考試時間：120分鐘 滿分150分
注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2.請將答案正確填寫在答題卡上
一.單擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1.已知集合，則（ ）
A.B.C.D.
2.函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A.B.C.D.
3.設(shè).若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且，則的取值范圍（ ）
A.B.C.D.且
4.若不等式與關(guān)于的不等式的解集相同，則的解集是（ ）
A.B.
C.D.
5.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，則的取值范圍為（ ）
A.B.
C.D.（-4，2）
6.已知在上是減函數(shù)，那么的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是（ ）
A.B.
C.D.
8.設(shè)函數(shù)，則（ ）
A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增
B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增
D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
二.多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9.下面命題正確的是（ ）
A.“”是“”的必要不充分條件
B.“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件
C.設(shè)，則“”是“且”的充分不必要條件
D.命題“，”的否定為“，”
10.已知正數(shù)x，y滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.的最小值是2B.的最大值是1
C.的最小值是4D.的最大值是
11.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，又函數(shù)，且與的函數(shù)圖象恰好有2024個不同的交點(diǎn)，，，，則下列敘述中正確的是（ ）
A.的圖象關(guān)于對稱
B.的圖象關(guān)于對稱
C.
D.
三.填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12._____.
13.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則_____.
14.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.
若對任意的且，都有成立，則不等式的解集是_____.
四.解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15.（13分）已知函數(shù)
（1）判斷的奇偶性；
（2）用定義證明在上為減函數(shù).
16.（15分）已知函數(shù)
（1）求的值；
（2）求的最大值.
17.（15分）已知福州地鐵2號線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔（單位：分鐘）滿足.經(jīng)市場調(diào)研測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔相關(guān)，當(dāng)時地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為400人，當(dāng)時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為272人，記地鐵載客量為.
（1）求的解析式，并求當(dāng)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，地鐵的載客量；
（2）若該線路每分鐘的凈收益為（單位：元），當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大?
18.（17分）設(shè)函數(shù)（，且）.
（1）若，判斷的奇偶性和單調(diào)性；
（2）若，求使不等式恒成立時實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，且在上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)的值.
19.（17分）已知函數(shù)和，定義集合.
（1）設(shè)，，求；
（2）設(shè)，，，若任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，，，若存在，使得且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2024年下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測試卷
高一數(shù)學(xué)答案
一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1.解：，，則.故選：A.
2.解：要使原函數(shù)有意義，則，解得.
函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.
3.解：函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故，解得.故選：A.
4.解：由得，則或，
由題意可得解得，，
對應(yīng)方程的兩根分別為，，
則的解集是.故選：D.
5.解：冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
，，，
函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，解得：或，
即的取值范圍為.故選：C.
6.解：因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，所以
解得，即的取值范圍是.故選：A.
7.解：根據(jù)題意，函數(shù)是上的偶函數(shù)，
則，又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，
則有，故選：C.
8.解：由，得.
又，
為奇函數(shù)；
由，
.
可得內(nèi)層函數(shù)的圖象如圖，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減.又對數(shù)式是定義域內(nèi)的增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞減.故選：D.
二.多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）
9.解：A，，是的必要不充分條件，A正確，
B，若，則一定成立，則方程一定有兩不等實(shí)根，，又，則兩根異號，B正確，
C，當(dāng)，時，滿足，但且不成立，C錯誤，
D，命題，的否定為，，D錯誤，故選：AB.
10.解：因?yàn)閤，y滿足，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號，A正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；
由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C錯誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，D正確.故選：ABD.
11.解：根據(jù)題意，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，
則有，
即，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于（1，2）對稱，A選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確；
函數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移可知，
的函數(shù)圖象也關(guān)于（1，2）對稱，
所以與的函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于（1，2）對稱，
不妨設(shè)，則有，
，所以，C選項(xiàng)正確；
，D選項(xiàng)錯誤.故選：BC.
三.填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）
12.解：易知
.故答案為：12.
13.解：由已知可得，解得，故答案為：-1.
14.解：因?yàn)閷θ我獾?、且，都有成立?br>不妨令，則，即，
所以，
令，
則當(dāng)，且時，，
所以在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)且，則，
所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以不等式的解集是.
四.解答題（共5小題，滿分77分）
15.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又.
是奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)，是上的任意兩數(shù)，且，
則.
，且，即.
在上為減函數(shù).
16.解：（1），
；
（2）當(dāng)時，，
當(dāng)時，取最大值為；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
則的最大值為；
綜上，有最大值為40.
17.解：（1）當(dāng)時，設(shè)，
則，解得，
由題意可得，，
故當(dāng)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，地鐵的載客量為（人）.
（2）當(dāng)時，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
當(dāng)時，，
此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
綜上所述，當(dāng)發(fā)車時間間隔為5分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大.
18.解：（1）的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，且
為奇函數(shù)，，遞減，遞減，
故是減函數(shù)；
（2）（且）.
，，又，且，，
故在上單調(diào)遞減，
不等式化為，，即恒成立，
，解得；
（3），，即，解得或（舍去），
，
令，由（1）可知為增函數(shù)，
，，
令，
若，當(dāng)時，，；
若時，當(dāng)時，，解得，無解；
綜上，.
19.解：（1）由，即
當(dāng)時，不等式化為，得，此時，不等式的解為.
當(dāng)時，不等式化為，即，恒成立，
此時，不等式的解為.
當(dāng)時，不等式化為，得.此時，不等式的解為.
綜上所述，的解集為（2，6），即.
（2）由題意知，不等式①恒成立，
且不等式②恒成立；
由①得，，
則，解得；
由②得，，
當(dāng)時，不等式化為恒成立，
當(dāng)時，應(yīng)滿足，解得；
綜上知，的取值范圍是.
（3）由題意得，不等式組有解，
由，
又轉(zhuǎn)化為，
①當(dāng)，即時，上式為，對任意恒成立.
此時不等式組有解，滿足題意；
②當(dāng)，即時，或，
要使不等式組有解，則或，解得，
則有；
③當(dāng)，即時，或.
要使不等式組有解，
則或，解得，
則有，
綜上所述，的取值范圍是.

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