（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．測試范圍：人教A版2019必修第一冊全冊。
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】運用列舉法求得集合B，再由集合的并集運算得選項．
【詳解】解：因為，所以，
故選：B．
2．已知命題p：，，則p的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】利用全稱命題的否定方法，改變量詞，否定結(jié)論可得答案.
【詳解】，的否定為：，.
故選：A.
3．函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)有意義，列出不等式組并求解作答.
【詳解】函數(shù)有意義，有，解得且，
所以函數(shù)的定義域是.
故選：B
4．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得到大小關(guān)系.
【詳解】為上單調(diào)遞增函數(shù),則,
為上單調(diào)遞減函數(shù),則,且,
由為上單調(diào)遞增函數(shù),可得,
則,
故選：C.
5．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)圖象可求函數(shù)周期，利用周期公式可求，將點的坐標代入函數(shù)解析式，結(jié)合的取值范圍可求得的值，然后代值計算可得出的值.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的周期為，，
，，，
，，則，，
故選：A.
【點睛】本題主要考查了由圖象求正弦型函數(shù)的解析式，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．
6．函數(shù)的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函數(shù)的定義域，探討其奇偶性，再結(jié)合時函數(shù)值為正即可判斷作答.
【詳解】由，得，即函數(shù)的定義域為，
顯然，，即函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，AB不滿足；
當時，，于是，其圖象在第一象限，C不滿足，D滿足.
故選：D
7．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用輔助角公式求得，然后利用二倍角公式計算即可.
【詳解】，則，
則，
故選：D.
8．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間，上單調(diào)遞減，若實數(shù)滿足（1），則的取值范圍為（ ）
A．，B．，C．，D．，，
【答案】C
【分析】由奇偶性和單調(diào)性可得，從而得解.
【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
（1），等價為（1），
即．即，得，
即實數(shù)的取值范圍是，，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．下列等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用二倍角公式和兩角和差公式求解即可.
【詳解】，A正確；
，B錯誤；
，C正確；
，D正確；
故選：ACD
10．若正實數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．的最大值為1B．的最大值為2
C．的最小值為2D．的最小值為2
【答案】AD
【分析】根據(jù)進行計算然后可判斷A項；利用“1”的妙用及均值不等式計算可判斷B項；根據(jù)可判斷C項，將變形為，然后結(jié)合的范圍可判斷D項.
【詳解】對于A項，因為，當且僅當時取等號，則的最大值為1，故A項正確；
對于B項，因為，當且僅當時取等號，
所以的最小值為2，故B項錯誤；
對于C項，，當且僅當時取等號，
所以，當且僅當時取等號，
所以的最大值為2，故C項錯誤；
對于D項，因為，當且僅當時取等號，
所以的最小值為2，故D項正確.
故選：AD.
11．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的周期為B．的一條對稱軸為
C．是奇函數(shù)D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】AD
【分析】求出，A. 的最小正周期為，所以該選項正確；B. 函數(shù)圖象的對稱軸是，所以該選項錯誤；C.函數(shù)不是奇函數(shù)，所以該選項錯誤； D. 求出在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以該選項正確.
【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù).
A. 的最小正周期為，所以該選項正確；
B. 令，函數(shù)圖象的對稱軸不可能是，所以該選項錯誤；
C. 由于，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以該選項錯誤；
D. 令，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以該選項正確.
故選：AD
12．已知函數(shù)，若有三個不等實根，，，且，則（ ）
A．的單調(diào)遞增區(qū)間為
B．a(chǎn)的取值范圍是
C．的取值范圍是
D．函數(shù)有4個零點
【答案】CD
【分析】作出的圖象，結(jié)合圖象逐一判斷即可．
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

對于A，由圖象可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，故A不正確；
對于B，因為有三個不等實根，即與有三個不同交點，所以,，故B不正確；
對于C，則題意可知：，，所以，所以,，故C正確；
對于D，令，則有，令，則有或，
當時，即，即，解得；
當時，即，所以或，解得，或或，
所以共有4個零點，即有4個零點，故D正確．
故選：CD．
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的弧長為 .
【答案】
【解析】利用扇形的面積求出扇形的半徑，再帶入弧長計算公式即可得出結(jié)果．
【詳解】解：由于扇形的圓心角為，扇形的面積為，
則扇形的面積，解得：，
此扇形所含的弧長.
故答案為：.
14．函數(shù)，則 .
【答案】
【解析】首先求出，再將代入對應(yīng)的解析式即可求解.
【詳解】由，所以，
所以，
故答案為：
【點睛】本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.
15．已知，，則 .
【答案】
【分析】直接利用兩角和與差的正弦函數(shù)，展開已知表達式，求出，；然后得到結(jié)果.
【詳解】∵，∴．①
∵，∴．②
①+②，得．③
①②，得．④
③÷④,得．
故答案為：.
16．設(shè)奇函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)所給函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)周期，利用周期化簡即可得解.
【詳解】因為是奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，
所以，
所以，即，
故是4為周期的周期函數(shù)，且有，
則.
故答案為：
四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分.共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．化簡求值：
（1）；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算公式求解即可；
(2)根據(jù)誘導公式，轉(zhuǎn)化為其次問題進行求解即可.
【詳解】(1)原式

.
(2)原式

.
18．已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù).
(1)求實數(shù)的值；
(2)已知，，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值；
（2）令，，求出函數(shù)在上的最大值和最小值，即可得出函數(shù)的值域.
【詳解】（1）解：由題意可得，解得.
（2）解：由（1）可得，因為，令，，
令，則，，
因此，函數(shù)的值域為.
19．若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)若關(guān)于x的一元二次不等式的解集為R，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由題干條件可得方程的兩個根為，結(jié)合韋達定理可得，代入不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可；
（2）分，兩種情況討論，當，利用開口和判別式控制，即得解
【詳解】（1）由題意，方程的兩個根為
，解得
此時方程為，成立
不等式即為
解得：或
故不等式的解集為：或
（2）由題意，關(guān)于x的一元二次不等式的解集為R
當時，，不恒成立；
當時
，解得
故實數(shù)k的取值范圍是
20．某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.
(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價到元.公司擬投入萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.
【答案】(1)最多為元；
(2)銷售量至少達到11萬件，此時定價30元滿足題意.
【分析】（1）設(shè)每件定價，根據(jù)條件列不等式求解即可；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為不等式定區(qū)間內(nèi)有解，分離參數(shù)再結(jié)合基本不等式計算即可.
【詳解】（1）設(shè)定價每件元，由題意可知，
整理得，解之得，
故該商品每件定價最多為元；
（2）由上可知：當時，不等式有解，
整理得有解，
易知，當且僅當時取得等號，
此時，
所以改革后銷售量至少達到11萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時每件商品定價為30元.
21．已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為，_________.請從以下三個條件中任選一個補充至橫線上.
①函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線；
②函數(shù)的圖象的一個對稱中心為點；
③函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移個單位得到的圖象，若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦函數(shù)的對稱軸，對稱中心，特殊點的性質(zhì)解出即可；
（2）先做伸縮變換，再做平移變換，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解出參數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為，所以，
所以，
若選①函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線；
所以，
因為，所以，
所以；
若選②函數(shù)的圖象的一個對稱中心為點，
則，因為，
所以；
所以；
若選③函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
則，
因為，
所以，
所以，
所以.
（2）將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移個單位得到的圖象，則
，
因為，所以，
所以，所以，
因為不等式恒成立，
所以設(shè)，則二次函數(shù)，開口向上，
所以，
的取值范圍為.
22．已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求實數(shù)的值；
(2)證明函數(shù)在上的單調(diào)遞增；
(3)若存在使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，由求解；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義求解；
（3）根據(jù)（2）知在上的單調(diào)遞增，結(jié)合在區(qū)間上的值域為，轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同實根求解.
【詳解】（1）解：函數(shù)為奇函數(shù)，
，
即，
當時顯然不成立，
故，．
（2）證明：定義域，
任取，則，
，，，
，
，
，在上的單調(diào)遞增．
（3）由（2）知在上的單調(diào)遞增，
在區(qū)間上的值域為，
，且且，
即，是方程的實根，
問題等價于在上有兩個不同實根，
令，顯然，
則，
即，解得，故的范圍．

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