1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是( )
A. 6B. 1 3C. 8D. 12
2.當(dāng)x=?1時，二次根式 3x+7的值為( )
A. ±2B. 2C. ?2D. 2
3.方程x(x+2)=0的根是( )
A. x=2B. x=0
C. x1=0，x2=?2D. x1=0，x2=2
4.如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(2,4)，(1,1)，(3,2)，將△ABC關(guān)于x軸對稱得到△A1B1C1，則C1的坐標(biāo)為( )
A. (?3,?2)B. (3,?2)C. (?3,2)D. (2,?3)
5.在課后服務(wù)的乒乓球興趣課上，老師將從小亮、小瑩和小李3人中選2人進(jìn)行乒乓球?qū)Q，恰好選中小瑩和小李的概率為( )
A. 13B. 23C. 25D. 35
6.如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外取一點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC，在AC上取點(diǎn)E，使AE=3EC，作EF/?/AB交BC于點(diǎn)F，量得EF=6m，則AB的長為( )
A. 30mB. 24mC. 18mD. 12m
7.海口江東新區(qū)設(shè)立于2018年6月，是海南自貿(mào)港11個重點(diǎn)園區(qū)之一.隨著各項(xiàng)重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)加快推進(jìn)，?？诮瓥|新區(qū)面貌日新月異，其中新區(qū)稅收從2019年的7億元增長到2021年的45億元，若設(shè)每年的年平均增長率為x，則可列方程( )
A. 7(1+x%)2=45B. 7(1+2x)=45
C. 7(1+x)2=45D. 7+7(1+x)+7(1+x)2=45
8.如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比i=1：2(即BC：CA=1：2)，則cs∠ABC=( )
A. 13B. 23C. 33D. 55
9.如圖，在菱形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，交于點(diǎn)O，若S△AOB：S△DOE=25：9，則CE：BC等于( )
A. 2：5B. 3：5C. 16：25D. 9：25
10.如圖，正方形ABCD中，邊長為4，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為正方形內(nèi)部一點(diǎn)，連接DE、DF，若DE平分∠ADF且DA=DF，則BF的長為( )
A. 3
B. 2
C. 2 55
D. 4 55
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
11.計(jì)算： 6÷ 3= ______．
12.已知a是方程x2?2x?1=0的一個根，則3a2?6a+2024的值為______．
13.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=16，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN，交邊AC于點(diǎn)D，連結(jié)BD，若sin∠CBD=35，則BC的長為______．
14.如圖，O是正方形ABCD的對角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，BC邊上的點(diǎn)且BE+EF=FC，則∠EOF= ______度；若OE= 62OF，則AECF= ______．
三、解答題：本題共6小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題18分)
(1)計(jì)算：( 5+3)( 5?3)+6cs60°；
(3)解方程：x2?6x+5=0；
(2)計(jì)算：( 3?2)2? 3( 12?2)．
16.(本小題10分)
已知關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+m?1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)若方程的兩個實(shí)數(shù)根x1、x2互為倒數(shù)，求m的值．
17.(本小題10分)
某校2024年元旦晚會上，九年級共有20名同學(xué)參加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人．
(1)若從這20人中隨機(jī)選取一人作為聯(lián)絡(luò)員，則選到女生的概率為______；
(2)若某項(xiàng)志愿工作只在甲、乙兩人選一人，他們準(zhǔn)備以游戲的方式?jīng)Q定由誰參加，游戲規(guī)則如下：將3張牌面數(shù)字分別為1、2、3的撲克牌洗勻后，數(shù)字朝下放于桌面，甲從中任取1張，記錄后放回，乙再從中任取1張，若牌面數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲參加，否則乙參加，試問這個游戲公平嗎？請用樹狀圖或列表法說明理由．
18.(本小題12分)
如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE，F(xiàn)為線段AE上一點(diǎn)，且∠DFE=∠C．
(1)求證：△AFD∽△EBA；
(2)若AB=4，AD=3 3，DF=2 3，求DE的長．
19.(本小題12分)
如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東60°方向上.一艘勘測船從海島C沿北偏西30°方向往燈塔B行駛，沿線堪測石油資源，堪測發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東15°方向的D處石油資源豐富．
(1)填空：∠DAC= ______度，∠ACB= ______度；
(2)求碼頭A到D處的距離AD(結(jié)果保留根號)；
(3)若規(guī)劃修建從D處到海岸線l的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？(結(jié)果保留根號)
20.(本小題16分)
如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD邊上的點(diǎn)，連結(jié)AE，交BD于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F．
(1)求證：△ADE～△DCF；
(2)當(dāng)DF恰好平分∠BDC時，
①判斷△DHE的形狀，并說明理由；
②求證：CE=2OH；
③記△AOH的面積為S1，△ACE的面積為S2，當(dāng)S1S2=310時，時ABAD的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 6符合最簡二次根式的定義，故此項(xiàng)符合題意；
B.1 3= 33，故此項(xiàng)不符合題意；
C. 8=2 2，故此項(xiàng)不符合題意；
D. 12= 22，故此項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
最簡二次根式必須同時滿足以下條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；據(jù)此進(jìn)行逐一判斷即可．
本題主要考查了最簡二次根式的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．
2.【答案】B
【解析】解：當(dāng)x=?1時，
原式= ?3+7=2，
故選：B．
將x=?1代入二次根式中計(jì)算即可．
本題考查二次根式，將已知數(shù)值代入原式并進(jìn)行正確的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本題可根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來解題．
本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．
【解答】
解：x(x+2)=0，
x=0或x+2=0，
解得x1=0，x2=?2．
故選：C．
4.【答案】B
【解析】解：如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(2,4)，(1,1)，(3,2)，將△ABC關(guān)于x軸對稱得到△A1B1C1，則C1的坐標(biāo)為(3,?2)．
故選：B．
根據(jù)關(guān)于y軸大小，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，組織B相同，可得答案．
本題考查了作圖?軸對稱變換，熟記軸對稱變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】A
【解析】解：樹狀圖如下所示，
由上可得，一共有6種等可能性，其中恰好選中小瑩和小李的可能性有2種，
∴恰好選中小瑩和小李的概率為26=13，
故選：A．
根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求出恰好選中小瑩和小李的概率．
本題考查列表法與樹狀圖法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的樹狀圖，求出相應(yīng)的概率．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形的判定與相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)．
先由EF/?/AB，得出△CEF∽△CAB，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例計(jì)算即可得解．
【解答】
解：∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=ECAC=14，
∴AB=4EF=24m，
故選：B．
7.【答案】C
【解析】解：由題意可得，
7(1+x)2=45，
故選：C．
根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到方程7(1+x)2=45，然后即可判斷哪個選項(xiàng)符合題意．
本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，這是一道典型的增長率問題．
8.【答案】D
【解析】解：設(shè)BC=x，
∵迎水坡AB的坡比i=1：2，
∴AC=2x，
由勾股定理得：AB= BC2+AC2= 5x，
則cs∠ABC=BCAB=x 5x= 55，
故選：D．
設(shè)BC=x，根據(jù)坡度的概念用x表示出AC，根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．
本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】A
【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD，CD/?/AB
∴△AOB∽△EOD
∴S△AOB：S△DOE=(AB)2：(DE)2=25：9
∴AB：DE=5：3
∴設(shè)AB=5a，則DE=3a
∴BC=CD=5a，EC=2a
∴EC：BC=2：5
故選：A．
由題意可得AB=BC=CD，AB/?/CD，則可證△AOB∽△EOD，可得DE：AB=3：5，即可求CE：BC=2：5．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
10.【答案】D
【解析】解：過點(diǎn)E作EH⊥BF，如圖：
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADE=∠FDE，
在△ADE和△FDE中，
DA=DF∠ADE=∠FDEDE=DE，
∴△ADE≌△FDE(SAS)，
∴AE=EF，∠AED=∠FED，
∵EH⊥BF，
∴∠BEH=∠FEH，
∴∠DEF+∠FEH=90°，
∵∠DEF+FDE=90°，
∴∠HEF=∠FDE，
∵E為AB中點(diǎn)，AD=4，
∴EF=2，DE=2 5，
∴tan∠HEF=tan∠FDE，即HFEF=EFDE，
∴HF2=22 5，解得HF=2 55，
∴BF=2HF=4 55．
故選：D．
根據(jù)題意可得△ADE≌△FDE，從而得出AE=EF，結(jié)合E為AB中點(diǎn)，即可得出△BEF是等腰三角形，過點(diǎn)E作EH⊥BF，則有∠DEH=90°，即可得出∠HEF=∠FDE，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解答．
本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，勾股定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
11.【答案】 2
【解析】解： 6÷ 3= 63= 2，
故答案為： 2．
根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算．
本題考查了二次根式的乘除法，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
12.【答案】2027
【解析】解：∵a是方程x2?2x?1=0的一個根，
∴a2?2a?1=0，
∴a2?2a=1，
∴3a2?6a+2024=3(a2?2a)+2024=3×1+2024=2027．
故答案為：2027．
先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2?2a=1，再把3a2?6a+2024變形為3(a2?2a)+2024，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．利用整體代入的方法可簡化計(jì)算．
13.【答案】8
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DB=DA，
設(shè)DB=DA=x，
∵AC=16，
∴CD=AC?CD=16?x，
∵sin∠CBD=CDBD=35，
∴16?xx=35，
∴x=10，
∴BD=10，CD=6，
∴BC= BD2?CD2=8，
故答案為：8．
由作法得MN垂直平分AB，得到DB=DA，設(shè)DB=DA=x，求得CD=AC?CD=16?x，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到x=10根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了作圖?基本作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．
14.【答案】45 32
【解析】解：(1)如圖，在FC上截取FM=FE，連接OM，
∵C△EBF=BE+EF+BF=BC，則BE+EF+BF=BF+FM+MC，
∴BE=MC，
∵O為正方形中心，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，
在△OBE和△OCM中，
OB=OC∠OBE=∠OCMBE=CM，
∴△OBE≌△OCM(SAS)，
∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，
∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，
在△OFE與△OFM中，
OE=OMEF=FMOF=OF，
∴△OFE≌△OFM(SSS)，
∴∠EOF=∠MOF=12∠EOM=45°；
∴∠AOE+∠FOC=135°，
∵∠EAO=45°，
∴∠AOE+∠AEO=135°，
∴∠FOC=∠AEO，
∵∠EAO=∠OCF=45°，
∴△AOE∽△CFO．
∴OEOF=AEOC=OACF= 62，
∴AE= 62OC，AO= 62CF，
∵AO=CO，
∴AE= 62× 62CF=32CF，
∴AECF=32．
故答案為：45；32．
在FC上截取FM=FE，連接OM.首先證明△OBE≌△OCM(SAS)，得出∠EOM=90°，再證明△OFE≌△OFM(SSS)，推出∠EOF=∠MOF=12∠EOM=45°；再證得△AOE∽△CFO，得出OEOF=AEOC=OACF= 62，即可求出答案．
本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形周長等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
15.【答案】解：(1)原式=( 5)2?32+6×12
=5?9+3
=?1；
(2)x2?6x+5=0，
則(x?1)(x?5)=0，
∴x?1=0或x?5=0，
∴x1=1，x2=5；
(3)原式=( 3)2?2× 3×2+22?( 3×12?2 3)
=3?4 3+4?6+2 3
=1?2 3．
【解析】(1)根據(jù)平方差公式、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算；
(2)利用十字相乘法把方程的左邊變形，進(jìn)而解出方程；
(3)根據(jù)完全平方公式、二次根式的乘法法則計(jì)算．
本題考查的是一元二次方程的解法、實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟、實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+m?1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ=(?3)2?4(m?1)=9?4m+4=13?4m≥0，
解得：m≤134；
(2)∵方程x2?3x+m?1=0的兩個實(shí)數(shù)根x1、x2互為倒數(shù)，
∴x1x2=1，即m?1=1，
解得：m=2．
【解析】(1)由方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于0，求出m的范圍即可；
(2)根據(jù)兩實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，得到兩實(shí)數(shù)根乘積為1，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值即可．
此題考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
17.【答案】14
【解析】解：(1)∵共20名志愿者，女生5人，
∴選到女生的概率是520=14，
故答案為：14；
(2)不公平，
根據(jù)題意畫圖如下：
∵共有9種情況，和為偶數(shù)的情況有5種，
∴牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是59，
∴甲參加的概率是59，乙參加的概率是49，
∴甲參加的概率>乙參加的概率，
∴這個游戲不公平．
(1)直接利用概率公式求出即可；
(2)利用樹狀圖表示出所有可能，進(jìn)而利用概率公式求出即可．
此題主要考查了游戲公平性以及概率公式應(yīng)用，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．
18.【答案】證明：(1)∵在?ABCD中，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB/?/CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠B=∠AFD，
∴△ADF∽△EAB；
(2)∵△ADF∽△EAB，
∴ADAE=FDAB，
∴3 3AE=2 34，
解得：AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：DE= AE2?AD2= 62?(3 3)2=3．
【解析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可；
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．
此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定解答．
19.【答案】45 90
【解析】(1)根據(jù)題意可得：∠BAD=15°，∠BAC=60°，∠BCF=30°，AB/?/FG，從而可得∠ACG=∠BAC=60°，∠BCF=∠ABC=30°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACD中，∠DAC=∠BAC?∠BAD=45°，
故答案為：45，90；
(2)在Rt△ABC中，AB=24，∠ABC=90°?∠BAC=30°，
∴AC=12AB=12(千米)，
在Rt△ACD中，∠DAC=45°，
∴AC=CD=12千米，AD= 2AC=12 2(千米)，
答：碼頭A到D處的距離AD為12 2千米；
(3)∵AB=24千米，
∴AC=12AB=12(千米)，BC= 3AC=12 3(千米)，
在Rt△ACD中，∠CAD=∠BAC?∠BAD=45°，
∴CD=AC?tan45°=12(千米)，
∴BD=BC?CD=(12 3?12)千米，
在Rt△BDE中，∠ABC=30°，
∴DE=12BD=(6 3?6)千米，
∴輸油管道的最短長度是(6 3?6)千米．
(1)根據(jù)題意可得：∠BAD=15°，∠BAC=60°，∠BCF=30°，AB/?/FG，從而可得∠ACG=∠BAC=60°，∠BCF=∠ABC=30°，然后利用平角定義可得∠ACB=90°，在Rt△ACD中，∠DAC=∠BAC?∠BAD=45°，
(2)在Rt△ABC中，AB=24，∠ABC=90°?∠BAC=30°，則AC=12AB，在Rt△ACD中，∠DAC=45°，
則AC=CD=12千米，AD= 2AC；
(3)過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，從而在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)可得AC=12千米，BC=12 3千米，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，從而求出BD的長，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)求出DE的長，即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠DGE=90°，
∴∠CDF+∠DEA=90°，
∵∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠DEA=∠CFD，
又∵∠ADE=∠DCF，
∴△ADE～△DCF；
(2)①解：△DHE是等腰三角形，理由如下：
∵DF平分∠BDC，
∴∠GDH=∠GDE，
∵DF⊥AE，
∴∠DGH=∠DGE=90°，
在△DGH和△DGE中，
∠GDH=∠GDEDG=DG∠DGH=∠DGE，
∴△DGH≌△DGE(ASA)，
∴DH=DE，
∴△DHE是等腰三角形；
②證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC=12AC，
如圖1，過點(diǎn)C作CM//BD交AE延長線于點(diǎn)M，

則△AOH∽△ACM，
∴OHCM=AOAC=12，
∴CM=2OH，
由①得：DH=DE，
∴∠DEH=∠DHE，
∵CM//BD，
∴∠DHE=∠CME，
∵∠DEH=∠MEC，
∴∠MEC=∠CEM，
∴CE=CM，
∴CE=2OH；
③解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
如圖2，過點(diǎn)A作AK⊥BD于點(diǎn)K，則∠AKD=∠BAD=90°，

∵∠ADK=∠ADB，
∴△ADK∽△BDA，
∴AKAB=ADBD，
∴AKAD=ABBD，
∴S1=12OH?AK，
∵S2=12CE?AD，CE=2OH，
∴S1S2=12OH?AK12×2OH?AD=AK2AD=310，
∴AKAD=35，
∴ABBD=35，
設(shè)AB=3x，則BD=5x，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：AD= BD2?AB2= (5x)2?(3x)2=4x，
∴ABAD=3x4x=34．
【解析】(1)由矩形的性質(zhì)得∠ADE=∠DCF=90°，再證∠DEA=∠CFD，即可得出結(jié)論；
(2)①證△DGH≌△DGE(ASA)，得出DH=DE，即可得出結(jié)果；
②過點(diǎn)C作CM//BD交AE延長線于點(diǎn)M，則△AOH∽△ACM，得出OHCM=AOAC=12，推出CM=2OH，再證∠MEC=∠CEM，則CE=CM，即可得出結(jié)論；
③過點(diǎn)A作AK⊥BD于點(diǎn)K，則∠AKD=∠BAD=90°，先證△ADK∽△BDA，得出AKAD=ABBD，再由S1=12OH?AK，S2=12CE?AD，CE=2OH，推出ABBD=35，設(shè)AB=3x，則BD=5x，然后由勾股定理求出AD=4x，即可得出結(jié)果．
本題是相似性綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算等知識，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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