（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．測試范圍：北師大版2019必修第一冊全冊。
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)2是方程的解求得，進而確定集合B，應(yīng)用并運算求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)知：2是方程的解，將代入方程，得，
所以的解為或，所以，
所以，
故選：B
2．將某年級600名學(xué)生分配到甲、乙、丙、丁、戊這5個社區(qū)參加社會實踐活動，每個人只能到一個社區(qū).經(jīng)統(tǒng)計，將到各個社區(qū)參加志愿者活動的學(xué)生人數(shù)繪制成如下不完整的兩個統(tǒng)計圖，則分到戊社區(qū)參加活動的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．30B．45C．60D．75
【答案】C
【分析】根據(jù)兩個統(tǒng)計圖計算出分配到乙和丁社區(qū)的學(xué)生數(shù)，從而計算出分到戊社區(qū)的學(xué)生數(shù).
【詳解】由題意得，分配到乙社區(qū)的學(xué)生數(shù)為，
分配到丁社區(qū)的學(xué)生數(shù)為，
故分到戊社區(qū)參加活動的學(xué)生數(shù)為.
故選：C
3．已知是偶函數(shù)，則的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由，得到，結(jié)合對數(shù)的運算法則，即可求解.
【詳解】由函數(shù)是偶函數(shù)，則，
可得，即，
所以，解得.
故選：C.
4．（且）的值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)的運算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】原式．
故選：B
5．必存在零點的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知的零點即為與的交點橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象分析判斷.
【詳解】令，可得，
可知的零點即為與的交點橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖象，
又，
可知與在內(nèi)有交點，在，和內(nèi)無交點，
所以在內(nèi)必存在零點，其它區(qū)間無零點.
故選：C.
6．為豐富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指數(shù)，某街道舉辦以社區(qū)為代表隊的老年門球比賽，比賽分老年男組和老年女組，男女組分別進行淘汰賽．經(jīng)過多輪淘汰后，西苑社區(qū)的老年男子“龍馬”隊和老年女子“風(fēng)采”隊都進入了決賽．按照以往的比賽經(jīng)驗，在決賽中“龍馬”隊獲勝的概率為，“風(fēng)采”隊獲勝的概率為，（“龍馬”隊和“風(fēng)采”隊兩隊中只有一支隊伍獲勝的概率為（“龍馬”隊和“風(fēng)采”隊在比賽中互不影響），則西苑社區(qū)的“龍馬”隊和“風(fēng)采”隊同時獲得冠軍的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式得到關(guān)于的方程，解出值，則得到同時獲得冠軍的概率.
【詳解】由題意得兩隊中只有一隊獲勝包含“龍馬”隊獲勝“風(fēng)采”隊未獲勝、“龍馬”隊未獲勝“風(fēng)采”隊獲勝；
則，解得．
所以兩隊同時獲得冠軍的概率為．
故選：C．
7．已知函數(shù)，正實數(shù)a，b滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，可由條件得出，再結(jié)合基本不等式計算即可.
【詳解】易知函數(shù)定義域為R，且
，
所以為R上的奇函數(shù)，有，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知單調(diào)遞增，
由，得，即，
因為為正實數(shù)，則有，而，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，則的最大值為.
故選：B.
8．已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則實數(shù)t的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】運用奇函數(shù)性質(zhì)可得及單調(diào)性性質(zhì)求解即可.
【詳解】因為是定義在的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以，
所以，解得，
故t的范圍為.
故選：D.
選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0
9．某科技攻關(guān)青年團隊共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表所示，則這10個人年齡的（ ）
A．中位數(shù)是34B．眾數(shù)是32
C．第25百分位數(shù)是29D．平均數(shù)為34.3
【答案】BCD
【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，利用中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)的定義計算判斷即可.
【詳解】把10個人的年齡由小到大排列為，
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，A錯誤，B正確；
由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)，為29，C正確；
這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，D正確.
故選：BCD
10．已知函數(shù)（且的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象不可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象特征，結(jié)合冪函數(shù)在第一象限的圖象特征可得答案.
【詳解】根據(jù)題意可得，
的圖象是向上平移a個單位得到的，
結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)a為奇數(shù)時，圖象如C選項所示；當(dāng)a為偶數(shù)時，圖象如B選項所示，
選項A，D不符合題意．
故選：AD.
11．因為函數(shù)的圖象極似漢字“囧”，被戲稱為“囧函數(shù)”，則下列描述中正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域為
B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱
C．當(dāng)時，
D．方程有四個不同的實根
【答案】BCD
【分析】根據(jù)函數(shù)有意義的條件，直接求得定義域即可判定A；根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判定選項B；根據(jù)自變量的取值范圍，可求得函數(shù)的值域，繼而可以判定C；把方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化函數(shù)的交點個數(shù)，畫出函數(shù)圖象即可判定D.
【詳解】令得，，
故函數(shù)的定義域為，故A錯誤；
函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且，
則函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故B正確；
當(dāng)時，，
所以，所以當(dāng)時，，故C正確；
方程，可化為，
設(shè)函數(shù)，其定義域為，
且滿足，則其為偶函數(shù)；
考慮到也為偶函數(shù)，所以考查且情況即可，
當(dāng)且時，，，
可畫出兩個函數(shù)的圖象
由圖可知兩個函數(shù)有四個交點，即方程有四個不同的實根，
故D正確，
故選：BCD.
12．下列說法正確的是（ ）
A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的解析式為
B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．若正實數(shù)m，n滿足，則
D．若函數(shù)，則對任意，，且，有
【答案】ACD
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求解即可判斷A；結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)判斷B；根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性判斷C；根據(jù)作差法比較大小即可判斷D.
【詳解】解：對于選項A，設(shè)冪函數(shù)為，代入點，即，解得，所以冪函數(shù)的解析式為，故A正確；
對于選項B，函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯誤；
對于選項C，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，滿足，
所以，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故C正確；
對于選項D，由于，,\
則，，，
所以
，
所以，故D正確.
故選：ACD．
第Ⅱ卷
三．填空題 本題共4小題，每小題5分，共20分
13．若一元二次不等式的解集為，則實數(shù) ．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次不等式解集與一元二次方程根的關(guān)系解出即可.
【詳解】根據(jù)題意可知方程的兩根分別為，
根據(jù)韋達定理可知，，
故答案為：.
14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
【答案】（或）
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】函數(shù)的定義域為，內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
外層函數(shù)在上為減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為：（或）.
15．2023年10月26日神舟十七號載人飛船發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，開啟了我國空間站應(yīng)用發(fā)展的新階段.太空站內(nèi)甲，乙?丙三名航天員分別出倉進行同一試驗，已知甲?乙?丙試驗成功的概率分別為，若三人能否試驗成功相互獨立，且三人中恰有2人試驗成功的概率為，則三人中只有甲?乙兩人試驗成功的概率的最大值為 .
【答案】
【分析】列出三人中恰有2人成功的所有情況，根據(jù)獨立事件的概率公式分別求出對應(yīng)的概率，然后根據(jù)互斥事件的概率公式列出三人中恰有2人成功的概率，得到關(guān)于，的關(guān)系.再利用不等式的辦法求最大值.
【詳解】因為三人能否試驗成功相互獨立，且三人中恰有2人試驗成功的概率為，
所以，所以.
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”），即.
解得或，即或，
又因為，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
三人中只有甲?乙兩人試驗成功的概率為.
故答案為：
16．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是 .
【答案】
【分析】依題意可得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)討論，和時，函數(shù)的單調(diào)性與值域，即可得出答案.
【詳解】因為，定義域為，
因為在定義域上單調(diào)遞增，則在定義域上單調(diào)遞減，
所以在定義域上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，；
所以，當(dāng)時，則，于是；
當(dāng)時，則，于是；
當(dāng)時，.
綜上所述，的值域為.
故答案為：.
四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明；
【答案】(1)；
(2)函數(shù)在上為減函數(shù)，證明見解析
【分析】（1）代入兩點坐標(biāo)，得到方程組，求出，得到解析式；
（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟為取值，作差，判號，下結(jié)論.
【詳解】（1）∵函數(shù)過點，
∴，解得，
.
（2）函數(shù)在上為減函數(shù)，理由如下：
設(shè)任意，且，
則．
，
，
，即，
函數(shù)在上為減函數(shù)．
18．已知集合.
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化簡集合，利用并集運算求解即可；
（2）由可得，然后利用與兩種情況討論即可.
【詳解】（1），
且，
，
，
當(dāng)時，，
.
（2）.
由（1）知，又.
則當(dāng)即時，，
要使，則得.
當(dāng)即時，，滿足.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為
19．我市為推動美麗鄉(xiāng)村建設(shè)，發(fā)展農(nóng)業(yè)經(jīng)濟，鼓勵農(nóng)產(chǎn)品加工，某食品企業(yè)生產(chǎn)一種飲料，每瓶成本為10元，售價為15元，月銷售8萬瓶.
(1)據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高1元，月銷售量將減少2000瓶，要使月總利潤不低于原來的月總利潤（月總利潤月銷售總收入月總成本），該飲料每瓶售價最多為多少元？
(2)為提高月總利潤，企業(yè)決定下月進行營銷策略改革，計劃每瓶售價元，并投萬元作為營銷策略改革費用.據(jù)市場調(diào)查，每瓶售價每提高1元，月銷售量將相應(yīng)減少萬瓶，則當(dāng)每瓶售價為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤.
【答案】(1)
(2)當(dāng)每瓶售價元時，下月的月總利潤最大為萬元
【分析】（1）設(shè)提價元，則每瓶飲料利潤為元，由此算出月銷量，得到總利潤的表達式，根據(jù)月總利潤不低于原來的月總利潤得到關(guān)于的不等式，即可求出的范圍，進而求解；
（2）由題意可得每瓶利潤為元，得出月銷量，從而得到月總利潤的函數(shù)解析式，最后利用基本不等式求解.
【詳解】（1）設(shè)提價元，由題意知每瓶飲料利潤為元，
則月銷量為萬瓶，
所以提價后月總銷售利潤為萬元，
因為原來月銷售總利潤為萬元，且要求月總利潤不低于原來的月總利潤，
所以，即，解得，
所以售價最多為元，
故該飲料每瓶售價最多為元；
（2）由題意，每瓶利潤為元，
月銷售量為萬瓶，
設(shè)下月總利潤為，，
整理得：，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故當(dāng)售價元時，下月的月總利潤最大為萬元.
20．某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競賽，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的分位數(shù)；
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；
(3)已知樣本中男生與女生的比例是，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請計算出總體的方差.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（2）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（3）由總樣本的均值與方差的公式計算求解即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)分位數(shù)位于并設(shè)為,
則有,解得.
故頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)分位數(shù)為：.
（2）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在的頻率為,
在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人，
在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為95人，所以估計總體中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人，
所以總體中分?jǐn)?shù)小于的人數(shù)為.
（3）總樣本的均值為,
所以總樣本的方差為.
故總樣本的方差為.
21．《中華人民共和國愛國主義教育法》已由中華人民共和國第十四屆全國人民代表大會常務(wù)委員會第六次會議于2023年10月24日通過，現(xiàn)予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙兩同學(xué)組成“星隊”參加黑龍江省“愛國主義教育法”知識競賽．現(xiàn)有A，B兩類問題，競賽規(guī)則如下：
①競賽開始時，每個同學(xué)先從A類問題中隨機抽取一個問題進行回答，答錯的同學(xué)本輪競賽結(jié)束；答對的同學(xué)再從B類問題中隨機抽取一個問題進行回答，無論答對與否，本輪競賽結(jié)束．
②若在本輪競賽中“星隊”同學(xué)合計答對問題的個數(shù)不少于3個，則“星隊”可進入決賽．
已知甲同學(xué)能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為．乙同學(xué)能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為．
(1)設(shè)“甲同學(xué)答對0個，1個，2個問題”分別記為事件，求事件的概率；
(2)求甲乙兩同學(xué)組成“星隊”能進入決賽的概率．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨立事件概率乘法公式運算求解；
（2）設(shè)“乙同學(xué)答對1個，2個問題”分別記為事件，設(shè)事件表示“星隊能進入決賽”，可知，根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式運算求解.
【詳解】（1）因為甲同學(xué)能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為，
所以，，．
（2）設(shè)“乙同學(xué)答對1個，2個問題”分別記為事件，
因為乙同學(xué)能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為，
可得，
設(shè)事件表示“星隊能進入決賽”，
可得
，
所以“星隊”能進入決賽的概率為.
22．已知函數(shù)（且）
(1)試判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；
(3)已知，若，使得，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)偶函數(shù)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由函數(shù)奇偶性定義判斷即可；
（2）利用基本不等式、指對數(shù)及復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值域；
（3）問題化為，令，，，，結(jié)合分類討論，二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)求最值，進而確定參數(shù)范圍.
【詳解】（1）因為且，所以其定義域為R，
又，所以函數(shù)是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)時，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，
所以，函數(shù)的值域為.
（3），使得，等價于，
令，，，
令，則在上的最小值等于在上的最小值，
在上單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為，所以
當(dāng)，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，
所以，所以函數(shù)無最小值，此時實數(shù)a不存在，
當(dāng)，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以，函數(shù)的最小值為，，
綜上：實數(shù)a的取值范圍為
年齡
45
40
36
32
29
28
人數(shù)
1
2
1
3
2
1

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