★一．整除的基本概念
1.整除.
設(shè)如果存在使得那么就說(shuō)可被整除(或整除),記做且稱是的倍數(shù),是的約數(shù)(也可稱為除數(shù)、因數(shù)).不能被整除就記做.
整除關(guān)系的基本性質(zhì)：
（1）.
（2）.對(duì)任意的有
（3）.設(shè)，則.
（4）.若，則.
（5）.設(shè)為整數(shù)，若，則或者.
性質(zhì)（5）提供了由整除關(guān)系到不等關(guān)系的一種基本途徑，該性質(zhì)表明：若整數(shù)，且，則不整除.
2.素?cái)?shù)與合數(shù).
（1）素?cái)?shù)的定義：
（2）定理：素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè).
3.帶余除法（核心內(nèi)容）.
帶余除法：設(shè)、是兩個(gè)給定的整數(shù)且，那么，存在唯一的一對(duì)整數(shù)和，滿足，其中，顯然，.
4.最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)：
（1）.定義：設(shè)是兩個(gè)不全為零的整數(shù),如果且那么就稱為和的公約數(shù),我們把和的公約數(shù)中的最大的稱為和的最大公約數(shù),記做若則稱和是既約的,或是互素的.
（2）設(shè)是兩個(gè)均不為零的整數(shù),如果且那么就稱為和的公倍數(shù),我們把和的公倍數(shù)中的最小的稱為和的最小公倍數(shù),記做
（3）基本性質(zhì)：若為素?cái)?shù)，則.
（4）若的最大公因數(shù)為1，則稱互素.
★二.同余及應(yīng)用
設(shè)為正整數(shù),若整數(shù)和被除的余數(shù)相同,則稱和對(duì)模同余,記做
1.同余的性質(zhì)：
自反性：；
（2）對(duì)稱性：若，則；
（3）傳遞性：若且，則；
（4）若，，則；
（5）若，，則.特別地，若，則
2.完全剩余系與既約剩余系
（1）設(shè)是一個(gè)給定的正整數(shù),我們稱為模的同余類(或剩余類).顯然構(gòu)成整數(shù)集的一個(gè)劃分.
例如，我們以，全體整數(shù)被2整除的模2的同余類為0或者1，前者為偶數(shù)，后者為奇數(shù)，這就完成了一次整數(shù)的分類，依此類推.
在模的同余類中各取一數(shù),這個(gè)數(shù)稱為模的一個(gè)完全剩余系(簡(jiǎn)稱完系).最常用的完系稱為模的非負(fù)最小完全剩余系.
（2）如果一個(gè)模的同余類里面的數(shù)與互素,就把它叫做一個(gè)與模互素的同余類,在與?；ニ氐娜客囝愔?各取一數(shù)所組成的集叫做模的一個(gè)簡(jiǎn)系.模的一個(gè)簡(jiǎn)系的元素個(gè)數(shù)記為歐拉函數(shù)
歐拉函數(shù)是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù),的值等于中與互素的數(shù)的個(gè)數(shù).
★三.初等數(shù)論中的幾個(gè)重要定理
1.歐拉定理：設(shè)證明：歐拉函數(shù)是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù),的值等于中與互素的數(shù)的個(gè)數(shù).也等于模的一個(gè)簡(jiǎn)系的元素個(gè)數(shù).
進(jìn)一步，令,若則于是
若則,所以這就證明了費(fèi)馬小定理.
2.(費(fèi)馬小定理)設(shè)一個(gè)素?cái)?shù),對(duì)任意的整數(shù),證明若則
3.算術(shù)基本定理：
設(shè)整數(shù),那么其中是素?cái)?shù),在不計(jì)次序下唯一.把中相同的素?cái)?shù)合并,則得到標(biāo)準(zhǔn)素因數(shù)分解式
4.歐拉函數(shù).
1.定義：歐拉函數(shù)是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù),的值等于中與互素的數(shù)的個(gè)數(shù).
2.計(jì)算公式：
（1）若為素?cái)?shù)，則
（2）若為素?cái)?shù)，且，形成了一個(gè)等比數(shù)列.
證明：即證.由的定義知等于從減去中與不互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)；亦即等于從減去中與不互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).由于是質(zhì)數(shù)，故等于從減去中被整除的數(shù)的個(gè)數(shù).由于中被整除的數(shù)的個(gè)數(shù)是，故.
（3）已知正整數(shù)的素因數(shù)分解式其中素?cái)?shù)
,證明：
二．典例分析
例1.設(shè)都是正整數(shù)，則在中恰有個(gè)數(shù)被整除.
解析：此題是數(shù)論中的經(jīng)典結(jié)論，利用高斯取整函數(shù)和帶余除法基本概念可得：若整數(shù)滿足（，，是整數(shù)且），則
例2.證明：完全平方數(shù)模同余或.
解析：根據(jù)模的余數(shù)，可將任意整數(shù)分為四種，那么的形式為：，故模的余數(shù)只能為或.
例3．若正整數(shù)、只有為公約數(shù)，則稱、互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則
解析：對(duì)于A選項(xiàng)，在不超過(guò)的正整數(shù)中，與互質(zhì)的正整數(shù)有：、、、，故，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，顯然、、不成等差數(shù)列，B錯(cuò)；
或者用上面公式：，顯然不是等差數(shù)列.
對(duì)于C選項(xiàng)，為質(zhì)數(shù)，在不超過(guò)的所有正整數(shù)中，能被整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，
所有與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以，，
因此，，C錯(cuò)；或者用上面公式：，因此，，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉橘|(zhì)數(shù)，在不超過(guò)的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，
所以，，所以，，則，
所以，，上述兩個(gè)不等式作差可得，所以，，D對(duì).
或者：若，形成了一個(gè)等比數(shù)列.故選D.
例4．我國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中對(duì)同余問(wèn)題有了較深的研究．設(shè)，，為正整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則
B．
C．若，，，則
D．若，，則
解析：若，則或，故，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?除所得的余數(shù)為1，65被7除所得的余數(shù)為2，故B錯(cuò)誤；
由，得，由，得，所以，被除得的余數(shù)為6，而被除得的余數(shù)為5．故C錯(cuò)誤；
若，則，，
，
，所以，故D正確．
故選：D.
例5．中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究設(shè)，，為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為．若，，則的值可以是（ ）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2026
【答案】C
解析：因?yàn)椋?br>又，被8除得的余數(shù)為1，
所以被8除得的余數(shù)也要為1，因?yàn)?021除以8余5，2023除以8 余7，2025除以8余1，2026除以8余2，所以的值可以2025，故選：C
例6．若兩整數(shù)、除以同一個(gè)整數(shù)，所得余數(shù)相同，即，則稱、對(duì)模同余，用符號(hào)表示，若，滿足條件的由小到大依次記為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.
解析：由兩數(shù)同余的定義，是一個(gè)正整數(shù)，對(duì)兩個(gè)正整數(shù)、，若是的倍數(shù)，
則稱、模同余，我們易得若，則為6的整數(shù)倍，則，
故均滿足條件．由等差數(shù)列的前項(xiàng)公式，
則．故答案為：976．
例7.（合肥一中24屆高三模擬試題）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為:設(shè)且.若則稱與關(guān)于模同余,記作(“|"為整除符號(hào)).
（1）解同余方程;
（2）設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列,其中.
①若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求;
②若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
解:（1）由題意,所以或,即或.
(2)①由(1)可得為,所以，因?yàn)?所以
.
②.
因?yàn)?所以
.
例8．歐拉函數(shù)(n)(n∈)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：(1)=1，(4)=2．
（1）求，；
（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
解析：（1）不超過(guò)9，且與其互質(zhì)的數(shù)即為中排除掉3，6，9剩下的正整數(shù)，
則；不超過(guò)27，且與其互質(zhì)的數(shù)即為[1,27]中排除掉3，6，9，12，15，18，21，24，27剩下的正整數(shù)，則．
（2）表示任意相鄰的三個(gè)正整數(shù)，其中與互質(zhì)的為與兩個(gè)，故分別取可得中與互質(zhì)的正整數(shù)個(gè)數(shù)為，所以，所以．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．
，∴，
兩式相減得：
則．
例9．（24屆高三九省聯(lián)考試卷）離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素?cái)?shù)，集合
，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對(duì)數(shù)，記為．
（1）若，求；
（2）對(duì)，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時(shí)，）．證明：，其中；
（3）已知．對(duì)，令．證明：．
解析：（1）若，又注意到，所以.
（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，，
故，此時(shí).
當(dāng)時(shí)，因相異，故，而，故互質(zhì).
記，
則，使得，
故，故，設(shè)，則，因?yàn)槌缘挠鄶?shù)兩兩相異，且除以的余數(shù)兩兩相異，故，故，
故，而其中，
故即.
（3）由題設(shè)和（2）的法2的證明知：
，
．
故
．
由（2）法2的證明知，所以．

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