以定積分為理論背景的高考試題卻層出不窮，不講主要介紹一類定積分背景的不等式，并展示它們在高考命題中的作用.
一．基本命題原理
1.定積分的定義：
一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點
將區(qū)間分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上任取一點，作和式：
如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記為：.
2.定積分的幾何意義： 當(dāng)時，由前述可知，定積分在幾何上表示由曲線，兩直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積.

3.微積分基本定理：如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么
4.定積分的運算性質(zhì)：假設(shè)存在
（1）
作用：求定積分時可將的系數(shù)放在定積分外面，不參與定積分的求解，從而簡化的復(fù)雜程度.
（2）
作用：可將被積函數(shù)拆成一個個初等函數(shù)的和，從而便于尋找原函數(shù)并求出定積分.
（3），其中
作用：當(dāng)被積函數(shù)含絕對值，或者是分段函數(shù)時，可利用此公式將所求定積分按區(qū)間進行拆分，分別求解.
（4）若具備奇偶性，且積分限關(guān)于原點對稱，則可利用奇偶性簡化定積分的計算
（4.1）若為奇函數(shù)，則
（4.2）若為偶函數(shù)，則
二．典例分析
例1．定積分_________.
解析：．故答案為：
例2.設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).
（1），求的表達式；
（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，比較與的大小，并加以證明.
解析：（1）由題設(shè)得，
（2）已知恒成立，即恒成立設(shè)，則
當(dāng)時，（僅當(dāng)時等號成立）所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，所以時，恒成立（僅當(dāng)時等號成立）當(dāng)時，對有，所以在上單調(diào)遞減，所以即時，存在，使，故知不恒成立，綜上可知，的取值范圍是
（3）如圖，是由曲線及軸所圍成的曲邊梯形的面積，而是圖中所示各矩形的面積和。
所以，結(jié)論得證。
例3．Mnte-Carl方法在解決數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用．下面利用Mnte-Carl方法來估算定積分．考慮到等于由曲線，軸，直線所圍成的區(qū)域的面積，如圖，在外作一個邊長為1正方形．在正方形內(nèi)隨機投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，此即為定積分的估計值．現(xiàn)向正方形中隨機投擲10000個點，以表示落入中的點的數(shù)目．
（1）求的期望和方差；
（2）求用以上方法估算定積分時，的估計值與實際值之差在區(qū)間（-0.01，0.01）的概率．
附表：
解析：（1）依題意，每個點落入中的概率為，，
所以.
（2）依題意，所求概率為
.
例4．如下圖，過曲線：上一點作曲線的切線交軸于點，又過作 軸的垂線交曲線于點，然后再過作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，，以此類推，過點的切線 與軸相交于點，再過點作軸的垂線交曲線于點（N）．
（1） 求及數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達式；
（3）在滿足（2）的條件下， 若數(shù)列的前項和為，求證：N.
解析：（1） 由，設(shè)直線的斜率為，則.∴直線的方程為.令，得，∴， ∴. ∴.∴直線的方程為.令，得. 一般地，直線的方程為，由于點在直線上，∴. ∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.∴.
（2）.
（3）證明：，
∴，.
要證明，只要證明，即只要證明.
令,則,當(dāng)時, ,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增. ∴當(dāng)時, .∵N, ∴, 即.∴.
∴不等式對一切N都成立.
1899
1900
1901
2099
2100
2101
0.0058
0.0062
0.0067
0.9933
0.9938
0.9942

相關(guān)試卷

2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：10.17分的導(dǎo)數(shù)壓軸題可能長這個樣子：

這是一份2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：10.17分的導(dǎo)數(shù)壓軸題可能長這個樣子，共8頁。試卷主要包含了一些綜合情境的導(dǎo)數(shù)壓軸題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：9.三次函數(shù)及應(yīng)用：

這是一份2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：9.三次函數(shù)及應(yīng)用，共8頁。試卷主要包含了三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及應(yīng)用，根的個數(shù)，極值情況，對稱中心，三次方程根與系數(shù)得關(guān)系等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：8.條件概率，期望，條件期望及概率新情境：

這是一份2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：8.條件概率，期望，條件期望及概率新情境，共9頁。試卷主要包含了條件概率，似然估計，定義，050，635等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：7.馬爾科夫鏈與概率不等式

2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：7.馬爾科夫鏈與概率不等式
2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：6.射影幾何與曲線的曲率

2024高考數(shù)學(xué)新試卷結(jié)構(gòu)下的壓軸題研究：6.射影幾何與曲線的曲率
高考數(shù)學(xué)真題專項練習(xí) 專題10 定積分及其應(yīng)用（解析版）

高考數(shù)學(xué)真題專項練習(xí) 專題10 定積分及其應(yīng)用（解析版）
人教版新課標A選修2-21.7定積分的簡單應(yīng)用隨堂練習(xí)題

人教版新課標A選修2-21.7定積分的簡單應(yīng)用隨堂練習(xí)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部