一、單選題
1．設(shè)全集，集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且的縱坐標(biāo)為，則（ ）
A．B．C．D．
4．在中，點(diǎn)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
5．某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)男子100m決賽中，八名選手的成績(jī)（單位：）分別為：，，，，，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若該八名選手成績(jī)的第百分位數(shù)為，則
B．若該八名選手成績(jī)的眾數(shù)僅為，則
C．若該八名選手成績(jī)的極差為，則
D．若該八名選手成績(jī)的平均數(shù)為，則
6．已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，，且，則（ ）
A．B．C．D．
7．若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”.已知，互為“平行函數(shù)”，則（ ）
A．B．C．D．
8．第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICNE7）的會(huì)徽?qǐng)D案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個(gè)三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
9．在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，底面是正方形，則（ ）
A．B．與平面所成的角為
C．D．平面
10．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)最大時(shí)，則（ ）
A．直線的斜率為1B．四邊形的面積為
C．D．
11．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密（Ptlemy 85-165）對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他研究出角與弦之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個(gè)度量單位來度量弦長(zhǎng)，將圓心角（）所對(duì)的弦長(zhǎng)記為.例如圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于60個(gè)度量單位，即.則（ ）
A．
B．若，則
C．
D．（）
12．已知函數(shù)，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
C．存在，使得有3個(gè)零點(diǎn)
D．存在，使得有5個(gè)零點(diǎn)
三、填空題
13．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)（）在角終邊上，且，則的值可以是 .（寫一個(gè)即可）
14．春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個(gè)敬老院做義工，每個(gè)敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個(gè)敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則的離心率為 .
16．已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為 .
四、解答題
17．在中，，，.
(1)求的面積；
(2)如圖，，，求.
18．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，，.
(1)證明：平面平面；
(2)是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由.
20．聊天機(jī)器人（chatterbt）是一個(gè)經(jīng)由對(duì)話或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序.當(dāng)一個(gè)問題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對(duì)某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測(cè)試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%.
(1)求一個(gè)問題的應(yīng)答被采納的概率；
(2)在某次測(cè)試中，輸入了8個(gè)問題，每個(gè)問題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時(shí)的值.
21．已知是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在不過原點(diǎn)的直線上，交于，兩點(diǎn).當(dāng)與互補(bǔ)時(shí)，，.
(1)求的方程；
(2)證明：為定值.
22．已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.
參考答案：
1．C
【分析】先求集合B的補(bǔ)集，再求交集即可.
【詳解】由題，則.
故選：C
2．A
【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第一象限.
故選：A.
3．D
【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可求解.
【詳解】由已知得，由于的縱坐標(biāo)為，結(jié)合拋物線定義可得，
故選：D
4．C
【分析】利用平面向量的加減法則，根據(jù)向量定比分點(diǎn)代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.
【詳解】如下圖所示：
易知；
即可得.
故選：C
5．A
【分析】舉反例判斷A,利用眾數(shù)和平均數(shù)定義判斷B、D,分情況討論x判斷C.
【詳解】對(duì)A,因?yàn)?，?dāng),八名選手成績(jī)從小到大排序，故該八名選手成績(jī)的第百分位數(shù)為，但，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B,由眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，B正確；
對(duì)C,當(dāng)，極差為，不符合題意舍去；
當(dāng)，極差為，符合題意
當(dāng)，極差為不符合題意舍去，綜上，，C正確；
對(duì)D,平均數(shù)為解得，故D正確.
故選：A
6．B
【分析】利用輔助角公式變形為，畫出圖像，找到兩函數(shù)交點(diǎn)位置，求出結(jié)果即可.
【詳解】，最小正周期為，
作出的圖像，

可知當(dāng)時(shí)，有三個(gè)根，
所以，
即或，
解得根分別為，
又因?yàn)椋?br>所以，
故選：B.
7．B
【分析】根據(jù)“平行函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)圖象的變換關(guān)系求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
而將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，
所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
故選：B.
8．D
【分析】設(shè)第三角形的斜邊長(zhǎng)為，面積為，根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>設(shè)第三角形的斜邊長(zhǎng)為，面積為，
由題意可知：，，，
則，，
可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以所作的所有三角形的面積和為.
故選：D.
9．AB
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量法逐個(gè)分析即可.
【詳解】
易知正四棱柱是長(zhǎng)方體，故以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
連接，設(shè)，，，與平面所成的角為，故，,，，易知面的法向量,易知，故，可得，化簡(jiǎn)得，結(jié)合底面是正方形，可得，故，，即，故A正確，
易知面的法向量，，設(shè)與平面所成的角為，故，化簡(jiǎn)得，故，故B正確，
易知，，故，即不垂直，故C錯(cuò)誤，
易知，，故，，，，，設(shè)面的法向量，故，，解得，，，即，則與不平行，故與面不垂直，故D錯(cuò)誤，
故選：AB
10．AC
【分析】由題意分析得，結(jié)合，即可判斷A，求出，結(jié)合三角函數(shù)即可判斷D，算出即可得四邊形的面積，由此即可判斷B，結(jié)合等面積法即可判斷C.
【詳解】
若要最大，則只需銳角最大，只需最大，即最小，
所以若最小，則，由垂徑分線定理有，所以，所以，故A正確；
由題意，此時(shí)，，
所以此時(shí)，故D錯(cuò)誤；
而當(dāng)時(shí)，，所以四邊形的面積為，故B錯(cuò)誤；
由等面積法有四邊形的面積為，又由題意，所以，故C正確.
故選：AC.
11．BCD
【分析】根據(jù)所給定義即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)為
若，則弦長(zhǎng)為,顯然,故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，若，則弦長(zhǎng)為,而直徑為，故，B正確，
對(duì)于C，圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為，故，C正確，
對(duì)于D, 根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知：所對(duì)的弦長(zhǎng)之和大于所對(duì)的弦長(zhǎng)，所以，（），故D正確，
故選：BCD
12．BCD
【分析】令，可得，結(jié)合圖象分析方程的根的分布，再結(jié)合圖象分析的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得解.
【詳解】由的圖象可知，的值域?yàn)椋?br>對(duì)于選項(xiàng)AC：令，
則在上恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，則，
即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
令，若，可得，
令，
當(dāng)，則，可知；
當(dāng)，結(jié)合圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)，方程有根，解得；
即或，結(jié)合圖象可知：
有1個(gè)根；有2個(gè)根；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，C正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：令，若，可得，
令，即，
注意到，
由圖象可知方程有兩個(gè)根為一根為，另一根不妨設(shè)為，
即或，結(jié)合圖象可知：
有1個(gè)根；有1個(gè)根；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：令，若，可得，
令，即，
令，解得，
由圖象可設(shè)方程有三個(gè)根為，且，
即或或，結(jié)合圖象可知：
或有1個(gè)根；有3個(gè)根；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，有5個(gè)零點(diǎn)，故D正確；

故選：BCD.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點(diǎn)
1.討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性、否則會(huì)得到錯(cuò)解．
2.正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合．
13．（，，均可）
【分析】由求得的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)而可得解.
【詳解】，即，解得，
又，故的值可為、、、、，
則，即的值可以是或或.
故答案為：（，，均可）.
14．18
【分析】先把小王、小李視為1組，再把剩下的3人分成2組，把這3組全排列即可.
【詳解】把小王、小李視為1組，
剩下的3個(gè)人先分成2組，分組的方式是： 1，2；
則有，
把這3組人再分配給3個(gè)敬老院，則.
故答案為：18
15．/
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的長(zhǎng)，再利用雙曲線的定義結(jié)合等腰三角形列式計(jì)算即得.
【詳解】雙曲線的半焦距為c，漸近線方程為，
點(diǎn)到漸近線距離為，由雙曲線定義得，
由為等腰三角形，得，即，因此，
則，所以的離心率為.
故答案為：
16．
【分析】由球的表面積計(jì)算出球的半徑，設(shè)出該正四棱錐底面邊長(zhǎng)及高，由球的半徑可得底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，求出該正四棱錐體積的表達(dá)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)計(jì)算即可得.
【詳解】
由，故該球半徑，
設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，
則，，
則有，化簡(jiǎn)得，
，
令，則，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即有極大值，
即該正四棱錐體積的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于得出體積的表達(dá)式后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性后可得最值.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)同角關(guān)系求解正余弦值，即可根據(jù)正弦定理求解，進(jìn)而有和差角公式以及三角形面積公式求解即可，
（2）根據(jù)邊角關(guān)系以及余弦定理即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?所以，
因?yàn)椋?，所以?br>在中，由正弦定理可得，解得.
又因?yàn)椋?br>所以.
（2）由（1）可知，，因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，即，故?br>所以，，
在中，由余弦定理可得，
解得.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先計(jì)算，再利用得進(jìn)而證明 等比數(shù)列，可得通項(xiàng)公式；
（2）先求出，再利用并項(xiàng)求和法求的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
即.
（2）由題意，，則，
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以.
19．(1)證明見解析；
(2)存在，．
【分析】（1）利用勾股定理及逆定理判定線線垂直，得出線面垂直再證面面垂直即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究面面夾角，計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，
在直角中，，，所以，
在中，，，所以，得，
又平面，平面，所以，
又，，所以平面，
由平面得，
又，所以平面，
由平面得，平面平面．
（2）存在點(diǎn)滿足條件，
以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)，則，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令得，
所以平面的一個(gè)法向量為，
易知平面的一個(gè)法向量為，
由已知得，解得，即，
所以存在點(diǎn)使平面與平面的夾角為，此時(shí)．
20．(1)0.75
(2)6
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，
（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.
【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件， “一次應(yīng)答被采納”為事件，
由題意，，，則
，
.
（2）依題意，，，
當(dāng)最大時(shí)，有
即解得：，，
故當(dāng)最大時(shí)，.
21．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由與互補(bǔ)，故與關(guān)于軸對(duì)稱，可得的方程，即可得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓定義及點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可得的方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程，與曲線方程聯(lián)立后可得與橫坐標(biāo)有關(guān)一元二次方程，借助韋達(dá)定理表示出，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系，由題意將化簡(jiǎn)后結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可得.
【詳解】（1）因?yàn)榕c互補(bǔ)，由橢圓的對(duì)稱性可得與關(guān)于軸對(duì)稱，
所以軸，又因?yàn)橹本€過，故的方程為，
設(shè)在第一象限，因?yàn)?，則，
設(shè)為的左焦點(diǎn)，則，故，即,
因?yàn)樵谏?，，解得，所以的方程為?br>
（2）設(shè)，，由題意知直線斜率存在，設(shè)直線，
聯(lián)立，得，
，
則，，
所以，
故
，
所以為定值.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將通過化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算.
22．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)后對(duì)分類討論即可得；
（2）由函性質(zhì)可得時(shí)，，則，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分類討論計(jì)算即可得.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
①當(dāng)時(shí)，令，得，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)，令，得或，
?。┊?dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
ⅱ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
ⅲ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
（2）當(dāng)時(shí)，令，則，
時(shí)，，則，
故，則，
故當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，解得，
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上的極小值為，
由題，則有，解得，
當(dāng)，解得，
①當(dāng)時(shí)，，，符合題意，
②當(dāng)時(shí)，，，符合題意.
綜上，當(dāng)時(shí)，恒成立.
【點(diǎn)睛】恒成立問題解題思路：
（1）參變量分離：
（2）構(gòu)造函數(shù)：
①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；
②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參變分離即可解決問題.

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