（備戰(zhàn)24高考數(shù)學(xué)）7.（回歸教材）新教材中一類(lèi)翻折模型及高考應(yīng)用

7.新教材中一類(lèi)翻折模型及高考應(yīng)用 一．主要結(jié)論 結(jié)論1：如圖，，設(shè)為中點(diǎn)，則，故面，則. 結(jié)論2：反過(guò)來(lái)，若如圖，，且，設(shè)為中點(diǎn)，則.另一方面，由于，則面，故，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故可得： . 結(jié)論3.上述兩個(gè)結(jié)論中，即為二面角的平面角. 結(jié)論4.. 結(jié)論5.外接球問(wèn)題 如下圖，所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問(wèn)題的步驟如下： （1）找出和的外接圓圓心，分別記為和． （2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為． （3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則． （4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑． 二．典例分析. 例1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（????） A． B． C． D． 【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即， 顯然平面，于是平面，又平面， 因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 顯然是銳角，， 所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C 例2.（2022年全國(guó)乙卷） 如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)． （1）證明：平面平面； （2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值． 注：（1）考察結(jié)論4， 由結(jié)論4易證. 將與兩條異面直線都垂直且相交的直線稱(chēng)為這兩條異面直線的公垂線，公垂線的兩個(gè)垂足之間的線段稱(chēng)為異面直線的公垂線段；兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度就叫做兩條異面直線的距離；且兩條異面直線的公垂線段，是連接兩條異面直線所有線段中的最短線段. 解析：（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以； 在和中，因?yàn)椋?所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以； 又因?yàn)槠矫?，，所以平面?因?yàn)槠矫?，所以平面平? （2）與平面所成的角的正弦值為 例3.（2021新高考1卷）. 如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn). （1）證明：； （2）若是邊長(zhǎng)為1等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積. 解析：（1）基本原理結(jié)論1 （2）由（1），且可知，且因?yàn)槊?，則 ，再過(guò)作，由于，那么故由結(jié)論2可得：.再由結(jié)論3，取中點(diǎn)，那么. 因?yàn)椋裕梢阎?，故?又，所以． 因?yàn)椋?． 例4．(2017年高考3卷理科)如上右圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，． (1)證明：平面平面； (2)過(guò)的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值． 注：（1）考察結(jié)論4， 由結(jié)論4易證. （2）考察結(jié)論3. 例5.(2013高考新課標(biāo)1卷理科) 如圖，三棱柱中，． (1)證明; (2)若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值。 解析：（1）考察結(jié)論1，過(guò)程略去. 下面看到“鴨嘴”模型的另一個(gè)應(yīng)用，計(jì)算外接球，這也是?？嫉囊粋€(gè)類(lèi)型. 例6．在四面體PABC中，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（????） A． B． C． D． 【詳解】設(shè)正的重心為，則是正的外接圓的圓心，取的中點(diǎn)， 因?yàn)椋允堑耐饨訄A的圓心，過(guò)作平面，過(guò)作平面，，如圖， ?? 則為四面體的外接球的球心，又二面角的大小為，則，又在正中，， 則在中，，設(shè)四面體PABC的外接球的半徑為， 則，所以四面體PABC的外接球的表面積為. 故選：C. 例7．在三棱錐中，△ABD和△CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球的表面積為（?????） A．π B．π C．π D．π 【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椤鰽BD和△CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，，則為二面角的平面角，即，設(shè)△ABD和△CBD外接圓圓心分別為，，則由，可得，，分別過(guò)作平面，平面的垂線，則三棱錐的外接球球心一定是兩條垂線的交點(diǎn)，記為，連接，，則由可得，所以，則， 則三棱錐外接球的表面積，故選：D ??