（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2. 已知命題：，，則為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3.若復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
4. 如果空間四點(diǎn)A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是( )
A.A，B，C，D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線 B.A，B，C，D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線
C.直線AB與CD相交 D.直線AB與CD平行
5. 雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．C．D．
6.已知變量x，y的關(guān)系可以用模型y＝cekx擬合，設(shè)z＝ln y，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：
由上表可得線性回歸方程eq \(z,\s\up6(^))＝－4x＋eq \(a,\s\up6(^))，則c等于( )
A．－4 B．e－4 C．109 D．e109
7.已知圓，直線，若圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在圓上，則點(diǎn)必在（ ）
A．一個(gè)離心率為的橢圓上 B． 一個(gè)離心率為的雙曲線上
C． 一個(gè)離心率為的橢圓上 D． 一個(gè)離心率為的雙曲線上
8. 已知函數(shù)f(x)＝ex－eq \f(1,ex)，g(x)＝sin x＋eq \f(1,6)x3－ax.對于任意x1，x2，且x1≠x2，都有eq \f(f?x1?－f?x2?,g?x1?－g?x2?)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)，上頂點(diǎn)為A(0，b)，直線x＝eq \f(a2,c)上存在一點(diǎn)P滿足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
11. 函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為( )
A.4B.4π C．6 D. 6π
12.要在棱長為的正方體盒子內(nèi)部放一種圓柱體物件，且此物件恰好以盒子體對角線所在直線為軸，則能放下這樣的圓柱體物件的側(cè)面積最大值是（）
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13. 平面向量，若的夾角為鈍角，則t的取值范圍是________.
14. 把一枚硬幣任意拋擲三次，事件“至少一次出現(xiàn)正面”，事件“恰有一次出現(xiàn)正面”，則．
15.已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值為________．
16.若不等式xex－a≥ln x＋x－1恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為________．
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17.（12分）已知數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
18. （12分）如圖1,在正方形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上,且.若將 分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn),如圖2.
(1)求證:平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
圖1 圖2
19. （12分）發(fā)展新能源是我國的國家戰(zhàn)略.小型風(fēng)力發(fā)電項(xiàng)目投資較少，開發(fā)前景廣闊.受風(fēng)力自然資源影響，項(xiàng)目投資存在一定風(fēng)險(xiǎn).根據(jù)測算，IEC（國際電工委員會(huì)）風(fēng)能風(fēng)區(qū)的分類標(biāo)準(zhǔn)如下：
某公司計(jì)劃用不超過100萬元的資金投資于A、B兩個(gè)小型風(fēng)能發(fā)電項(xiàng)目.調(diào)研結(jié)果是：未來一年內(nèi)，位于一類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利%的可能性為0.6，虧損%的可能性為0.4；
B項(xiàng)目位于二類風(fēng)區(qū)，獲利35%的可能性為0.6，虧損10%的可能性是0.2，不賠不賺的可能性是0.2.
假設(shè)投資A項(xiàng)目的資金為（）萬元，投資B項(xiàng)目資金為（）萬元，且公司要求對A項(xiàng)目的投資不得低于B項(xiàng)目.
（1）記投資A，B項(xiàng)目的利潤分別為和，試寫出隨機(jī)變量與的分布列和期望，;
（2）根據(jù)以上的條件和市場調(diào)研，試估計(jì)一年后兩個(gè)項(xiàng)目的平均利潤之和 的最大值，并據(jù)此給出公司分配投資金額建議.
20. （12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)，時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21. （12分）已知拋物線的準(zhǔn)線與半橢圓相交于兩點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)若點(diǎn)是半橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求面積的取值范圍．
（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
選修4─4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22.(10分)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)重合、極軸與x軸的正半軸重合，若直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ?)= QUOTE ．
(1)寫出直線的參數(shù)方程；
(2)設(shè)直線與圓ρ=2相交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)P(1，1)到A，B兩點(diǎn)的距離之積．
選修4─5：不等式選講
23.(10分)已知關(guān)于的不等式的解集為
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求的最大值.
成都樹德中學(xué)高2021級高三下入學(xué)考試試題
理科數(shù)學(xué)參考答案
選擇題：BDCBC DADAC CD
填空題：13. 14. 15.eq \f(56,5) 16.2
解答題
17.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)由可得
，
兩式相減得，即，————4分
且上式對于時(shí)成立．————5分
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，————6分
（Ⅱ），————10分
所以
…————12分
18.（1）證明：設(shè)正方形的邊長為4，由圖1知,,
,,
,,即————2分
由題意知，在圖2中，,,平面,平面,且,
平面,平面,.————4分
又平面,平面,且,平面————6分
（2）由（1）知平面，則建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作，垂足為，在中，,,從而，,,,
,,.————8分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，，.————10分
設(shè)直線與平面所成角為,
則,.直線與平面所成角的正弦值為.————12分
19.（1）A項(xiàng)目投資利潤的分布列
————3分
B項(xiàng)目投資利潤的分布列
————6分
（2）
而 如圖所示：由圖可知，當(dāng)，公司獲得獲利最大，最大為17.5萬元.
建議給兩公司各投資50萬.————12分
20.（1）當(dāng)，時(shí)，，
∴，————2分
∵，令，則或，令，則，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；————4分
（2）證明：由題可得，∵函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，
∴方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，————5分
于是有解得．————6分
∵不等式有解，∴．
∴
．————10分
設(shè)，，
故在上單調(diào)遞增，故，
∴．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．————12分
21.（Ⅰ）由題可知，拋物線的準(zhǔn)線為，則有得，
所以.————4分
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，且滿足.
由題意可知切線斜率不會(huì)為0，即設(shè)切線為，
代入得，
由可得①，
設(shè)切點(diǎn)，拋物線的上半部曲線函數(shù)關(guān)系式為，則，
故，將其代入①可得②.
設(shè)切線為，切點(diǎn)，同理可得③.
由②③可知是方程的兩根，所以，，
又，，所以代入②③可知，是的兩點(diǎn)，即直線方程為————8分（由代半留半得出切點(diǎn)弦方程扣2分）
故
又因?yàn)榍?，所?————10分
令，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，其在上單調(diào)遞減，故，
所以————12分
22.因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程可化為為.
所以直線的普通方程是．————3分
參數(shù)方程為（t為參數(shù)）————4分
（II）因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在直線l上，所以可設(shè)它們對應(yīng)的參數(shù)為t1和t2,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別.————6分
圓化為直角坐標(biāo)系的方程． 以直線的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到 ①————8分
因?yàn)楹褪欠匠挞俚慕?，從而＝?．所以|PA|·|PB|= ||＝|－2|＝2．————10分
23.（1）由，得
則解得,————4分
（2）————8分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故．————10分x
16
17
18
19
z
50
34
41
31
風(fēng)能分類
一類風(fēng)區(qū)
二類風(fēng)區(qū)
平均風(fēng)速m/s
8.5---10
6.5---8.5
P
0.6
0.4
0
P
0.6
0.2
0.2

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