（備戰(zhàn)24高考數(shù)學(xué)）13.（回歸教材）但德林雙球與圓錐曲線的定義

13.丹德林雙球與圓錐曲線的立體視角 基本原理 1.丹德林雙球的定義 如圖1所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)球，，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切），切點(diǎn)圓分別為，.這兩個(gè)球都與平面相切，切點(diǎn)分別為，，丹德林（G·Dandelin）利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也稱(chēng)為Dandelin雙球. 圖1 圖2 如圖1，設(shè)直線分別與圓錐母線交于兩點(diǎn)，再設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線分別與，交于兩點(diǎn)，由切線長(zhǎng)定理：，，故. 同理，對(duì)于平面與圓錐側(cè)面的交線上任意一點(diǎn)，過(guò)的母線分別與，交于兩點(diǎn)，則. 即橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)切點(diǎn)圓之間的母線長(zhǎng). 2.長(zhǎng)軸長(zhǎng)與雙球半徑之間的關(guān)系：設(shè)兩個(gè)球，的半徑分別為，球心距，則如圖2，圖3，. 3.焦距與雙球半徑之間的關(guān)系：如圖4，設(shè)， 由于，最終求出. 圖3 圖4 4.離心率與截面角之間的關(guān)系 在空間中，已知圓錐是由圍繞旋轉(zhuǎn)得到的，我們把稱(chēng)為軸.用平面截圓錐，得到的截口曲線取決于平面與圓錐軸所成的線面角（顯然，當(dāng)與平行時(shí)，），具體關(guān)系如下： 若，平面截圓錐面所得截口曲線為橢圓； 若，平面截圓錐面所得截口曲線為拋物線： 若，平面截圓錐面所得截口曲線為雙曲線.這個(gè)比值就是圓錐曲線的離心率，離心率是一個(gè)比. 二．典例分析 例1．（2023屆廣州一模）如圖是數(shù)學(xué)家 Dandelin用來(lái)證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面與截面都相切，設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和2，球心距離，截面分別與球，球相切于點(diǎn)（是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于__________. 解析：設(shè)，由，解得， 所以，所以， 設(shè)直線與圓錐的母線相交于點(diǎn)， 圓錐的母線與球相切于兩點(diǎn)，如圖所示， 則，兩式相加得，即，過(guò)作，垂直為，則四邊形為矩形，所以，，所以橢圓的離心率為. 故答案為： 例2.如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)球，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切），切點(diǎn)圓（圖中粗線所示）分別為，，這兩個(gè)球都與平面相切，切點(diǎn)分別為，，丹德林（G·Dandelin）利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也稱(chēng)為Dandelin雙球．若圓錐的母線與它的軸的夾角為，球，的半徑分別為1、4，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)__________． 解析：如圖，A、B為圓錐的一條母線與球的切點(diǎn)，連接、，則，連接，過(guò)作交于點(diǎn)D，則，在直角中，，所以，解得，故，在和中，，，為公共邊，所以，有.同理可得，由橢圓的定義，得長(zhǎng)軸+.故答案為：. 例3．如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面相切，兩個(gè)球分別與平面相切于點(diǎn)，丹德林（）利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也稱(chēng)為Dandelin雙球.若平面截圓錐得的是焦點(diǎn)在軸上，且離心率為的橢圓，圓錐的頂點(diǎn)到橢圓頂點(diǎn)的距離為，圓錐的母線與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，圓錐的母線與它的軸的夾角為. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B中點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)F2的直線MF2與AB垂直，且與直線l：交于點(diǎn)M，求證：O，D，M三點(diǎn)共線. 解析：（1）因?yàn)閳A錐的母線與它的軸的夾角為，所以，且，所以直角三角形中，，所以 ，又因?yàn)椋裕?，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）設(shè)， 由題可知直線AB的斜率存在且不為0， 設(shè)其方程為，代入橢圓，得： 所以，所以， 由題可知直線的方程為，且，所以 求得：，，所以，故O，D，M三點(diǎn)共線.