一、選擇題
1．圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是( )
A.B.
C.D.
2．在數(shù)列中,若,且對(duì)任意的有,則數(shù)列前10項(xiàng)的和為( )
A.B.C.D.
3．設(shè)公比為-2的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則等于( )
A.8B.4C.-4D.-8
4．已知直線與直線,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.充要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
5．已知正四棱柱中,,則CD與平面所成角的正弦值等于( )
A.B.C.D.
6．已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,以F為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線相切于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)B.若直線AB的斜率為,則雙曲線C的離心率為( )
A.B.C.D.
7．已知橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合,過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則橢圓E方程為( )
A.B.C.D.
8．對(duì)于函數(shù),下列結(jié)論正確的一個(gè)是( )
A.有極小值,且極小值點(diǎn)
B.有極大值,且極大值點(diǎn)
C.有極小值,且極小值點(diǎn)
D.有極大值,且極大值點(diǎn)
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是( )
A.B.C.D.
10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線E的方程為,E的焦點(diǎn)為F,直線l與E交于A,B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)到x軸的距離為2,則下列結(jié)論正確的是( )
A.的最大值為6
B.E的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
C.若,則直線AB的方程為
D.若,則面積的最小值為16
11．如圖,在三棱錐中,底面ABC.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使該三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形,則這個(gè)添加的條件可以是( )
A.B.C.D.
12．設(shè)等比數(shù)列的公比為q,其前n項(xiàng)和為,前n項(xiàng)積為,且滿足條件,,,則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.B.
C.是數(shù)列中的最大項(xiàng)D.
三、填空題
13．已知直線,直線,若直線l與m的交點(diǎn)在第一象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)__________.
14．已知曲線在處的切線過(guò)點(diǎn),那么實(shí)數(shù)____________.
15．銳二面角中,直線a在半平面內(nèi),通過(guò)探究可知：a與半平面所成角的最大值就是二面角的平面角的大小,請(qǐng)據(jù)此解決下面的問(wèn)題：在三棱中,,二面角為直二面角,,M,N分別為側(cè)棱PA,PC上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線MN與平面PAB所成的角為,當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí),則三棱錐P-ABC的體積為_(kāi)_________.
16．設(shè),函數(shù),,若函數(shù)與的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則a的取值范圍是____________.
四、解答題
17．已知函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求出a的值,并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在使得不等式成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
18．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,對(duì)任意,都有.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證：.
19．已知點(diǎn)在橢圓上,且該橢圓的離心率為.直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ的斜率之和為零,
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,求的面積.
20．如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形,的中點(diǎn)為O,且平面.
(1)證明：;
(2)若,,,求三棱柱的高;
(3)在（2）的條件下,求三棱柱的表面積.
21．已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,過(guò),的圓的內(nèi)接正三角形的面積為,以為焦點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)為P,且.
（1）求橢圓C和拋物線M的方程;
（2）過(guò)作相互垂直的兩條直線,其中一條交橢圓C于A,B兩點(diǎn),另一條交拋物線M于G,H兩點(diǎn),求四邊形AGBH面積的最小值.
22．已知函數(shù),.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,證明有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn),且
參考答案
1．答案：C
解析：圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的半徑為,
故圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的圓的方程為,
故選：C.
2．答案：A
解析： ,
則.
,.
,
.
,
,則.
故選：A.
3．答案：C
解析：由得：,又
解得：,所以
故選：C.
4．答案：A
解析：由,得,解得或,
即的充要條件為或,
所以“”是“”的充分不必要條件,
故選：A.
5．答案：A
解析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),
則,,
設(shè)平面的法向量為,
則,令,則,所以.
設(shè)CD與平面所成角為,
則.
故選：A.
6．答案：C
解析：雙曲線C的漸近線方程為,則直線OB的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,
所以,直線BF的斜率為,易知點(diǎn)、,
所以,直線BF的方程為,
聯(lián)立,解得,即點(diǎn),
由題意可得,即,
所以,,則,故.
故選：C.
7．答案：A
解析： ,故右焦點(diǎn),則,
設(shè),,則,
且,,
兩式相減得,
故,
故,故,,
故橢圓E方程為,
故選：A.
8．答案：C
解析：由題,又,故在區(qū)間上為增函數(shù).
又..
故有極小值,且極小值點(diǎn).
故選：C.
9．答案：BD
解析：A選項(xiàng),為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),.其在上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),為偶函數(shù),其在上單調(diào)遞增,故B正確;
C選項(xiàng),為奇函數(shù),故C錯(cuò)誤;
D選項(xiàng),為偶函數(shù),其在上單調(diào)遞增,故D正確.
故選：BD.
10．答案：ACD
解析：對(duì)于A：如圖：
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,分別過(guò)A,B,M作準(zhǔn)線的垂線,
垂足分別為C,D,M,因?yàn)镸到x軸的距離為2,所以,
由拋物線的定義知,,
所以,
因?yàn)?
所以,所以的最大值為6.
故選項(xiàng)A正確;
對(duì)于B：由題知,拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
對(duì)于C：由得直線AB過(guò)點(diǎn),
直線的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為,
聯(lián)立方程得,化簡(jiǎn)得,
則有.
由于,所以,
可得,解得,所以,
所以,直線AB的方程為.
故選項(xiàng)C正確;
對(duì)于D：設(shè),,由,
得,又,
所以,
由題知,,所以,
又,
故直線AB的方程為,
又,所以,
則有直線AB恒過(guò)點(diǎn),
所以,
所以面積的最小值為16.
故選項(xiàng)D正確;
故選：ACD.
11．答案：BCD
解析：若,設(shè),,,
求得,,,
則,
則為銳角,同理可得,為銳角,則為銳角三角形,故A錯(cuò)誤;
因?yàn)榈酌鍭BC,AB,BC,面ABC,所以,,
若,,所以平面PAB,
又平面PAB,所以,
所以該三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形,故B正確;
若,,所以平面PAB,
又平面PAB,所以,
所以該三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形,故C正確;
若,,所以平面PAC,
又平面PAC,所以,
所以該三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形,故D正確.
故選：BCD.
12．答案：ABD
解析：,
則或,
,,
和同號(hào),且同為正,
且一個(gè)大于1,一個(gè)小于1,
,
,,即數(shù)列的前2022項(xiàng)大于1,
而從第2023項(xiàng)開(kāi)始都小于1,
對(duì)于A,公比,故A正確,
對(duì)于B,,
,即,故B正確,
對(duì)于C,等比數(shù)列的前項(xiàng)積為,
且數(shù)列的前2022項(xiàng)大于1,而從第2023項(xiàng)開(kāi)始都小于1,
故是數(shù)列中的最大項(xiàng),故C錯(cuò)誤,
對(duì)于D,,
,
,即,故D正確.
故選：ABD.
13．答案：
解析：由題意得兩直線不平行,即,得,
由得,
由于直線l與m的交點(diǎn)在第一象限,
所以,解得,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為,
故答案為：.
14．答案：1
解析：,
,則,
曲線在處的切線方程為：
,代入點(diǎn),
得,解得,
故答案為：1.
15．答案：
解析：如圖所示,當(dāng)直線MN與平面PAB所成的角為二面角的大小時(shí),
此時(shí)線面角達(dá)到最大,設(shè)N運(yùn)動(dòng)到C時(shí),作于M,于D,
連結(jié)DM,二面角為直二面角,
面面PBC, ,面APB,面面
面APB,又,
面CDM,,,則,
設(shè),
,
故答案為：.
16．答案：
解析：函數(shù)與的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),
即方程有兩不同根,
也就是有兩不同根,
因?yàn)?所以在上有兩不同根.
因?yàn)?所以或,.
又且,所以,僅有兩解時(shí),應(yīng)有,
則,所以a的取值范圍是.
故答案為：.
17．答案：(1);在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
(2)
解析：（1）因?yàn)?所以,
由偶函數(shù)知,解得;
即,由對(duì)勾函數(shù)知,
當(dāng)時(shí),即時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),即時(shí)函數(shù)遞增,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
（2）由題意可得,即,
令,;
解一：,則在上有解,即.
若,即,此時(shí),解得,∴;
若,即,此時(shí),解得,此時(shí)無(wú)解;
綜上,;
解二：由得,令,則.
,所以.
解三：由得,令,則,
,所以.
18．答案：（1）;
（2）證明見(jiàn)解析.
解析：（1）因?yàn)?所以.
兩式相減,得,即
所以當(dāng)時(shí),,
所以,即
又因?yàn)?所以,又也符合該式,故.
（2）證明：由（1）有,令,,
則
所以
=
因?yàn)?所以
因?yàn)樵贜*上是遞減函數(shù),
所以在N*上是遞增函數(shù).
所以當(dāng)時(shí),取得最小值.所以
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為,
由題意可得,解得,
所以橢圓方程為;
（2）由題意作下圖：
不妨設(shè)直線AP的傾斜角為銳角且為,
則直線AQ的傾斜角為,所以,
因,,解得,
又為銳角,所以,于是得直線,,
聯(lián)立方程組消去y得：,
因?yàn)榉匠逃幸桓鶠?,所以,,
同理可得,,
所以,,點(diǎn)A到直線PQ的距離,
所以的面積為;
綜上,橢圓方程為;的面積為.
20．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
（1）證明：連接,則O為與的交點(diǎn),
側(cè)面為菱形, .
平面, .
,平面ABO, 平面ABO,平面ABO.
平面ABO, .
（2）作,垂足為D,連接AD,作,垂足為H,如圖.
,,,平面AOD,平面AOD,
平面AOD, .
,,平面ABC,平面ABC,
平面ABC.
, 為等邊三角形.
, ,
, ,
由,
且,可得,
O為的中點(diǎn),到平面ABC的距離為,
三棱柱的高為.
（3）易知,,
,,
,
,,,.
表面積為.
21．答案：（1）;;
（2）.
解析：（1）圓O半徑為c,故內(nèi)接正三角形的面積為
,即
又,,故
,
橢圓.
（2）由已知得直線AB的斜率存在,記為k
（i）當(dāng)時(shí),,,故.
（ii）當(dāng)時(shí),設(shè),代入,得：
.
此時(shí),,代入得：
.
綜上,.
22．答案：(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
解析：（1）.
①若,則,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;
②若,則,
當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故在,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;
③若,則,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“=”成立,
故是R上的減函數(shù);
④若,則,
當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故在,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;
綜上,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),是R上的減函數(shù);
當(dāng)時(shí),在,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
（2）由（1）知：當(dāng)時(shí),在,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn),且,,,
因?yàn)樵趩握{(diào)遞減,,,
所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且,即,則,
從而,
設(shè),
則,在單調(diào)遞增.
所以.

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