1.兩點間距離公式:間距離:.
2.點到直線距離公式:點到直線的距離:.
3.三角不等式:任意兩邊之和大于等于第三邊,任意兩邊之差小于等于第三邊,取等條件當且僅當三點共線.
3.將軍飲馬模型:如圖,動點為直線上一點,為直線一側的兩個定點,那么
的最小值即為做點關于的對稱點,然后連接后其長度.
4.其他形式的將軍飲馬模型:若動點為曲線上一點,為曲線所在平面內(nèi)的兩個定點,那么如何求的最值.
5.若動點為函數(shù)圖象上任一點,直線與圖象相離,則到距離的最小值為函數(shù)圖象在點處的切線與平行時產(chǎn)生,故此時最小距離即為切點到直線的距離.
二.典例分析
例1.已知橢圓內(nèi)有一點,、分別為其左右焦點,是橢圓上一點,求:
(1).的最大值與最小值;
(2).的最大值與最小值.
解析:(1)如圖:,等號成立當在一側,且三點共線以及當在一側,且三點共線.故的最大值與最小值為:.
由橢圓定義可知:,由(1)可知:的最大值與最小值為:,故的最大值與最小值為:與
.
例2.已知動點為拋物線上任意一點,其焦點為,點,試求:
(1)的最小值;
(2)的最大值.
解析:(1)過向做垂線,垂足為,則,故當三點共線時,
取最小值,最小值為.
(2)當在一側且三點共線時,有最大值.
例3.(2020四川預賽)設函數(shù),則的最大值是_________.
解析:,故設,于是函數(shù)表示直線上的動點到兩個定點的距離之差.另一方面,由于點關于直線的對稱點,則,那么當三點共線時.
例4.若,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為_______.
解析:代數(shù)式表示點到點間的距離,即求下列兩函數(shù)圖象之間距離的最小值.
設函數(shù)圖象上處的切線斜率為,則,故最小距離為到直線的距離,由距離公式可知為,故.
例5.(2012全國卷)設點在曲線上,點在曲線上,則最小值為( )
A. B. C. D.
解析:函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),圖象關于對稱,函數(shù)上的點到直線的距離為.
設函數(shù),由圖象關于對稱得:最小值為.
三.習題演練
習題1.已知P是曲線上的動點,點在直線上運動,則當取最小值時,點P的橫坐標為( )
A.B.C.D.
解析:設,點在直線上,當取最小值時,垂直于直線. 此時
記,最小時,最小.
,當時,最小時,最小. 故選:C
習題2.已知,則y的最小值為( )
A.B.C.D.
解析:y的最小值即為上的點與上的點的距離的平方的最小值.
,令,解得:,又,故圖象上與平行的切線在圖像上的切點為.
于是圖像上的點與上的點的最短距離為點到的距離,即最短距離,則,y的最小值為.故選:B.

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