湖南省瀏陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（時(shí)量：120分鐘總分：150分考試形式：閉卷）
一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定的直線方程，求出直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.
【詳解】直線的斜率，所以該直線的傾斜角為.
故選：B
2. “”是“2，，8成等比數(shù)列”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列求出m，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】2，，8成等比數(shù)列，等價(jià)于，
所以“”是“2，，8成等比數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A
3. 已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于（）
A. 42B. 50C. 72D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列中，，
則．
故選：C
4. 如圖，在平行六面體中,為中點(diǎn)，則用向量可表示向量為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：
.
故選：B.
5. 已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關(guān)系是（）
A. B.
C. 與相交但不垂直D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷即得.
【詳解】由直線的方向向量是，平面的法向量是，
得，即，
所以或.
故選：D
6. 作圓上一點(diǎn)處的切線，直線與直線平行，則直線與的距離為（）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判斷點(diǎn)在圓上，求出直線的斜率，確定出切線的斜率，求出的方程，得出，根據(jù)直線與直線平行，利用平行線的距離公式求出與的距離即可.
【詳解】將點(diǎn)代入圓的方程：，所以點(diǎn)在圓上，
因?yàn)椋簣A心，所以直線的斜率：，
所以：切線的斜率為：，的方程為：，即：，
又因?yàn)椋褐本€與直線平行，
所以：.
所以：直線與直線的距離：，故A項(xiàng)正確.
故選：A.
7. 已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，確定點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系，再借助拋物線定義求解即得.
【詳解】拋物線中，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在拋物線外，
拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過(guò)作直線的垂線，垂足為，連接，
則，于是，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為.
故選：C
8. 直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓上異于的點(diǎn)，，的斜率分別為，且，則該橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓方程及斜率坐標(biāo)公式，利用離心率公式求解即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知點(diǎn)，顯然，
由與，相減得，
整理得，而，于是，
所以，所以該橢圓的離心率為.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐曲線的點(diǎn)差法，從而得解.
二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 已知雙曲線，則下列關(guān)于雙曲線的結(jié)論正確的是（）
A. 實(shí)軸長(zhǎng)為6B. 焦距為5
C. 離心率為D. 焦點(diǎn)到漸近線的距離為4
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由雙曲線，可得，則，
可得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，
所以A正確，B、C不正確；
又由雙曲線的漸近線方程為，即，且焦點(diǎn)，
不妨設(shè)右焦點(diǎn)，漸近線為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以D正確.
故選：AD.
10. 在平面上，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)滿足（且），則的軌跡是個(gè)圓，這個(gè)圓稱作為阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)滿足，記的軌跡為圓.則下列結(jié)論正確的是（）
A. 圓方程為：
B. 過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)是
C. 過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為
D. 直線與圓相交于兩點(diǎn)，則最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用距離關(guān)系列式求解方程判斷A，利用切線長(zhǎng)定理求解判斷B，利用切線性質(zhì)求出斜率，代入點(diǎn)斜式即可求出切線方程判斷C，先求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，再利用幾何性質(zhì)結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由題意點(diǎn)，，
因?yàn)?，所以，即?br>所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圓C的方程為，正確；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A知圓心，半徑，設(shè)切點(diǎn)為D，
所以，則，因?yàn)椋?br>所以，即過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)是，正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓上，因?yàn)椋?br>所以過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，
所以切線方程為，即，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，可得，
聯(lián)立，解得，即該直線恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在圓內(nèi)，由圖知，當(dāng)軸時(shí)，
有最小值是，正確.
故選：ABD
11. 如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）

A. 直線與所成的角為
B. 直線與平面所成的角為
C. 直線與平面平行
D. 平面截正方體所得的截面面積為
【答案】AC
【解析】
【分析】為直線與所成的角，計(jì)算得到A正確，為直線與平面所成的角，，B錯(cuò)誤，平面∥平面，C正確，梯形為平面截正方體所得的截面，計(jì)算得到錯(cuò)誤，得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：如圖1所示，連接，，，，則，
，，故是平行四邊形，故，即，
為直線與所成的角，為等邊三角形，故，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：如圖2所示，為中點(diǎn)，連接，，，
故為平行四邊形，故，
平面，則為直線與平面所成的角，，
故，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：如圖3所示，為中點(diǎn)，連接，，，，
則，，故為平行四邊形，故，
平面，平面，故∥平面，
同理可得∥平面，，故平面∥平面，
平面，故直線與平面平行，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：如圖4所示，連接，，，則，
，，故為平行四邊形，故，則，
則梯形為平面截正方體所得的截面，
，，，
等腰梯形的高為，
，錯(cuò)誤；
故選：AC
12. 關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）
A. 是的極大值點(diǎn)
B. 函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)
C. 對(duì)不等式在上恒成立
D. 對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究即可；
對(duì)于B，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用單調(diào)性來(lái)判斷即可；
對(duì)于C，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求其最大值即可；
對(duì)于D，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值可得答案.
【詳解】對(duì)于A，，，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
為的極小值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C，若在上恒成立，得在上恒成立，
則
令，則，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，即，
在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)，則，C正確；
對(duì)于D，令，
，
則
在上單調(diào)遞減，
則，即，
，，結(jié)合A選項(xiàng)可得，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，
即對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在選項(xiàng)D，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，是關(guān)鍵，然后構(gòu)造出函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.
三、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 已知空間向量，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即得.
【詳解】空間向量，所以.
故答案為：
14. 已知直線的傾斜角，直線，則的斜率為_(kāi)_．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)直線的傾斜角，直線，求出的傾斜角，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求出的斜率．
【詳解】解：∵直線的傾斜角，直線，
∴的傾斜角為，
∴的斜率為，
故答案為:．
15. 在數(shù)列中，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可知數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，結(jié)合通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】由得，又，
則數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，得，
所以，
所以.
故答案為：
16. 已知實(shí)數(shù)，滿足，則代數(shù)式的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)方程判斷點(diǎn)的軌跡方程，再將其轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，代入所求式，利用正弦型函數(shù)的有界性求解即得.
【詳解】因?qū)崝?shù)，滿足，，
故可知點(diǎn)的軌跡是以為兩焦點(diǎn)的橢圓，軌跡方程為：，
故可設(shè)該橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）
則，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值為
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)兩變量滿足的方程，求解關(guān)于兩變量解析式的范圍或最值的題型，關(guān)鍵在于對(duì)方程的理解，如果滿足熟知的點(diǎn)的軌跡，則可以利用定義得出軌跡方程，再通過(guò)參數(shù)方程求出，將其轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題求解.
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. 矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，AB邊所在直線的方程為，點(diǎn)在AD邊所在直線上．
（1）求AD邊所在直線的方程；
（2）求矩形ABCD外接圓E的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線垂直得到直線AD的斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出AD邊所在直線的方程；
（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，且外接圓圓心為，從而寫(xiě)出矩形外接圓的方程.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)锳B邊所在直線的方程為，且AD與AB垂直，
所以直線AD的斜率為－3
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線AD上，
所以AD邊所在直線的方程為，即；
小問(wèn)2詳解】
由，解得：，故點(diǎn)A坐標(biāo)為，
因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為，
所以點(diǎn)M為矩形ABCD外接圓圓心．
又因?yàn)椋?br>從而矩形ABCD外接圓E的方程為.
18. 如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【詳解】分析：（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，求出，D，M四點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出對(duì)于的向量坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的夾角公式求解即可；（2）先根據(jù)坐標(biāo)系求出平面的法向量，然后寫(xiě)出向量，在根據(jù)向量夾角公式即可求解.
詳解：
在正四棱柱中，以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)?，，?br>所以，，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
(2)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
則，得，取，得，，
故平面的一個(gè)法向量為．
于是，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
點(diǎn)睛：考查線線角，線面角對(duì)于好建空間坐標(biāo)系立體幾何題則首選向量做法，直接根據(jù)向量求解解題思路會(huì)比較簡(jiǎn)單，但要注意坐標(biāo)的準(zhǔn)確性和向量夾角公式的熟悉，屬于基礎(chǔ)題.
19. 綜合應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡．這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡筒可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚．例如，某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種鏡筒長(zhǎng)為2m的反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個(gè)分支．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，試根據(jù)圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．
【答案】雙曲線方程為，拋物線方程為
【解析】
【分析】根據(jù)題意，對(duì)于雙曲線，有，求出，，可得雙曲線的方程；求出拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得拋物線的方程．
【詳解】解：對(duì)于雙曲線，有，，，
，
雙曲線的方程為；
拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，
拋物線的方程為．
20. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．
（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】（1），，；
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和數(shù)列的遞推式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得所求；
（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．
【小問(wèn)1詳解】
，，成等差數(shù)列，
，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，
是等比數(shù)列，
，則，得，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；
【小問(wèn)2詳解】
，
則前項(xiàng)和，
，
兩式相減可得
，
化簡(jiǎn)可得．
21. 如圖，正三角形與菱形所在的平面互相垂直，，，是的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）已知點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角為，求出的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，證明出、、兩兩垂直，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離；
（2）設(shè)，，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求出的值，即可求出的值.
【小問(wèn)1詳解】
解：連接，∵，是的中點(diǎn)，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，菱形中，，所以是正三角形，
∴．∴、、兩兩垂直．
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以，點(diǎn)到平面的距離為.
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意可知，平面的一個(gè)法向量為，
，，
設(shè)，，
則，
∵直線與平面所成的角為，
，
整理可得，解得，
所以，．
22. 已知函數(shù)．
（1）若在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求證：當(dāng)且時(shí)，．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為恒成立，分參，求函數(shù)最值，進(jìn)而求參數(shù)的取值范圍；
（2）利用且，放縮，可知，利用隱零點(diǎn)的性質(zhì)證明即可.
【小問(wèn)1詳解】
定義域?yàn)?，因?yàn)樵诙x域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，
令，所以，令得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
故a的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
且時(shí)，所以，
令，，所以，
令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?，所以存在，有?br>即，所以
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，
故.
【點(diǎn)睛】（1）利用函數(shù)單調(diào)遞減可知，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，進(jìn)而求參數(shù)取值范圍；
（2）巧妙的將參數(shù)a放縮，證明，利用隱零點(diǎn)的特點(diǎn)證明.

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