德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在十歲的時(shí)候，他的數(shù)學(xué)老師出了一道數(shù)學(xué)題： 1+2+3+4+5+...+100= 同學(xué)們，這道題，你有什么好的辦法嗎？
解決問(wèn)題的方法不止一種，我們要開(kāi)動(dòng)腦筋，積極思考，嘗試多從不同的角度尋找解決問(wèn)題的方法，進(jìn)而解決問(wèn)題。
一、在動(dòng)手操作的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)
折紙、剪紙等是日常生活中常見(jiàn)的操作活動(dòng)，它體現(xiàn)了圖形之間的變化和一些數(shù)學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用，這些活動(dòng)能培養(yǎng)我們的動(dòng)手能力和空間想象能力，同時(shí)還能提高我們的思維能力。
把一張長(zhǎng)方形紙片按圖折疊、裁剪、展開(kāi)，能得到什么圖形？說(shuō)說(shuō)理由。
理由：因?yàn)榈玫降膱D形是長(zhǎng)和寬相等的長(zhǎng)方形，所以它是正方形。
如圖，將長(zhǎng)方形紙片先沿虛線AB 按箭頭方向向右對(duì)折，接著將對(duì)折后的紙片沿虛線CD 向下對(duì)折，然后剪下一個(gè)小三角形，再將紙片展開(kāi)，則展開(kāi)后的圖形是（ ）
取出一張長(zhǎng)方形紙，嚴(yán)格按照?qǐng)D中順序進(jìn)行折疊和裁剪。
方法規(guī)律： 解這類題目一般采用動(dòng)手操作的方法來(lái)尋找答案。動(dòng)手操作是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)、找到問(wèn)題答案比較簡(jiǎn)捷有效的方法。
二、探索圖形的變化規(guī)律
通過(guò)一些數(shù)字或圖形信息，可以尋找它們變化的共同之處，也就是蘊(yùn)含在它們之間的共同規(guī)律.數(shù)學(xué)知識(shí)是無(wú)窮無(wú)盡的，若要全部了解是不可能的，但我們可以通過(guò)歸納、總結(jié)，及時(shí)地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律來(lái)解決.
按圖示的方式，用火柴棒搭三角形。
搭1個(gè)三角形需要火柴棒 根；搭2個(gè)三角形需要火柴棒 根；搭3個(gè)三角形需要火柴棒 根；搭10個(gè)三角形需要火柴棒_______根；搭n個(gè)三角形需要火柴棒_________________根。
5＝3+2＝3+2 ×1
7＝3+2+2＝3+2 ×2
搭n個(gè)三角形需要火柴棒
3+2×（10－1）＝21
[3+2×（n－1）]
3＝1+2＝1+2 ×1
5＝1+4＝1+2 ×2
7＝1+6＝1+2 ×3
提醒：對(duì)于最后一步運(yùn)算是加或減的代數(shù)式，遇到后面有單位的，一定要代數(shù)式整體用括號(hào)括起來(lái)。
人行道用同樣大小的藍(lán)、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設(shè)而成，如圖，每一個(gè)小正方形表示一塊地磚.如果按圖①②③…的次序鋪設(shè)地磚，第1個(gè)圖中有____塊白色小正方形地磚，第2個(gè)圖中有_____塊白色小正方形地磚，第3個(gè)圖中有____塊白色小正方形地磚……第 50個(gè)圖中有____塊白色小正方形地磚。
由圖可知第1、2、3個(gè)圖中分別有12、19、26塊白色小正方形地磚。
19=12+7×1=12+7×（2-1）
26=12+14=12+7×（3-1）
所以第50個(gè)圖中有12+7×（50-1）=355（塊）白色小正方形地磚.
所以第50個(gè)圖中有5+7×50=355（塊）白色小正方形地磚.
解這類探索圖形的變化規(guī)律的問(wèn)題時(shí)，一般先觀察隨著圖形序號(hào)的變化，組成這個(gè)圖形的元素在數(shù)量上的變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律確定任意一個(gè)圖形中上述元素的數(shù)量.
月歷是我們?nèi)粘Ｉ钪惺褂帽容^多的一種日用品，每個(gè)學(xué)校每學(xué)期都會(huì)根據(jù)月歷制定校歷，月歷中每一行相鄰的數(shù)、每一列相鄰的數(shù)、同一行上下相鄰的數(shù)之間都存在一定的數(shù)量關(guān)系，利用這些關(guān)系我們可以解決一些問(wèn)題.
⑴月歷中藍(lán)色方框內(nèi)的4個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？在月歷中再畫(huà)一個(gè)這樣的方框，其中的4個(gè)數(shù)也有這樣的關(guān)系嗎？
左右兩個(gè)數(shù)相差1，上下兩個(gè)數(shù)相差7
上面2個(gè)數(shù)的和+14=下面兩個(gè)數(shù)的和
⑵月歷中黃色方框內(nèi)的9個(gè)數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？
⑶小明一家外出旅游5天，這5天的日期之和是20，小明 號(hào)回家。說(shuō)明你的方法？
⑴同一橫行中，相鄰兩數(shù)相差 .
⑵同一豎列中，相鄰兩數(shù)相差 .
⑶用方框框出9個(gè)數(shù)時(shí)，兩對(duì)角線上數(shù)的 相等。
⑷以一個(gè)數(shù)為中心的9個(gè)數(shù)之和等于這個(gè)數(shù)的 .
⑸以一個(gè)數(shù)為中心的5個(gè)數(shù)之和等于這個(gè)數(shù)的 .
解析：20÷5=4，所以小明出去5天的中間日期是4號(hào)，所以小明是2,3,4,5,6這5天在外旅游，因此6號(hào)是最后一天，6號(hào)是回家日期。
在如圖所示的 2021年3月的月歷表中，任意框出表中豎列上的三個(gè)相鄰的數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和不可能是（ ）。A.27 B. 51 C.65 D.72
月歷中豎列三個(gè)相鄰的數(shù)中最中間的一個(gè)數(shù)比上面的數(shù)大7，比下面的數(shù)小7，所以任意框出表中豎列上的三個(gè)相鄰的數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和是中間一個(gè)數(shù)的3倍，即這三個(gè)數(shù)的和一定是3的倍數(shù).在 A、B、C、D 四個(gè)選項(xiàng)中，只有C選項(xiàng)的數(shù)65不是3的倍數(shù).
月歷表中隱含兩個(gè)規(guī)律：⑴左、右相鄰的兩個(gè)數(shù)相差1;⑵上、下相鄰的兩個(gè)數(shù)相差7.解決與月歷相關(guān)的題目時(shí)，我們?nèi)缒莒`活運(yùn)用這兩個(gè)規(guī)律，題目就比較簡(jiǎn)單了.
特別注意，我們也要考慮和的范圍，必須是6-90的3的倍數(shù)。我們算出來(lái)的日期不能超過(guò)這個(gè)月應(yīng)有的天數(shù)。
在進(jìn)行生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究時(shí)，往往需要設(shè)計(jì)合適的統(tǒng)計(jì)表，通過(guò)各種各樣的調(diào)查收集數(shù)據(jù)，為了便于發(fā)現(xiàn)在調(diào)查中獲取的數(shù)據(jù)規(guī)律，人們往往要把獲取的雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分析、整理，從而清楚地獲取有關(guān)信息。
在教育局的樣品室里擺放著 6件校服樣品，有 6 種不同的價(jià)格（單位∶元），分別為50、70、90、110、130、150?，F(xiàn)要為某校1500名學(xué)生統(tǒng)一征訂校服，由于價(jià)格相差甚遠(yuǎn)，于是學(xué)校決定征求家長(zhǎng)的意見(jiàn)，想要制作一張調(diào)查表對(duì)家長(zhǎng)的意見(jiàn)進(jìn)行調(diào)查，該怎樣設(shè)計(jì)這張調(diào)查表（要求家長(zhǎng)用畫(huà)"√"的形式來(lái)表達(dá)）?
本題答案不唯一，可以通過(guò)把已知數(shù)據(jù)分組來(lái)設(shè)計(jì)表格，進(jìn)而得出答案即可.
答案不唯一，如把已知數(shù)據(jù)分成6組來(lái)設(shè)計(jì)調(diào)查表，表格如下∶
在設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)題時(shí)，既要考慮到設(shè)計(jì)的問(wèn)題能方便快捷地回答，還要考慮到答案的唯一性.
現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查本班學(xué)生最喜愛(ài)的體育活動(dòng)并根據(jù)所調(diào)查的數(shù)據(jù)給出一個(gè)分析報(bào)告．
第二步，信息調(diào)查。 現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己的喜好進(jìn)行舉手表決。
第三步，根據(jù)咱們調(diào)查的結(jié)果，請(qǐng)為本班開(kāi)展體育活動(dòng)提出合理建議。
條形碼由美國(guó)的在1949年首先提出的。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)的不斷普及，條形碼得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在，如食品、飲料、書(shū)籍、彩電、冰箱等商品都印有條形碼（也稱為“條碼”）。商品條形碼是商品的“身份證”。
商品條形碼是由“條”，“空”及對(duì)應(yīng)數(shù)字字符“碼”組成的，可以提供商品的生產(chǎn)國(guó)、制造廠家、商品名稱等信息。
例如，七年級(jí)上冊(cè)蘇科版數(shù)學(xué)書(shū)的條形碼，下方從左到右的13個(gè)數(shù)字中，“978”是圖書(shū)代碼，“7”表示中國(guó)出版的圖書(shū)，“5345”是江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社的代號(hào)，“9338”表示本冊(cè)課本在該出版社排列的出版序號(hào)，“3”是校驗(yàn)碼。
條形碼上方的“ISBN 978-7-5345-9338-3”為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)。其中，“978-7-5345-9338-3”與條形碼的數(shù)字相同，“ISBN”是標(biāo)識(shí)碼，是Internatinal Standard Bk Numbering(國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)）的縮寫(xiě)。
剪紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù).將一張紙片按如圖①②所示的方式沿虛線依次對(duì)折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開(kāi)鋪平，所得圖形應(yīng)該是（ ）
方法一：取一張與題中相同的紙片按照題目中的要求，先分別從左向右、從下向上對(duì)折兩次，再剪去兩個(gè)三角形，展開(kāi)后，可得 A選項(xiàng)中的圖形.
方法二：逆向思維法，即先根據(jù)折紙的順序，逆向畫(huà)出圖形，如圖⑤⑥⑦所示，即可得到展開(kāi)鋪平后的圖形.
解決這類問(wèn)題時(shí)，方法一比方法二準(zhǔn)確度高，但是操作煩瑣，所以一般開(kāi)始時(shí)使用方法一，并在使用方法一找到正確答案后，再運(yùn)用方法二驗(yàn)證答案，等方法二使用熟練后，即可使用方法二直接尋找答案.
如圖，找出以下圖形變化的規(guī)律，，則第2021個(gè)圖形中的藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)是（ ） A.3030 B.3031 C.3032 D.3033
因?yàn)榈?2021個(gè)數(shù)據(jù)比較大，顯然需通過(guò)尋找規(guī)律來(lái)解答.觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)直接尋找藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)規(guī)律比較困難，但是第偶數(shù)個(gè)圖形和第奇數(shù)個(gè)圖形都是有明顯特征的。
通過(guò)尋找第 2020個(gè)圖形中的藍(lán)色正方形的個(gè)數(shù)來(lái)解答.
用同樣大小的兩種不同的小正方形紙片按如圖所示的方式拼正方形.第1個(gè)圖形中有1個(gè)小正方形;第2個(gè)圖形中有1+3=4（個(gè)）小正方形;第3個(gè)圖形中有1+3+5=9（個(gè)）小正方形;第5個(gè)圖形中有________個(gè)小正方形（直接寫(xiě)出結(jié)果）.⑴根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想∶ 1＋3+5+7+…+（2n-1）=_________（用含n的式子表示）.⑵請(qǐng)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算∶①1+3+5+7+…+99=________; ②101＋103＋105十…+199=________。
由圖可以看出，第1、2、3、4個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)分別為1=12、4=22、9=32、16=4. 根據(jù)規(guī)律，易知第 5個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為52=25.
⑴式子1＋3+5＋7＋…+（2n-1），可以看作第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，易知這個(gè)式子的值為n2
⑵①設(shè)所求式子表示的是第x個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則 2x一1=99，解得x=50. 所以1+3+5+7十…+99=502=2500;
②101+103+105＋…+199=100+1+100+3+100+5+…+100+99=(100+100+100+…+100)+(1＋3+5＋…＋99)=100×50+502=7500.
如圖，點(diǎn)A處有一只貓，點(diǎn)B處有一只老鼠，從點(diǎn)A到點(diǎn)B有兩條路徑，分別為①和②.現(xiàn)在貓以不變的速度去捉老鼠，你認(rèn)為貓走哪條路徑才能在較短的時(shí)間內(nèi)捉到老鼠?為什么?
因?yàn)樗俣炔蛔?，要比較走哪條路徑能先捉到老鼠，只需比較路徑①和②的長(zhǎng)短.通過(guò)平移，構(gòu)造出較熟悉的長(zhǎng)方形，可知CD的長(zhǎng)等于GE的長(zhǎng)，DE 的長(zhǎng)等于CG的長(zhǎng)，所以兩條路徑的長(zhǎng)度相等.
兩條路徑一樣長(zhǎng)，隨便走哪一條，捉到老鼠的時(shí)間相同.因?yàn)槠揭坪?，路徑①和②的長(zhǎng)度都等于構(gòu)造出的長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬之和（其周長(zhǎng)的一半）。
化曲為直解決問(wèn)題的方法
化曲為直解決問(wèn)題分兩種情況∶一種情況是比較平面內(nèi)的線段和的長(zhǎng)短，這種題目一般可先通過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭?，把其中的曲線（或折線）轉(zhuǎn)化到某一條線段上，再進(jìn)行比較;另一種情況是尋找立體圖形的表面兩點(diǎn)之間的最短距離，這時(shí)一般先把立體圖形展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成平面圖形，然后利用平面圖形的知識(shí)解答.
鞏固練習(xí)1：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖，可得到一條折痕（圖中虛線），連續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折三次后，可以得到7條折痕；那么連續(xù)對(duì)折四次后，可以得到 條折痕；連續(xù)對(duì)折五次后，可以得到 條折痕 ；連續(xù)對(duì)折九次后，可以得到 條折痕．
對(duì)折次數(shù) 折痕 層數(shù) 1 1 2 2 1+2 4 3 1+2+4 8 4 1+2+4+8 16 5 1+2+4+8+16 32 6 1+2+4+8+16+32 64 ...
每次對(duì)折折痕增加的數(shù)=對(duì)折前的層數(shù)
鞏固練習(xí)2：觀察下面一組式子。
（1）你能說(shuō)出這組式子所表達(dá)的規(guī)律嗎？用含字母n的式子表達(dá)出來(lái)。
（2）利用這一規(guī)律，計(jì)算下列式子。
下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形一共有2個(gè)五角星，第②個(gè)圖形一共有8個(gè)五角星，第③個(gè)圖形一共有18個(gè)五角星，…，則第⑥個(gè)圖形中五角星的個(gè)數(shù)為（　?。?A.50 B.64 C.68 D.72【解析】解：第①個(gè)圖形一共有2個(gè)五角星，第②個(gè)圖形一共有2×（1+3）=8個(gè)五角星，第③個(gè)圖形一共有2×（1+3+5）=18個(gè)五角星，第④個(gè)圖形一共有2×（1+3+5+7）=32個(gè)五角星，...則所以第⑥個(gè)圖形中五角星的個(gè)數(shù)為2×（1+3+5+7+9+11）=72；故選D．
根據(jù)圖形的軸對(duì)稱性，可以將圖形豎著一分為二，只觀察一邊的圖形，規(guī)律就會(huì)比較明顯。
歸納：觀察圖形規(guī)律，可以根據(jù)圖形特點(diǎn)橫向，縱向等多角度方面去分析。
計(jì)算： 1＋2＋1＝_________　　　　 1＋2＋3＋2＋1＝_________　　　　 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝_________　　　　 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝_________根據(jù)上面四式的計(jì)算規(guī)律求： 1＋2＋3＋4＋…＋2004＋2005＋2004＋…＋4＋3＋2＋1＝_____________
鞏固練習(xí)5：若干個(gè)偶數(shù)按照每行8個(gè)數(shù)按下圖排列。
(1) 圖中框中的9個(gè)數(shù)的和與中間的數(shù)有什么關(guān)系？（2）小明所畫(huà)的平行四邊形框內(nèi)9個(gè)數(shù)的和為360，求平行四邊形框右下角那個(gè)數(shù)；（3）小麗說(shuō)能用H型框出7個(gè)數(shù)的和為189，她的說(shuō)法正確嗎？
解答：（1）框中9個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的9倍；
（2） 360÷9=40 40+16=56 所以平行四邊形框右下角數(shù)字為56.
（3）(n-18)+(n-14)+(n-2)+n+(n+2)+(n+14)+(n+18)=7n 189÷7=27 但是27不是偶數(shù)，所以小麗的說(shuō)法不正確。
注意：計(jì)算出的結(jié)果與題目進(jìn)行比對(duì)，來(lái)判斷解出的答案是否符合題意要求。

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1.2 活動(dòng) 思考

版本： 蘇科版

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