1．（遼寧省大連市中山區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數學試題）已知拋物線上的部分點的橫坐標與縱坐標的對應值如表：
以下結論錯誤的是（ ）
A．拋物線的頂點坐標為
B．當時，y隨x增大而增大
C．方程的根為0和2
D．當時，的取值范圍是
2．（2023·河南鄭州·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與軸交于點和，與軸交于點，下列結論：①，②，③，④，其中正確的結論個數為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南鄭州·河南省實驗中學?？既＃┤鐖D，拋物線的對稱軸為直線，則下列結論中，錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形的邊與y軸平行，且，反比例函數的圖象同時經過點B與點D，則k的值為 ．
二、解答題
5．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）原地正面擲實心球是中招體育考試項目之一．受測者站在起擲線后，被擲出的實心球進行斜拋運動，實心球著陸點到起擲線的距離即為此項目成績．實心球的運動軌跡可看作拋物線的一部分．如圖，建立平面直角坐標系，實心球從出手到著陸的過程中，豎直高度與水平距離近似滿足函數關系．小明使用內置傳感器的智能實心球進行擲實心球訓練．
(1)第一次訓練時，智能實心球回傳的水平距離與豎直高度的幾組對應數據如下：
則：①拋物線頂點的坐標是______，頂點坐標的實際意義是________；
②求y與x近似滿足的函數關系式，并直接寫出本次訓練的成績．
(2)第二次訓練時，y與x近似滿足函數關系，則第二次訓練成績與第一次相比是否有提高？為什么？
(3)實心球的拋物線軌跡是影響成績的重要因素，可以通過多種方法調整實心球的軌跡．小明擲實心球的出手高度不變，即拋物線中c的值不變，要提高成績應使a，b的值做怎樣的調整?
6．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考模擬預測）如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線交y軸于點C，交x軸于A、B兩點，已知B點坐標為，且，連接．
(1)求拋物線的解析式，及頂點坐標；
(2)將拋物線沿x軸向右平移，移動水平距離為m，若拋物線與線段有交點，請直接寫出m的取值范圍．
7．（2023·河南鄭州·?？级＃┤鐖D，一小球M（看做一個點）從斜坡上的O點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數刻畫、若小球到達的最高的點坐標為，解答下列問題：
(1)求拋物線的表達式；
(2)小球落點為A，求A點的坐標；
(3)在斜坡上的B點有一棵樹（樹高看成線段且垂直于x軸），B點的橫坐標為2，樹高為4，小球M能否飛過這棵樹？通過計算說明理由．
8．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點B坐標為，拋物線的頂點為C，點B關于對稱軸直線的對稱點為點D．
(1)求該拋物線的表達式；
(2)當時，求函數值y的取值范圍；
(3)將拋物線在點D下方的圖象沿著直線向上翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象，當直線與新圖象有2個公共點時，請直接寫出n的值．
9．（2023·河南鄭州·?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線與軸交于點A、兩點，與軸交于點，點的坐標為，拋物線與直線交于、兩點連接、．
(1)求拋物線解析式；
(2)拋物線上有一點，滿足，求點的坐標；
(3)拋物線上有一點，，求點的坐標．
10．（2023·河南鄭州·鄭州市第八中學?？级＃┤鐖D所示，拋物線與x軸交于點、B兩點，交y軸于點C，點P為拋物線頂點．

(1)求二次函數解析式；
(2)當直線與這段函數圖象有交點時，求b的取值范圍；
(3)點、在拋物線上，若，求的取值范圍．
11．（2023·河南鄭州·河南省實驗中學?？家荒＃┤鐖D，在斜坡底部點O處安裝一個自動噴水裝置，噴水頭（視為點A）的高度（噴水頭距噴水裝置底部的距離）是米，自動噴水裝置噴射出的水流可以近似地看成拋物線．當噴射出的水流與噴水裝置的水平距離為米時，達到最大高度米．以點O為原點，自動噴水裝置所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．
(1)求拋物線的函數關系式；
(2)斜坡上距離O水平距離為米處有一棵高度為米的小樹，垂直水平地面，且M點到水平地面的距離為2米，綠化工人向左水平移動噴水裝置后，水流恰好噴射到小樹頂端的點N，求自動噴水裝置向左水平平移（即拋物線向左）了多少米？
12．（2023·河南鄭州·河南省實驗中學校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點與原點重合，點在軸的正半軸上，點在反比例函數的圖象上，點的坐標為．
(1)求反比例函數的關系式；
(2)設點在反比例函數的圖象上，連接，若的面積是菱形面積的，求點的坐標．
13．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考模擬預測）如圖所示，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與直線交于A，B兩點，且點，點．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)直接寫出不等式的解集；
(3)求的面積．
14．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數表達式為．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水點C，D之間的距離．
（3）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，，．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明．
15．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數的圖象與正比例函數的圖象相交于，B兩點．
(1)求k的值及點B的坐標；
(2)請直接寫出不等式的解集；
(3)已知軸，以AB、AD為邊作菱形ABCD，求菱形ABCD的面積．
16．（2023·河南鄭州·?？级＃┤鐖D，中，頂點的坐標是，軸，交軸于點，頂點的縱坐標是-4，的面積是24．反比例函數的圖象經過點和，求：
（1）反比例函數的表達式；（2）所在直線的函數表達式．
17．（2023·河南鄭州·校考一模）如圖，雙曲線與直線交于，，直線交軸于點，交軸于點．
(1)求雙曲線與直線的解析式；
(2)直接寫出不等式的解集；
(3)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段的垂直平分線保留作圖痕跡，不寫作法，交直線于點，交雙曲線于點，求出點的坐標．
18．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學?？级＃┠彻緸槌鞘袕V場上一雕塑安裝噴水裝置．噴水口位于雕塑的頂端點B處，噴出的水柱軌跡呈現拋物線型．據此建立平面直角坐標系，如圖．若噴出的水柱軌跡上某一點與支柱的水平距離為x（單位：m），與廣場地面的垂直高度為y（單位：m）．下面的表中記錄了y與x的五組數據：
根據上述信息，解決以下問題：
(1)求出與之間的函數關系；
(2)求水柱落地點與雕塑的水平距離；
(3)為實現動態(tài)噴水效果，廣場管理處決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱軌跡的形狀不變的前提下，把水柱噴水的半徑（動態(tài)噴水時，點C到AB的距離）控制在到之間，請?zhí)骄扛慕ê髧娝厮淖畲蟾叨群蚥的取值范圍．
19．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學?？级＃┙o定一個矩形A，如果存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半，那么稱矩形B是矩形A的“對半矩形”
(1)填空：
當已知矩形A的邊長分別為6和1時，小明是這樣研究的，設所求的對半矩形B的一邊是x，則另一邊為（ -x），由題意得方程：x（ -x）=3，化簡得：2x2-7x+6=0
∵b2-4ac=49-48＞0，∴x1=_______________，x2=_________________
∴矩形A存在對半矩形B．
小紅的做法是：設所求的對半矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：消去y化簡后也得到：2x2-7x+6=0，然后通過解該一元二次方程我們可以求出對半矩形B的兩邊長．
(2)如果已知矩形A的邊長分別為3和2．請你仿照小明或小紅的方法研究矩形A是否存在對邊矩形B．
(3)方程和函數之間密不可分，我們可以利用函數圖象解決方程的相關問題．如圖，在同一平面直角坐標系中畫出了一次函數和反比例函數的部分圖象，其中x和y分別表示矩形A的對半矩形B的兩邊長，請你結合之前的研究，回答下列問題：
①這個圖象所研究的矩形A的面積為________________；周長為_______________．
②對半矩形B的兩邊長為______________和________________
20．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）生命在于運動．體育運動伴隨著我們每一天，科學的體育運動不僅能強健體魄，更能愉悅身心．但與此同時我們也可以看到，因為不遵循運動規(guī)律而導致身體損傷的事情時有發(fā)生，我們越來越重視科學運動．衡量科學運動的重要指標之一就是心率．研究發(fā)現，運動過程中影響心率的主要因素有年齡、性別、運動強度、運動時間、運動類型、運動項目、情緒等．數學興趣小組在分析了以上因素后，用統(tǒng)計和函數的知識，深入研究了在慢跑和跳繩過程中，心率與時間的關系如下表：
計算機將慢跑時的平均心率與跳繩時的平均心率與時間的關系擬合成一次函數的圖象如圖1：

計算機將慢跑時的平均心率與時間的關系擬合成的另一種函數的圖象如圖2：
(1)根據圖1中的信息，你發(fā)現在哪項運動中心率隨時間的變化更快？請說明理由；
(2)甲同學慢跑運動后的心率為158次/分，根據圖1中的信息請你估算甲同學運動的時間；
(3)有同學認為，計算機將慢跑時的平均心率與時間的關系擬合成的一次函數關系與實際的測量結果誤差比較大，所以又借助計算機將其擬合為另一種函數關系，如圖2，請你根據實際情況說明他的分析是否合理？并說明理由．
21．（2023·河南鄭州·河南省實驗中學?？既＃┳闱虮荣愔校斒亻T員遠離球門時，進攻隊員常常使用吊射戰(zhàn)術（把球高高地挑過守門員的頭頂，射入球門）．一般來說，吊射戰(zhàn)術中足球的軌跡往往是一條拋物線．摩洛哥與葡萄牙比賽進行中，摩洛哥一位球員在離對方球門30米的點處起腳吊射，假如球飛行的路線是一條拋物線，在離球門14米時，足球達到最大高度8米．以點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．

(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)此時，葡萄牙隊的守門員在球門前方距離球門線1米處，原地起跳后雙手能達到的最大高度為2.8米，在沒有摩洛哥隊員干擾的情況下，那么他能否在空中截住這次吊射？請說明理由．
22．（2023·河南鄭州·河南省實驗中學校考三模）如圖，已知反比例函數的圖像經過點，過作軸于點．點為該反比例函數圖像上的一點，過點作軸于點，連接．直線與軸的負半軸交于點．

(1)求反比例函數表達式；
(2)若，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
23．（2023·河南鄭州·鄭州市第八中學?？级＃┤鐖D所示，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于A、B兩點，其中點A的橫坐標是．

(1)求反比例函數的解析式；
(2)直接寫出不等式的解集 ；
(3)按照既得數據，計算的面積．
24．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考二模）如圖，點在拋物線C：上．
(1)直接寫出拋物線C的解析式____________，頂點Q的坐標：__________．
(2)點 在拋物線C：上，且在拋物線C的對稱軸的右側，求a的值；
(3)在坐標平面內放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及C的一段，分別記為，平移該膠片，使所在拋物線對應的解析式恰為，求點移動的最短路程．
25．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置，，從A處向外噴出的水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下．王麗芳同學根據題意在圖中建立如圖所示的坐標系，水流噴出的高度與水平距離之間的關系式是，已知水流的最高點到的水平距離是，最高點離水面是．

(1)求二次函數表達式；
(2)若不計其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？
26．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交，其中一個交點A的橫坐標是2．

(1)求反比例函數的表達式；
(2)將一次函數的圖象向下平移4個單位長度，請在圖中直接畫出平移后的圖象，并求出平移后的圖象與反比例函數的圖象的交點坐標．
27．（2023·河南鄭州·?？既＃┮蛔鶔佄锞€型拱橋如圖所示，當橋下水面寬度為20米時，拱頂點O距離水面的高度為4米．如圖，以點O為坐標原點，以橋面所在直線為x軸建立平面直角坐標系．

(1)求拋物線的解析式；
(2)汛期水位上漲，一艘寬為5米的小船裝滿物資，露出水面部分的高度為3米（橫截面可看作是長為5米，寬為3米的矩形），若它恰好能從這座拱橋下通過，求此時水面的寬度（結果保留根號）．
28．（2023·河南鄭州·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎獟佄锞€經過點，，對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式；
(2)當時，求的取值范圍；
(3)拋物線與軸交于點，直線上有一動點， 將點向下平移個單位長度，得到點，若拋物線與線段只有一個公共點，請直接寫出點的橫坐標的取值范圍．
29．（2023·河南鄭州·校考三模）如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于點，與軸交于點．
(1)求反比例函數和一次函數的解析式；
(2)求的面積；
(3)直接寫出不等式的解集．
30．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學?？既＃┤鐖D1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器，將發(fā)石車置于山坡底部處，以點為原點，水平方向為軸方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，將發(fā)射出去的石塊當作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線的一部分，山坡上有一堵防御墻，其豎直截面為，墻寬米，與軸平行，點與點的水平距離為米、垂直距離為米．
(1)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為米，
①求拋物線的解析式；
②試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；
(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部上（包括端點、），求的取值范圍，
31．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學?？既＃┤鐖D，一次函數的圖象與反比例函數的圖像相交于、兩點．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式；
（2）根據圖象，直接寫出滿足的的取值范圍；
（3）若點在線段上，且，求點的坐標．
32．（2023·河南鄭州·河南省實驗中學?？寄M預測）如圖，已知，，，．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B關于直線的對稱點D．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)若反比例函數的圖象過點D，求此反比例函數的解析式；
(3)求的值．
…
0
1
2
3
…
…
3
0

3
…
水平距離x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
豎直高度y/m
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1
0
2
6
10
3
實驗運動時間x（秒）
慢跑平均心率y1（次/秒）
跳繩平均心率y2（次/秒）
0
83
83
10
103
110
20
111
121
30
121
127
40
128
134
50
133
140
60
141
143
70
142
154
80
146
155
90
150
161
100
156
167
110
156
166
120
153
165
130
153
174
140
160
173
150
160
177
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179
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155
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