一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.
1. 命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先轉(zhuǎn)化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項.
【詳解】若命題“，”為假命題，
則命題的否定“，”為真命題，
即，恒成立，
，，當(dāng)，取得最大值，
所以，選項中只有是的真子集，
所以命題“，”為假命題的一個充分不必要條件為.
故選：D
2. 若（為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求解，即可得出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得出，進(jìn)而得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以，，則，
所以，.
故選：A.
3. 已知，則的值為（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出.
【詳解】，與聯(lián)立，
可得，
則，
故選：D.
4. 已知空間向量，則（ ）
A. 3B. C. D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】由題意結(jié)合空間向量的模長公式、數(shù)量積公式運算即可得解.
【詳解】由題意，，
所以.
故選：C.
5. 在等比數(shù)列中，，若，且的前項和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及分組求和法，利用等比數(shù)列的前項和及數(shù)列的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由可得，
故，設(shè)的公比為，則，即，
故，
則．
由于時，，
故隨著的增大而增大，而，，
故滿足的最小正整數(shù)的值為6．
故選：B.
6. 人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（，1766—1834）就提出了人口增長模型.已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時這段時間的人口的年增長率為0.3%.根據(jù)模型預(yù)測________年世界人口是1650年的2倍.（參考數(shù)據(jù)：，）
A. 1878B. 1881C. 1891D. 1993
【答案】B
【解析】
【分析】依據(jù)題意列出方程，結(jié)合給定的近似值計算即可.
【詳解】設(shè)年后世界人口是1650年的2倍，由題意得，
解得，
故在1881年世界人口是1650年的2倍.
故選：B
7. 在中，為中點，若將沿著直線翻折至，使得四面體的外接球半徑為1，則直線與平面所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理求的外接圓半徑，根據(jù)外接球半徑即可確定球心，然后利用等體積法求到平面的距離即可求解.
【詳解】因為，所以，
由為中點，所以，則，即為等邊三角形，
設(shè)的外接圓圓心為G，的外接圓圓心為O，取BD中點為H，連接，

因為，所以由正弦定理可得，即的外接圓半徑為1，
又四面體的外接球半徑為1，所以O(shè)為外接球球心，
由球的性質(zhì)可知，平面，因為平面，所以，
因為，，所以.
設(shè)到平面的距離為d，
因為和都是邊長為1的正三角形，
所以，由得，即，
記直線與平面所成角為，
則，所以.
故選：A
8. 設(shè)分別為橢圓的左，右焦點，以為圓心且過的圓與x軸交于另一點P，與y軸交于點Q，線段與C交于點A．已知與的面積之比為，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可逐步計算出點A坐標(biāo)，由點A在橢圓上，將其代入橢圓方程得到等式后，借助等式即可計算離心率.
【詳解】由題意可得、，，
則以為圓心且過的圓的方程為，
令，則，由對稱性，不妨取點在軸上方，即，
則，即，
有，則，
又，即有，即，
代入，有，即，
即在橢圓上，故，
化簡得，由，
即有，
整理得，即，
有或，
由，故舍去，即，
則.
故選：B.
【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率時，可將已知的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓基本量a，b，c的方程，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，通過解方程求得離心率．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 相關(guān)系數(shù)越接近1，變量，相關(guān)性越強(qiáng)
B. 若隨機(jī)變量，滿足，則
C. 相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差
D. 設(shè)隨機(jī)變量服從二項分布，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相關(guān)系數(shù)，方差的性質(zhì)，相關(guān)指數(shù)的定義，二項分布概率計算公式計算，逐個判斷即可.
【詳解】對于A：由相關(guān)系數(shù)的定義可知，相關(guān)系數(shù)越接近，變量正相關(guān)性越強(qiáng)；相關(guān)系數(shù)越接近，變量負(fù)相關(guān)性越強(qiáng)，故A正確.
對于B：由隨機(jī)變量，滿足，則，故B錯誤.
對于C：由相關(guān)指數(shù)的定義可知，相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差，故C正確.
對于D：，故D正確.
故選：ACD
10. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)保持不變），得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A.
B. 關(guān)于對稱
C. 在區(qū)間上有644個零點
D. 若在上是增函數(shù)，則的最大值為
【答案】BC
【解析】
【分析】由平移變換法則首先得即可判斷A；對于B，直接代入檢驗即可；對于C，得是函數(shù)零點，令，看關(guān)于的不等式的整數(shù)解的個數(shù)即可；對于D，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性舉反例即可判斷.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象對應(yīng)解析式為，
再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)保持不變），則，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，令，得，即，
令，解得，
所以在區(qū)間上有644個零點，故C正確；
對于D，首先，取，則當(dāng)時，有，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時也單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：BC.
11. 已知橢圓的左、右焦點分別是、，其中，直線與橢圓交于、兩點.則下列說法中正確的有（ ）
A. 當(dāng)時，的周長為
B. 當(dāng)時，若的中點為，為原點，則
C. 若，則橢圓的離心率的取值范圍是
D. 若的最大值為，則橢圓的離心率
【答案】AC
【解析】
【分析】利用橢圓的定義可判斷A選項；利用點差法可判斷B選項；由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得出，代入橢圓方程，結(jié)合的不等關(guān)系可求出的取值范圍，可判斷C選項；將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式求出的最大值，可求出該橢圓離心率的值，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，易知點、，
直線過橢圓的左焦點，
所以，的周長為，A對；
對于B選項，設(shè)點、，則點，
因為，則且，

則，，
將點、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，
上述兩個等式作差可得，
所以，，即，B錯；
對于C選項，，，
則，即，可得，
由，即，可得，
因為，可得，
可得，則，
因為，可得，
所以，，則，
因為，則，即，
所以，，可得或（舍去），故，
綜上所述，，C對；
對于D選項，聯(lián)立可得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
，
故當(dāng)時，取最大值，即，則，D錯.
故選：AC.
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
12. 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】通過證明確定，的大小關(guān)系；通過證明確定，的大小關(guān)系；
【詳解】令，
，
在上單調(diào)遞增，
，
，
，
.
令，
，
令 ，
顯然在為減函數(shù) ，
，
使 ，
當(dāng)時，當(dāng)時 ，
當(dāng)時為增函數(shù)，當(dāng)時為減函數(shù) ，
所以的最小值為中一個 ，
而 ，
即 ，
在上單調(diào)遞增，

，
.
故選：BC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時首先把要比較的值變形為含有一個共同的數(shù)值，將這個數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在本題中，，將視為，將視為函數(shù)與的函數(shù)值，從而只需比較與這兩個函數(shù)大小關(guān)系即可.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在的二項展開式中任取一項，則該項系數(shù)為有理數(shù)的概率為____________．
【答案】
【解析】
【分析】由題可得的二項展開式共有7項，通項為：，則該項系數(shù)為有理數(shù)時，為偶數(shù)，即可得答案.
【詳解】的二項展開式共有7項，通項為：，
其中，要使項系數(shù)為有理數(shù)，則為偶數(shù)，即時，
項系數(shù)為有理數(shù)，則相應(yīng)概率為：.
故答案為：.
14. 已知公差不為0的等差數(shù)列中，存在，，滿足，，則項數(shù)__________.
【答案】2023
【解析】
【分析】設(shè)公差為，裂項相消得到，進(jìn)而求和得到方程，求出答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，
可得
，
因為，所以.
故答案為：
15. 如圖，該“四角反棱柱”是由兩個相互平行且全等的正方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、連接而成，其側(cè)面均為等邊三角形，則該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)幾何體棱長為4a，計算出幾何體側(cè)面積，設(shè)上、下正四邊形的中心分別為，，連接，過點B作于點C，其中點B為所在棱的中點，得OA即該幾何體外接球的半徑，得外接球表面積，計算比值即得.
【詳解】
如圖，由題意可知旋轉(zhuǎn)角度為，設(shè)上、下正四邊形的中心分別為，，連接，
則的中點O即為外接球的球心，其中點B為所在棱的中點，OA即該幾何體外接球的半徑，
設(shè)棱長為4a，則側(cè)面積為，
，，，過點B作于點C，
則，，
易得四邊形為矩形，即，，
則，即該“四角反棱柱”外接球的半徑．
外接球表面積為，
該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為．
故答案為：.
【點睛】由題意，側(cè)面均為正三角形，所以可知旋轉(zhuǎn)角度為，OA即該幾何體外接球的半徑.
16. 已知為函數(shù)圖象上一動點，則的最大值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意把表示成與的夾角的余弦值的2倍，再由幾何關(guān)系求得最值可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，原點，則，；
所以，即，
如圖所示，所以當(dāng)直線與函數(shù)在軸右側(cè)相切時，取到最大值，即取得最大值；
聯(lián)立直線與函數(shù)可得，
所以，解得（舍去）；
此時，所以，
即的最大值為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)表達(dá)式的特征，將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，利用幾何關(guān)系求出最值即可.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.
17. 已知數(shù)列首項，前n項和為，且．設(shè)．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)求出，證明出是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得到通項公式；
（2）求出，裂項相消法求和得到，結(jié)合，得到答案.
【小問1詳解】
在數(shù)列中，①，
②，
由①-②得：，即，，
所以，即，
在①中令，得，即，而，故．
則，即，
又，所以，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；
【小問2詳解】
，
，
又因為，所以，所以.
18. 在中，，.
（1）求A；
（2）已知M為直線上一點，，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）利用給定條件直接求角即可.
（2）利用余弦定理求出關(guān)鍵邊長，再求面積即可.
【小問1詳解】
在中，，，則，
∵，
即，
又，則；
【小問2詳解】
因為，，所以，所以，
在中，，
解得（負(fù)值舍去），
所以
19. 如圖，在三棱錐中，是的中點，是的中點，點在線段上，且.
（1）求證：平面；
（2）若平面，且，求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）幾何法證明空間直線與平面平行.
（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值，進(jìn)而求出余弦值.
【小問1詳解】
過點作交于點，過點作交于點，則.
因為是的中點，是的中點，所以，
因為，所以，則，
所以四邊形平行四邊形，所以，
又平面平面，所以平面.
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，
所以.
設(shè)平面的法向量為，則即
令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以，
故直線與平面所成角的余弦值為.
20. 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標(biāo)有面值15元和2個標(biāo)有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標(biāo)有面值20元和2個標(biāo)有面值40元的兩種球組成.
【答案】（1）
（2）方案二，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式求解；
（2）分別求解兩方案的均值和方差比較可得結(jié)果
【小問1詳解】
設(shè)顧客的獎勵額為X,依題意得
【小問2詳解】
根據(jù)方案一，設(shè)顧客的獎勵額為其可能取值為30，，30m60，90
，，
根據(jù)方案二，設(shè)顧客的獎勵額為其可能取值為40，60，80
，，
商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，故每個顧客平均獎勵額最多為60，兩方案均符合要求，但方案二獎勵的方差比方案一小，所以應(yīng)選擇方案二
21. 已知橢圓：的離心率為，且橢圓過點，點，分別為橢圓的左、右頂點．
（1）求橢圓的方程；
（2）點，為橢圓上不同兩點，過橢圓上的點作，且，求證：的面積為定值．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）依題意得到、、的方程組，解得即可；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可求出，，從而得到，則，再設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)得到，最后根據(jù)計算可得；
【小問1詳解】
依題意，解得，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
由（1）可得，，
設(shè)直線的方程為，
代入得，它的兩個根為和，
可得，，從而．
因為，所以，
若直線的斜率不存在，根據(jù)對稱性，則在橢圓的上（下）頂點處，
不妨取為上頂點，則，
由，解得或，
所以或，
所以，
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，
將代入，整理得，
由，則，，
所以，
化簡得，
所以
綜上可得的面積等于，為定值.
【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
22. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，存在，使得，求M的最大值；
（2）已知m，n是的兩個零點，記為的導(dǎo)函數(shù)，若，且，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，求出最值，得到，求出答案；
（2）根據(jù)零點得到方程組，相減求出，求導(dǎo)得到，化簡換元后得到只需證，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，證明出結(jié)論/
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
則的定義域為，且，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上的最大值為，最小值為，
由題意知，
故M的最大值為.
【小問2詳解】
證明：由題意知，，
所以，
所以.
因為，
所以
，
所以要證，只要證，
因為，所以只要證，
令，則，即證，
令，則，
因為，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以.
【點睛】極值點偏移問題，經(jīng)常使用的方法有：比值代換，構(gòu)造差函數(shù)，對數(shù)平均不等式，變更結(jié)論等，若不等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求解.

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廣東省廣州市仲元中學(xué)2024屆高三第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷
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