注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，集合，，則（）
AB. C. D.
2. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3. 已知是拋物線的焦點，點在上，且的縱坐標(biāo)為，則（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，點滿足，則（）
A. B.
C. D.
5. 某學(xué)校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：）分別為：，，，，，，，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 若該八名選手成績的第百分位數(shù)為，則
B. 若該八名選手成績的眾數(shù)僅為，則
C. 若該八名選手成績極差為，則
D. 若該八名選手成績的平均數(shù)為，則
6. 已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個不等的實根，，且，則（）
A. B. C. D.
7. 若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”.已知，互為“平行函數(shù)”，則（）
A. B. C. D.
8. 第七屆國際數(shù)學(xué)大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.
9. 在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，底面是正方形，則（）
A. B. 與平面所成的角為
C. D. 平面
10. 已知圓，直線，點在直線上運動，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，當(dāng)最大時，則（）
A. 直線的斜率為1B. 四邊形的面積為
C. D.
11. 古希臘數(shù)學(xué)家托勒密（Ptlemy 85-165）對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻，他研究出角與弦之間的對應(yīng)關(guān)系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個度量單位來度量弦長，將圓心角（）所對的弦長記為.例如圓心角所對弦長等于60個度量單位，即.則（）
A.
B. 若，則
C
D. （）
12. 已知函數(shù)，，則（）
A當(dāng)時，有2個零點
B. 當(dāng)時，有2個零點
C. 存在，使得有3個零點
D. 存在，使得有5個零點
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點（）在角終邊上，且，則的值可以是______.（寫一個即可）
14. 春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個敬老院做義工，每個敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）
15. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個交點為，若為等腰三角形，則的離心率為______.
16. 已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為______.
四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 中，，，.
（1）求的面積；
（2）如圖，，，求.
18. 記為數(shù)列的前項和，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
19. 如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點，是線段上一點，，.
（1）證明：平面平面；
（2）是否存在點，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由.
20. 聊天機器人（chatterbt）是一個經(jīng)由對話或文字進行交談的計算機程序.當(dāng)一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進行應(yīng)答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.
（1）求一個問題的應(yīng)答被采納的概率；
（2）在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應(yīng)答是否被采納相互獨立，記這些應(yīng)答被采納的個數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時的值.
21. 已知是橢圓的右焦點，點在不過原點的直線上，交于，兩點.當(dāng)與互補時，，.
（1）求的方程；
（2）證明：為定值.
22. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍.昆明市2024屆高三“三診一模”摸底診斷測試
數(shù) 學(xué)
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求集合B的補集，再求交集即可.
【詳解】由題，則.
故選：C
2. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，它在第一象限.
故選：A.
3. 已知是拋物線的焦點，點在上，且的縱坐標(biāo)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可求解.
【詳解】由已知得，由于的縱坐標(biāo)為，結(jié)合拋物線定義可得，
故選：D
4. 在中，點滿足，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的加減法則，根據(jù)向量定比分點代入化簡即可得出結(jié)果.
【詳解】如下圖所示：
易知；
即可得.
故選：C
5. 某學(xué)校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：）分別為：，，，，，，，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 若該八名選手成績的第百分位數(shù)為，則
B. 若該八名選手成績的眾數(shù)僅為，則
C. 若該八名選手成績的極差為，則
D. 若該八名選手成績的平均數(shù)為，則
【答案】A
【解析】
分析】舉反例判斷A,利用眾數(shù)和平均數(shù)定義判斷B、D,分情況討論x判斷C.
【詳解】對A,因為，當(dāng),八名選手成績從小到大排序，故該八名選手成績的第百分位數(shù)為，但，故A錯誤；
對B,由眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)據(jù)，B正確；
對C,當(dāng)，極差，不符合題意舍去；
當(dāng)，極差為，符合題意
當(dāng)，極差為不符合題意舍去，綜上，，C正確；
對D,平均數(shù)為解得，故D正確.
故選：A
6. 已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個不等的實根，，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用輔助角公式變形為，畫出圖像，找到兩函數(shù)交點位置，求出結(jié)果即可.
【詳解】，最小正周期為，
作出的圖像，
可知當(dāng)時，有三個根，
所以，
即或，
解得根分別為，
又因為，
所以，
故選：B.
7. 若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”.已知，互為“平行函數(shù)”，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)“平行函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)圖象的變換關(guān)系求解即可.
【詳解】因為，
，
而將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，
所以，經(jīng)檢驗符合題意，
故選：B.
8. 第七屆國際數(shù)學(xué)大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)第三角形的斜邊長為，面積為，根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式運算求解.
【詳解】因為，
設(shè)第三角形的斜邊長為，面積為，
由題意可知：，，，
則，，
可知數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，
所以所作的所有三角形的面積和為.
故選：D.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.
9. 在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，底面是正方形，則（）
A. B. 與平面所成的角為
C. D. 平面
【答案】AB
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量法逐個分析即可.
【詳解】
易知正四棱柱是長方體，故以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
連接，設(shè)，，，與平面所成的角為，故，,，，易知面的法向量,易知，故，可得，化簡得，結(jié)合底面是正方形，可得，故，，即，故A正確，
易知面的法向量，，設(shè)與平面所成的角為，故，化簡得，故，故B正確，
易知，，故，即不垂直，故C錯誤，
易知，，故，，，，，設(shè)面的法向量，故，，解得，，，即，則與不平行，故與面不垂直，故D錯誤，
故選：AB
10. 已知圓，直線，點在直線上運動，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，當(dāng)最大時，則（）
A. 直線的斜率為1B. 四邊形的面積為
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由題意分析得，結(jié)合，即可判斷A，求出，結(jié)合三角函數(shù)即可判斷D，算出即可得四邊形的面積，由此即可判斷B，結(jié)合等面積法即可判斷C.
【詳解】
若要最大，則只需銳角最大，只需最大，即最小，
所以若最小，則，由垂徑分線定理有，所以，所以，故A正確；
由題意，此時，，
所以此時，故D錯誤；
而當(dāng)時，，所以四邊形的面積為，故B錯誤；
由等面積法有四邊形的面積為，又由題意，所以，故C正確.
故選：AC.
11. 古希臘數(shù)學(xué)家托勒密（Ptlemy 85-165）對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻，他研究出角與弦之間的對應(yīng)關(guān)系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個度量單位來度量弦長，將圓心角（）所對的弦長記為.例如圓心角所對弦長等于60個度量單位，即.則（）
A.
B. 若，則
C.
D. （）
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)所給定義即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】對于A，圓心角所對弦長為
若，則弦長為,顯然,故A錯誤，
對于B，若，則弦長為,而直徑為，故，B正確，
對于C，圓心角所對的弦長為，故，C正確，
對于D, 根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知：所對的弦長之和大于所對的弦長，所以，（），故D正確，
故選：BCD
12. 已知函數(shù)，，則（）
A. 當(dāng)時，有2個零點
B. 當(dāng)時，有2個零點
C. 存在，使得有3個零點
D. 存在，使得有5個零點
【答案】BCD
【解析】
【分析】令，可得，結(jié)合圖象分析方程的根的分布，再結(jié)合圖象分析的交點個數(shù)，即可得解.
【詳解】由的圖象可知，的值域為，
對于選項AC：令，
則在上恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，則，
即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br>令，若，可得，
令，
當(dāng)，則，可知；
當(dāng)，結(jié)合圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)，方程有根，解得；
即或，結(jié)合圖象可知：
有1個根；有2個根；
綜上所述：當(dāng)時，有3個零點，故A錯誤，C正確；
對于選項B：令，若，可得，
令，即，
注意到，
由圖象可知方程有兩個根為一根為，另一根不妨設(shè)為，
即或，結(jié)合圖象可知：
有1個根；有1個根；
綜上所述：當(dāng)時，有2個零點，故B正確；
對于選項D：令，若，可得，
令，即，
令，解得，
由圖象可設(shè)方程有三個根為，且，
即或或，結(jié)合圖象可知：
或有1個根；有3個根；
綜上所述：當(dāng)時，有5個零點，故D正確；
故選：BCD.
【點睛】易錯點睛：利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點
1.討論方程的解(或函數(shù)的零點)可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性、否則會得到錯解．
2.正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點（）在角終邊上，且，則的值可以是______.（寫一個即可）
【答案】（，，均可）
【解析】
【分析】由求得的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的定義進而可得解.
【詳解】，即，解得，
又，故的值可為、、、、，
則，即的值可以是或或.
故答案為：（，，均可）.
14. 春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個敬老院做義工，每個敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）
【答案】18
【解析】
【分析】先把小王、小李視為1組，再把剩下的3人分成2組，把這3組全排列即可.
【詳解】把小王、小李視為1組，
剩下的3個人先分成2組，分組的方式是： 1，2；
則有，
把這3組人再分配給3個敬老院，則.
故答案為：18
15. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個交點為，若為等腰三角形，則的離心率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用點到直線的距離公式求出的長，再利用雙曲線的定義結(jié)合等腰三角形列式計算即得.
【詳解】雙曲線的半焦距為c，漸近線方程為，
點到漸近線距離為，由雙曲線定義得，
由為等腰三角形，得，即，因此，
則，所以的離心率為.
故答案為：
16. 已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】由球的表面積計算出球的半徑，設(shè)出該正四棱錐底面邊長及高，由球的半徑可得底面邊長與高的關(guān)系，求出該正四棱錐體積的表達式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)計算即可得.
【詳解】
由，故該球半徑，
設(shè)正四棱錐底面邊長為，高為，
則，，
則有，化簡得，
，
令，則，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即有極大值，
即該正四棱錐體積的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于得出體積的表達式后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性后可得最值.
四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在中，，，.
（1）求的面積；
（2）如圖，，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同角關(guān)系求解正余弦值，即可根據(jù)正弦定理求解，進而有和差角公式以及三角形面積公式求解即可，
（2）根據(jù)邊角關(guān)系以及余弦定理即可求解.
【小問1詳解】
因為，,所以，
因為，，所以，
在中，由正弦定理可得，解得.
又因為，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知，，因為，所以，
又因為，即，故，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
解得.
18. 記為數(shù)列的前項和，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）先計算，再利用得進而證明等比數(shù)列，可得通項公式；
（2）先求出，再利用并項求和法求的前項和.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，
所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
即.
【小問2詳解】
由題意，，則，
記數(shù)列的前項和為，
所以.
19. 如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點，是線段上一點，，.
（1）證明：平面平面；
（2）是否存在點，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在，．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及逆定理判定線線垂直，得出線面垂直再證面面垂直即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究面面夾角，計算即可.
【小問1詳解】
因為，是的中點，所以，
在直角中，，，所以，
在中，，，所以，得，
又平面，平面，所以，
又，，所以平面，
由平面得，
又，所以平面，
由平面得，平面平面．
【小問2詳解】
存在點滿足條件，
以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)，則，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令得，
所以平面的一個法向量為，
易知平面的一個法向量為，
由已知得，解得，即，
所以存在點使平面與平面的夾角為，此時．
20. 聊天機器人（chatterbt）是一個經(jīng)由對話或文字進行交談的計算機程序.當(dāng)一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進行應(yīng)答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.
（1）求一個問題的應(yīng)答被采納的概率；
（2）在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應(yīng)答是否被采納相互獨立，記這些應(yīng)答被采納的個數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時的值.
【答案】（1）0.75
（2）6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，
（2）根據(jù)二項分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.
【小問1詳解】
記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件， “一次應(yīng)答被采納”為事件，
由題意，，，則
，
.
【小問2詳解】
依題意，，，
當(dāng)最大時，有
即解得：，，
故當(dāng)最大時，.
21. 已知是橢圓的右焦點，點在不過原點的直線上，交于，兩點.當(dāng)與互補時，，.
（1）求的方程；
（2）證明：為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由與互補，故與關(guān)于軸對稱，可得的方程，即可得點坐標(biāo)，結(jié)合橢圓定義及點坐標(biāo)計算即可得的方程；
（2）設(shè)出點的坐標(biāo)與直線方程，與曲線方程聯(lián)立后可得與橫坐標(biāo)有關(guān)一元二次方程，借助韋達定理表示出，兩點橫坐標(biāo)關(guān)系，由題意將化簡后結(jié)合韋達定理計算即可得.
【小問1詳解】
因為與互補，由橢圓的對稱性可得與關(guān)于軸對稱，
所以軸，又因為直線過，故的方程為，
設(shè)在第一象限，因為，則，
設(shè)為左焦點，則，故，即,
因為在上，，解得，所以的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)，，由題意知直線斜率存，設(shè)直線，
聯(lián)立，得，
，
則，，
所以，
故
，
所以為定值.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于將通過化簡得到，再結(jié)合韋達定理進行計算.
22. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)后對分類討論即可得；
（2）由函性質(zhì)可得時，，則，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進行分類討論計算即可得.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，
，
①當(dāng)時，令，得，則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時，令，得或，
?。┊?dāng)時，則當(dāng)或時，，
當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
ⅱ）當(dāng)時，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
ⅲ）當(dāng)時，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
【小問2詳解】
當(dāng)時，令，則，
時，，則，
故，則，
故當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，解得，
由（1）可知，當(dāng)時，在上的極小值為，
由題，則有，解得，
當(dāng)，解得，
①當(dāng)時，，，符合題意，
②當(dāng)時，，，符合題意.
綜上，當(dāng)時，恒成立.
【點睛】恒成立問題解題思路：
（1）參變量分離：
（2）構(gòu)造函數(shù)：
①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；
②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參變分離即可解決問題.

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