本講主要研究以泰勒展開式和拉格朗日中值定理為背景的命題. 泰勒展開式應(yīng)該是高中導(dǎo)數(shù)命題中最常用的高等背景，以其為背景的一階導(dǎo)數(shù)（切線）放縮，二階放縮等活躍于高考試題和各地?？荚囶}中. 本節(jié)，我們將通過一些典型例題來展示其中的泰勒身影，探析其中常見的命題手法.
一．基本命題原理
泰勒展開式（泰勒級(jí)數(shù)）：
多項(xiàng)式：
公式：
泰勒公式時(shí)的麥克勞林公式：
幾個(gè)重要的不等式
由泰勒公式，我們可以得到幾個(gè)重要的不等式：
3.1 ；
3.2 ；
3.3 .
4.拉格朗日中值定理
（1）若函數(shù)在區(qū)間滿足以下條件：
i).在上可導(dǎo)；
ii).在上連續(xù)，則必有一存在,使得
（2）幾何意義：在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一個(gè)點(diǎn),該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線AB（如圖）.
5.利普希茨條件：若函數(shù)在區(qū)間滿足可導(dǎo)，且，則
.
進(jìn)一步，若滿足，則.
上述結(jié)論由拉格朗日中值定理易證，若導(dǎo)函數(shù)有界，自然可得.
6.（1）代數(shù)數(shù)與超越數(shù)：代數(shù)數(shù)為整系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根，不是代數(shù)數(shù)的稱為超越數(shù)，如自然對(duì)數(shù).
（2）劉維爾不等式：設(shè)實(shí)數(shù)滿足：都存在，且互質(zhì)，使得，那么是一個(gè)超越數(shù).
注：劉維爾定理的證明借助拉格朗日定理可實(shí)現(xiàn)，下面給出證明.
證明：假設(shè)是某個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的零點(diǎn)，考慮的某個(gè)鄰域
，則，，考慮拉格朗日中值定理可得：，由多項(xiàng)式函數(shù)的連續(xù)性可知：，故，由于，故
為正整數(shù)，則，代入上式可得：
.故此時(shí)，不能滿足題干內(nèi)容，故是一個(gè)超越數(shù).
注：從定理的證明過程可以看到：第1，拉格朗日中值定理是構(gòu)造畢竟不等式的關(guān)鍵.第2，多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的的有界性也是實(shí)現(xiàn)這個(gè)定理證明的關(guān)鍵步驟.在下面的2017年天津卷的解答過程中，我們將看到命題人是如何設(shè)計(jì)題目，將這兩個(gè)關(guān)鍵步驟逐次展開，完成題目命制.
二．典例應(yīng)用
我們先看泰勒的應(yīng)用，再看以泰勒為背景的綜合情境問題，最后看拉格朗日定理的應(yīng)用.
例1.（2022新高考1卷）設(shè)，試比較三個(gè)數(shù)的大小.
解析：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù).則可以看到：
，由于較小，所以對(duì)上述三個(gè)函數(shù)在處進(jìn)行二階泰勒展開：；；
.
在處，顯然，故.
當(dāng)然，這類題目不是第一次出現(xiàn)，2021年全國(guó)乙卷就以壓軸題的形式出現(xiàn)，解法與今年的大同小異！
例2.（2021山東模擬）已知函數(shù).
（1）證明：時(shí)，；
（2）設(shè)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，求的值.
解析：（2）記，注意到時(shí)，. 由于恒成立，故
即為函數(shù)的極小值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）.下面我們將與進(jìn)行泰勒展開：
，，
代入的表達(dá)式，于是可得：，故在處的泰勒展開：.
可以看到，若，則存在實(shí)數(shù)使得在的鄰域滿足，這與為函數(shù)的極小值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）矛盾，故得到.
例3．已知函數(shù)，.
（1）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（2）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
這個(gè)公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算足夠多的項(xiàng)時(shí)就可以確保顯示值的精確性.
現(xiàn)已知，
利用上述知識(shí)，試求的值.
解析：（1）由題意得：，因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，，
知：，，，
（i）當(dāng)時(shí)，由，，，，得，
所以在上單調(diào)遞減，，所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則.
①若，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，?br>所以存在，滿足，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
②若，令，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞減；
③若，則，在上單調(diào)遞減.由（a）（b）（c）得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以存在使得?br>所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，?br>所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；
（2）因?yàn)?，?）
對(duì)，兩邊求導(dǎo)得：，
，所以，（**）
比較（*）（**）式中的系數(shù)，得
所以.
例4．給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式.例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；
（2）比較（1）中與的大小.
（3）證明：.
解析：（1），，，，，，
，即；同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
，，在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
（3）令，則，，在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即；在點(diǎn)處的階泰勒展開式為：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
①當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，
，，
當(dāng)，由（2）可知，所以，
，即有；當(dāng)時(shí)，，所以，時(shí)，單調(diào)遞減，從而，即．綜上所述：.
例5．給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；
（2）比較（1）中與的大?。?br>（3）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開式，證明：．
解析：（1），，，，，，
，即；同理可得：；
（2）由（1）知：，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
（3）令，則，，在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即；在點(diǎn)處的階泰勒展開式為：，，
①由（2）知：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
②由（2）知：當(dāng)時(shí)，，，
令，則，在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，，，；
綜上所述：.
例6.（2017天津）設(shè)，定義在上的函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，函數(shù)，求證：；
（3）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，且 滿足.
解析（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）證明：由，得，
.
令函數(shù)，則.由（1）知，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)，，可得.
令函數(shù)，則.由（1）知，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)，，可得.
所以，.
注：第二問實(shí)質(zhì)就是拉格朗日中值定理.
（3）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，，且，
令，函數(shù).
由（2）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).
所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則.
由（1）知在上單調(diào)遞增，故，
于是.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點(diǎn)，而，故.
又因?yàn)椋?，均為整?shù)，所以是正整數(shù)，
從而.
所以.所以，只要取，就有.

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