩個角相等 ? 兩個角是對頂角，即 p ? q ，所以 p 不是q 的充分條件；(3) p：四邊形是平行四邊形， q：四邊形的對角線互相平分； 因為平行四邊形的對角線互相平分故四邊形是平行四邊形 ? 四邊形的對角線互相平分，即 p?q， 所以 p是q的充分條件；(4) p：x ＞ 2，q：x ＞ 1.因為 x＞2 ? x＞1，所以 p是q的充分條件；所以p是q的充分條件的有(3) (4)2. 下列所給的各組 p，q中，p是q的必要條件的有哪些?(1) p：兩條直線平行，q：同位角相等；(2) p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形；解：q?p，p是q的必要條件；解：q?p，p是q的必要條件；(3) p：a ＝ b，q：∣a∣＝ ∣b∣ ；(4) p：x2 ＝ l，q：x ＝ 1.解：q ? p，p不是q的必要條件；解：q?p，p是q的必要條件；3. 從符號“?”“?”“?”中選擇適當?shù)囊粋€填空：(1) x2＞1 _______ x＞1；(2) a，b 都是偶數(shù) _______ a＋b是偶數(shù)；(3) x2＝1 ______ ∣x∣ ＝ 1；(4) n 是偶數(shù) _______ n 是4 的倍數(shù).????習題 2.2感受·理解1. 下列所給的各組 p，q中，p是 q 的充分條件的有哪些? p是q的必要條件的有哪些? p是q的充要條件的有哪些?(1) p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的面積相等；解：由p：兩個三角形全等能推出 q： 兩個三角形的面積相等，故p是q的充分條件； 由q：兩個三角形的面積相等不能推出 p：兩個三角形全等，故p不是q的必要條件. 從而p不是q的充要條件；(2) p：三角形是直角三角形，q：三角形的兩個銳角互余；解：由 p：三角形是直角三角形能推出q：三角形的兩個銳角互余，故p是q的充分條件； 由 q：三角形的兩個銳角互余能推出 p：三角形是直角三角形，故p是q的必要條件. 從而p是q的充要條件；(3) p：m≤1，q：關(guān)于的方程 x2＋2x＋m＝0有實數(shù)解；解：∵關(guān)于x的方程 x2＋2x＋m＝0 有實數(shù)解， ∴Δ＝22－4m＞0，解得：m≤1， 故由 p：m＜1能推出 q：關(guān)于的方程 x2＋2x＋m＝0有實數(shù)解，故p是q的充分條件； 由q：關(guān)于x的方程 x2＋2x＋m＝0有實數(shù)解能推出 p：m≤1，故p是q的必要條件. 從而p是q的充要條件；(4) p：ab＝0，q：a＝0.解：由 p：ab＝0 不能推出q：a＝0，故p不是q的充分條件；由 q：a＝0能推出 p：ab＝0，故p是q的必要條件.從而p不是q的充要條件. 綜上知：p是q的充分條件的有(1)(2)(3)，p是q的必要條件的有(2)(3)(4)，p是q的充要條件有(2)(3).2. 從符號“?”“?”“?”中選擇適當?shù)囊粋€填空：(1) x∈A ______ x∈A∩B (2) x?A∪B _____ x∈A∩B；(3) x∈?U(A∪B) _____ x∈(?UA ) ∩ (?UB )；(4) x∈?U(A∩B) ______ x∈(?UA)∪(?U B).????思考·運用3. 下列所給的各組 p，q 中，p 是 q 的什么條件?(1) p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC， q： △ABC 中，BC ＞ AC；充要條件(2) p：a2 ＜ 1，q：a ＜ 2；?充分不必要條件既不充分也不必要條件(4) p：m ≤ 1， q：關(guān)于的方程 mx2＋2x＋1＝0有兩個實數(shù)解.必要不充分條件4. 設(shè) a，b，c ∈R，求證：關(guān)于x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一個根是 1 的充要條件為 a＋b＋c＝0.證明： (1) 必要性，即“若 1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，則 a＋b＋c＝0”. ∵ x＝1是方程的根，將 x＝1 代入方程，得 a·12＋b·1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0.(2) 充分性，即“若 a＋b＋c ＝ 0，則 x＝1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根”.把 x＝1代入方程的左邊，得a·12＋b.1＋c＝a＋b＋c.∵ a＋b＋c＝0，∴x＝1是方程的根.綜合(1)(2)知命題成立.探究·拓展5. 設(shè)集合A＝ {x∣x滿足條件p}，B＝{x∣x滿足條件q}.(1) 如果 A?B，那么p是q的什么條件?(2) 如果 B?A，那么p是q的什么條件?(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么條件?試舉例說明.(1) 如果 A?B，那么p是q的什么條件? 解：若A ? B，則有 x∈A ? x∈B，即每個使 p 成立的元素也使q成立，即p ? q， 所以 p 是 q 的充分條件. 舉例略.(2) 如果 B?A，那么p是q的什么條件?解：若 B?A，則有 x∈B ? x ∈A，即每個使 q 成立的元素也使p成立，即 q?p，所以 p是 q 的必要條件.如A ＝ {x∣x ＞0}，B ＝ {x∣x ＞1}，B?A，則 x＞1是x＞0的充分條件，x＞0是x＞1的必要條件.(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么條件?解：若A＝B，則 A?B 且 B?A，所以p是q的充要條件.舉例略.本課結(jié)束This lesson is overTHANKS!

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