1. 求值：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據給定條件，逆用和角的余弦公式及特殊角的三角函數(shù)值計算作答.
【詳解】依題意，.
故選：B
2. 已知，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共線的坐標表示列方程求參數(shù)k即可.
【詳解】由題設，，可得.
故選：D
3. 已知、是方程的兩根，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用韋達定理及兩角和的正切公式計算可得.
【詳解】解：∵、是方程的兩根，
∴，，
∴；
故選：C
4. 如圖，在矩形中，，分別為的中點，為中點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據向量加法的三角形法則和四邊形法則，可得結果.
【詳解】根據題意：
又
所以
故選：C
【點睛】本題主要考查利用向量的加法法則，熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，對向量用其它向量表示有很大的作用，屬基礎題.
5. 在 中，角、、所對的邊分別為、、，設為的面積，且，則的最大值為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先運用余弦定理求出角C，再運用輔助角公式求解.
【詳解】由余弦定理知： ，由條件： ，
，即 ， ，
，
， 時取最大值1；
故選：B．
6. 已知，則的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】運用誘導公式結合條件即得.
【詳解】因為，
所以，
故選：A.
7. 在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為、、，若，角A的角平分線交BC于點D，且，則的值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理邊角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出，結合可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.
【詳解】因為，由正弦定理得：，則，由余弦定理可得：， ，所以，由，有，得，
因為，所以，，，，由余弦定理可得.
故選：D.
8. 已知，，．若點P是△ABC所在平面內一點，且，則的最大值為（ ）
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以為原點，建立直角坐標系，利用向量的數(shù)量積的坐標運算，以及二次函數(shù)的性質，即可求解.
【詳解】以A為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，設P（x，y）
則，可得，，
所以，即，故，，
所以，當且僅當即時等號成立．
故選：B．
二．多選題（共4小題，每題5分共20分）
9. 已知向量，滿足，，，則下列結論中正確的是（ ）
A. B. C. D. 與的夾角為
【答案】BC
【解析】
【分析】由，，，求得，再逐項判斷.
【詳解】，
∴，
∴，
∴，，
，
∴與的夾角不是，
故選：BC.
10. 下列各式中，值為的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據誘導公式，結合兩角和的正弦公式、正切公式逐一判斷即可.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確：
對于C，，故C正確；
對于D，
，故D錯誤；
故選：ABC
11. 在銳角三角形ABC中，下列命題成立的是（ ）
A. ，，則B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據三角恒等變換，逐個選項化簡判斷即可求解
【詳解】因為在銳角三角形中，所以，均為銳角
對于A，，得，，所以，；所以，A正確；
對于B，若，整理得，化簡得，所以，，為鈍角，與題意不符，B錯誤；
對于C，若，則，化簡得
，因為均為銳角，所以，必有，得，符合均為銳角，所以，C正確；
對于D，因為均為銳角，得，所以，，
所以，，
所以，成立，D正確；
故選：ACD
12. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則（ ）
A. 若A＝30°，b＝4，a＝3，則△ABC有兩解
B. 若，則△ABC為直角三角形
C. 若，則△ABC為銳角三角形
D. 若a2－b2＝bc，則A＝2B
【答案】ABD
【解析】
【分析】對A，由正弦定理可判斷；對B，化簡可得可判斷；對C，由正弦定理化角為邊，再由余弦定理可判斷；對D，由正弦定理結合余弦定理可判斷.
【詳解】對A，因為，所以△ABC有兩解，故A正確；
對B，因為，所以，，，故，故B正確；
對C，由可得，則，所以，故C為鈍角，故C錯誤；
對D，，所以，所以，所以，，，所以，即，故D正確.
故選：ABD．
三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知，則__________ ．
【答案】
【解析】
【分析】將已知條件兩邊平方，結合同角三角函數(shù)的平方關系即可求值.
【詳解】由，
所以.
故答案為：
14. 已知點，，則與向量同方向的單位向量的坐標是__．
【答案】
【解析】
【分析】與向量同向的單位向量為，根據坐標形式求得向量及模長即可求得.
【詳解】點，，
，可得，
因此，與向量同方向的單位向量為：
故答案為：
15. ___________．
【答案】
【解析】
【分析】結合誘導公式、輔助角公式和兩角和差角公式，將非特殊角向特殊角進行化簡運算，可得答案.
【詳解】
故答案為：
16. 如圖所示，CD是某校園內一標志性雕像，小明同學為了估算該雕像的高度，在學校教學樓AB（高為米）與雕像之間的地面上的點M處（B，M，D三點共線）測得樓頂A及雕像頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處又測得雕塑頂C的仰角為30°，假設AB?CD和點M在同一平面內，則小明估算該雕像的高度為___________米．
【答案】
【解析】
【分析】在中利用銳角三角函數(shù)求出，再由正弦定理求出，最后根據銳角三角函數(shù)求出；
【詳解】解：中，，解得，
其中
，
在中，，
所以，由正弦定理得，，
故．
在中，，所以，估算該雕像的高度為米．
故答案為：
四．解答題（共6小題，共70分）
17. 設是不共線的兩個向量．
（1）若，求證：三點共線；
（2）若與共線，求實數(shù)的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.
（2）由共線性質求出參數(shù)即可.
【小問1詳解】
證明:因為，
而
所以，
所以與共線，且有公共點，
所以三點共線
【小問2詳解】
因為與共線
所以存在實數(shù)，使得，
因為與不共線，
所以，
解得，.
18 已知向量，其中，且．求：
（1）求和的值；
（2）若，且，求角．
【答案】（1），;
（2）.
【解析】
【分析】（1）由向量垂直可得數(shù)量積為0可得，結合同角的平方關系求出；
（2）根據角的變換，利用兩角差的正弦公式求解即可.
【小問1詳解】
∵，∴，
即，．
代入，得，且
則.
【小問2詳解】
∵，∴,
又，∴．
∴
.
19. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時自變量的取值集合；
【答案】（1）
（2）最大值為1，取得最大值時自變量的取值集合為．
【解析】
【分析】（1）首先利用三角恒等變形，化簡函數(shù)，根據周期公式求周期；
（2）根據函數(shù)解析式，直接求函數(shù)的最大值，并根據函數(shù)性質公式，求自變量的集合.
【小問1詳解】
函數(shù)
故函數(shù)的最小正周期為．
【小問2詳解】
函數(shù)的最大值為，此時，，求得，．
故函數(shù)的最大值為1，取得最大值時自變量的取值集合為.
20. 在中，內角，，所對的邊分別為，，，.
（1）求角的大小；
（2）若，且___________，求的周長.
請在下列三個條件中，選擇其中的一個條件補充到上面的橫線中，并完成作答.
①；②的面積為；③.
注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一解答計分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首項根據正弦定理，可得，再根據三角形內角和以及誘導公式可得，由此可求出角大小；
（2）根據正弦定理，三角形面積公式，以及數(shù)量積公式可知三個條件任選一個條件，都可以得到，再根據余弦定理即可求出的值，進而求出的周長.
【小問1詳解】
解：因，所以，
所以.
而在中，.所以，
∵，則.
【小問2詳解】
解：由（1）可知，；
所以
若選①，即，則；
若選②，即，則；
若選③，即，則，所以；
故三個條件任選一個條件，都可以得到.
由余弦定理，得，
所以，則或（舍去），
所以的周長為.
21. 已知向量，求：
（1）若，且，求的坐標；
（2）若﹐求；
（3）若，求k的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）設，根據和列方程組求解即可；
（2）將向量坐標代入，再根據向量相等列方程組求解即可；
（3）求出，再根據向量平行的坐標公式計算即可.
【小問1詳解】
設，
由，且，得
，解得或
或
【小問2詳解】
，
，解得
【小問3詳解】
由已知，
又，
，
解得
22. 如圖，在平面凸四邊形中（凸四邊形指沒有角度數(shù)大于的四邊形），.
（1）若，，求；
（2）已知，記四邊形的面積為.
① 求的最大值；
② 若對于常數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（直接寫結果，不需要過程）
【答案】（1）3；（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦定理求得；在中利用余弦定理構造關于的方程，解方程求得結果；（2）①在和中利用余弦定理構造等量關系可得，根據三角形面積公式可得，兩式平方后作和可得，當時，可求得的最大值；②由可知，根據①可知，的范圍由的范圍決定，求解出且，且為鈍角、為銳角；根據的單調性可求得最小值，從而求得得到結果.
【詳解】（1）在中，，，
由余弦定理得：
在中，，，
由余弦定理得：
即：，解得：
（2）①和中，由余弦定理得：
整理可得：
面積：，即：
即：
當時，即，時，

四邊形面積的最大值為：
②
由①知：，則需研究的范圍.
當增大時，增大，從而隨之增大
所以，當趨于共線時，趨于，其中鈍角滿足
當減小時，減小，從而隨之減小
所以，當趨于共線時，趨于，其中銳角滿足
令，則在上遞增，在上遞減
并且，，
，即
【點睛】本題考查解三角形相關知識，涉及到余弦定理解三角形、三角形面積公式、兩角和差余弦公式的應用等知識，難點在于求解函數(shù)的最值時，角度的取值范圍需要根據極限狀態(tài)來求得，計算難度較大，屬于難題.

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