一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯(cuò)得0分.
1. 過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，
所以直線方程為，即，
故選：D.
2. 已知非零向量，，且、、不共面，若，則（ ）
A. B. C. 8D. 13
【答案】B
【解析】因?yàn)?，則存在，使得，
即，
則，解得，，
所以.
故選：B.
3. 已知點(diǎn)A，B，C為橢圓D的三個(gè)頂點(diǎn)，若是正三角形，則D的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】無論橢圓焦點(diǎn)位于軸或軸，根據(jù)點(diǎn),,為橢圓的三個(gè)頂點(diǎn),
若是正三角形,則，即，即，
即有，則，解得.
故選：C.
4. 已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
則，解得：①，
又∵點(diǎn)在圓的外部，
∴，即，解得或②，
由①②得，
故選：B．
5. 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，，，則的歐拉線方程為（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，，，
可知的重心為點(diǎn)，即點(diǎn)，
由題意，可知，
所以的外心為斜邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)，
所以的歐拉線方程為，
即.
故選：C.
6. 已知點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)，，則，
兩式相減得，
即，∴.
故選D.
7. 如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】平面,平面, 平面,
因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.

則
設(shè)平面的法向量為，則
，令，則,
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則
故直線到平面的距離為.
故選：D.
8. 已知為雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，與的另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖所示，
可知：，，，，，
可得，
，即
可得，
解得：或
因?yàn)椋裕?br>所以舍去，
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18.分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 滿足下列條件的直線與，其中的是（ ）
A. 的傾斜角為，的斜率為
B. 的斜率為，經(jīng)過點(diǎn)，
C. 經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，
D. 的方向向量為，的方向向量為
【答案】BCD
【解析】對A，，，，所以A不正確；
對B，，，故B正確；
對C，，，，故C正確；
對D，因?yàn)?，所以兩直線方向向量互相垂直，故，故D正確.
故選：BCD
10. 長度為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，線段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 點(diǎn)在曲線內(nèi)
B. 直線與曲線沒有公共點(diǎn)
C. 曲線上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)仍在曲線上
D. 曲線上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為
【答案】ABC
【解析】設(shè)線段中點(diǎn)，則，，
故，即，表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，故C選項(xiàng)正確；
A選項(xiàng)，點(diǎn)滿足在曲線內(nèi)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，直線，即，圓心到直線的距離，故直線與圓無公共點(diǎn)，B選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，又，
所得由三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：ABC.
11. 在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（ ）
A. ∥平面
B. 面⊥面
C. 直線到平面的距離是
D. 點(diǎn)到直線的距離是
【答案】ABD
【解析】A.如圖所示：
連接交于點(diǎn)E，連接DE，
所以，又平面，
平面，所以平面，故正確；
B.因?yàn)?，D是AC的中點(diǎn)，
所以，又平面平面ABC，
所以平面，又平面，
所以面⊥面，故正確；
C.∵平面，∴到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
C.以D點(diǎn)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，即，
不妨取，
所求距離，故錯(cuò)誤；
D.如圖所示：
作，連接，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，
又，所以平面，則，
又，
所以，故正確；
故選：ABD
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）
12. 已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為____________．
【答案】
【解析】令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，
由雙曲線的離心率為，得，
解得，則，
所以雙曲線的方程為.
故答案為：.
13. 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小為___________.
【答案】900
【解析】不妨設(shè)BB1=1，則AB=2，

∴直線AB1與C1B所成角為90°.
故答案為90°.
14. 已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且與圓：相切于點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________
【答案】
【解析】圓：的圓心，半徑，
由點(diǎn)，點(diǎn)，直線斜率，
線段的中垂線過點(diǎn)，且斜率為，方程為，即，
直線的方程為，即，
由，得，
則所求圓的圓心，半徑為，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共7分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，已知平面，為矩形，，分別為的中點(diǎn)，求證：
（1）平面；
（2）平面平面.
解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則有.
（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.
所以.所以.
又因?yàn)槠矫?，所以平?
（2）由（1），知，所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則，即.解得.
令，
則.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.
得.令，則，因?yàn)?，所?故平面平面
16. 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.
（1）求拋物線的方程，并求的值；
（2）過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求直線的方程.
解：（1）拋物線：y2=2pxp>0的準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，
所以，解得，
所以拋物線方程為，
又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，.
（2）由（1）可知拋物線的焦點(diǎn)F1,0，
顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1，Nx2,y2，
由，消去整理得，
所以，則，，
所以，
，
又，所以，，
因?yàn)?，所以?br>即，
即，解得，
所以直線的方程為，即.
17. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．
解：（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，
故，平方后化簡可得，
故點(diǎn)的軌跡的方程為：
（2）由題意，,
設(shè)直線的方程為，,，,，
由，可得，
所以，
．
則，，
所以
；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，
綜上，為定值．

18. 已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面，
（1）求證：；
（2）是否存在一點(diǎn)，滿足，且使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為；若存在，指出點(diǎn)的位置，否則，請說明理由.
解：（1）取的中點(diǎn)，連接,
因?yàn)?，所以，又，所以是等邊三角形?br>所以，所以是直角三角形，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面?br>所以平面，又平面，所以；
（2）為中點(diǎn)即可滿足條件，理由如下：
取的中點(diǎn),連接，則，
平面平面，平面，平面平面，
所以平面，由為等邊三角形，可得，
在直角三角形中，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
則，
令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
于是，解得或（舍去），
所以點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
19. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，短軸長為2，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線與軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.
（1）求橢圓C的方程
（2）求證：直線恒過定點(diǎn)；
（3）斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記以，為直徑的圓的面積分別為，， 的面積為，求的最大值.
解：（1）由已知兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A-2,0，，短軸長為2，得，，

則橢圓方程：.
（2）設(shè)直線方程為，Px1,y1，Qx2,y2，
由，消去x得，，
，
則，，
，
，
又點(diǎn)Px1,y1在橢圓上，則，即
則，
即，則，
即
，
解得，此時(shí)，
即直線的方程為，
所以直線恒過定點(diǎn).
（3）設(shè)直線的方程為，，，

由，消去得，
，即，
則，，
所以
點(diǎn)到直線的距離，
所以，
又，，
所以
，
所以
則當(dāng)即時(shí)，取最大值為.

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