※考生注意：請(qǐng)?jiān)诖痤}卡各題目規(guī)定答題區(qū)域內(nèi)作答，答在本試卷上無(wú)效．
一、選擇題（本大題共8道小題，每小題2分，共16分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．
解：的相反數(shù)是，
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 如圖所示的幾何體是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的，它的俯視圖是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
從上面看：共有3列，從左往右分別有1，2，1個(gè)小正方形，據(jù)此可畫出圖形．
解：如圖所示的幾何體的俯視圖是：
．
故選：B．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖；用到的知識(shí)點(diǎn)為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．
3. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根據(jù)冪的運(yùn)算法則判斷選項(xiàng)的正確性即可．
對(duì)于A，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對(duì)于B，，故B選項(xiàng)正確，
對(duì)于C，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對(duì)于D，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方和積的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
4. 如圖，將一個(gè)含角的直角三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上．若，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由平角的定義可得，由平行線的性質(zhì)可得．
如圖，

∵，
∴．
∵直尺的對(duì)邊平行，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．
5. 在一次跳繩測(cè)試中，參與測(cè)試的10名學(xué)生一分鐘跳繩成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?br>這10名學(xué)生跳繩成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ ）
A. 132，130B. 132，132C. 130，130D. 130，132
【答案】A
【解析】
中位數(shù)：是指將所有數(shù)從小到大或從大到小排列后，如果總數(shù)為奇數(shù)個(gè)，中位數(shù)就是排在最中間的那個(gè)數(shù)；如果總數(shù)為偶數(shù)個(gè)，中位數(shù)就是排在最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)；眾數(shù)∶一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)．根據(jù)定義即可求解．
解：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
這組數(shù)據(jù)中130出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為130，
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)，熟知中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算方法，數(shù)據(jù)較大，正確計(jì)算是解答的關(guān)鍵．
6. 若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可解答．
解：∵為一元二次方程，
∴，
∵該一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
解得，
∴且，
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟知當(dāng)判別式的值大于0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，同時(shí)要滿足二次項(xiàng)的系數(shù)不能是0．
7. 如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，連接，．若的半徑為3，則扇形（陰影部分）的面積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
先利用圓周角定理求出度數(shù)，然后利用扇形面積公式求解即可．
解：∵，
∴，
又的半徑為3，
∴扇形（陰影部分）的面積為．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查的是圓周角定理，扇形面積公式等，掌握“同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半”是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段所在直線向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分，， 三種情況，分別求出函數(shù)解析即可判斷．
解：過(guò)點(diǎn)D作于H，
，
∵，，
∴，
∴
當(dāng)時(shí)，
如圖，重疊部分為，此時(shí)，，
，
∴，
∴，即，
∴
∴；
當(dāng)時(shí)，
如圖，重疊部分為四邊形，此時(shí)，，

∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
當(dāng) 時(shí)
如圖，重疊部分為四邊形，此時(shí)，，

∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
綜上，，
∴符合題意的函數(shù)圖象是選項(xiàng)A．
故選：A．
【點(diǎn)撥】此題結(jié)合圖像平移時(shí)面積的變化規(guī)律，考查二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，根據(jù)平移點(diǎn)的特點(diǎn)列出函數(shù)表達(dá)式是關(guān)鍵，有一定難度．
二、填空題（本大題共8道小題，每小題3分，共24分）
9. 近年來(lái)，跑步成為越來(lái)越多人的一種生活方式．據(jù)官方數(shù)據(jù)顯示，2023年上海半程馬拉松報(bào)名人數(shù)達(dá)到78922人．將數(shù)據(jù)78922用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____________．
【答案】
【解析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
解： ；
故答案為．
【點(diǎn)撥】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
10. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
直接提取公因式即可．
．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解——提取公因式法，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
11. 甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員在5次射擊訓(xùn)練中，平均成績(jī)都是8.5環(huán)，方差分別是，，，則三名運(yùn)動(dòng)員中這5次訓(xùn)練成績(jī)最穩(wěn)定的是______________．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】乙
【解析】
根據(jù)方差越小，波動(dòng)性越小，越穩(wěn)定即可判斷．
∵，，，平均成績(jī)都是8.5環(huán)，，
∴
∴三名運(yùn)動(dòng)員中這5次訓(xùn)練成績(jī)最穩(wěn)定的是乙．
故答案為乙．
【點(diǎn)撥】本題考查方差．根據(jù)方差是反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，越不穩(wěn)定．反之方差越小，波動(dòng)性越小，越穩(wěn)定是解答本題關(guān)鍵．
12. 一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同．經(jīng)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為_(kāi)_____________．
【答案】
【解析】
設(shè)袋子中紅球有個(gè)，根據(jù)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，可列出關(guān)于的方程，求出的值，從而得出結(jié)果．
解：設(shè)袋子中紅球有個(gè)，
根據(jù)題意，得，
∴盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為，
故答案為：
【點(diǎn)撥】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，熟練掌握求概率公式是解此題的關(guān)鍵．
13. 如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E．連接．若，，則的度數(shù)為_(kāi)_____________．

【答案】##度
【解析】
先在中利用等邊對(duì)等角求出的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，再利用等邊對(duì)等角得出，最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．
解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案為： ．
【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握等腰三角形的等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是______________．
【答案】
【解析】
過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質(zhì)得出，則，當(dāng)C.P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．
解：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，
由題意知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)C.P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，注意掌握利用等積法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．若的面積是6，則k的值為_(kāi)_____________．

【答案】4
【解析】
過(guò)B，C兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由點(diǎn)B為的中點(diǎn)，推出C點(diǎn)坐標(biāo)為，求得直線的解析式，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的面積是6，列式計(jì)算即可求解．
解：過(guò)B，C兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，

∴，
∴，
∴，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
∵點(diǎn)B為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，
根據(jù)題意得，
解得，
故答案為：4．
【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)．
16. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形，，，，…都是平行四邊形，頂點(diǎn)，，，，，…都在軸上，頂點(diǎn)，，，，…都在正比例函數(shù)（）的圖象上，且，，，…，連接，，，，…，分別交射線于點(diǎn)，，，，…，連接，，，…，得到，，，…．若，，，則的面積為_(kāi)_____________．

【答案】
【解析】
根據(jù)題意和圖形可先求得，，，，，，，，，從而得，，，，利用三角形的面積公式即可得解．
解：∵，，，
∴點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，，，，，
∴軸，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形，，，，…都是平行四邊形，
∴，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，，，，，，
∴，，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)規(guī)律，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共2道題，第17題6分，第18題8分，共14分）
17. 化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
先把括號(hào)里的式子通分相減，然后把除數(shù)的分子、分母分解因式，再把除數(shù)分子分母顛倒后與前面的結(jié)果相乘，最后約成最簡(jiǎn)分式或整式；求值時(shí)把a(bǔ)值代入化簡(jiǎn)的式子算出結(jié)果．
解：原式
．
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算的順序和運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
18. 2023年，教育部等八部門聯(lián)合印發(fā)了《全國(guó)青少年學(xué)生讀書先去實(shí)施方案》，某校為落實(shí)該方案，成立了四個(gè)主題閱讀社團(tuán)：A．民俗文化，B．節(jié)日文化，C．古曲詩(shī)詞，D．紅色經(jīng)典．學(xué)校規(guī)定：每名學(xué)生必須參加且只能一個(gè)社團(tuán)．學(xué)校隨機(jī)對(duì)部分學(xué)生選擇社團(tuán)的情況進(jìn)了調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生有 名，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“A”部分圓心角的度數(shù)為 ；
（2）通過(guò)計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校共有1800名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，估計(jì)全校參加“D”社團(tuán)的人數(shù)．
【答案】（1）60，；
（2）見(jiàn)解析 （3）540名
【解析】
（1）由C組的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，用乘以A人數(shù)所占比例即可得其對(duì)應(yīng)圓心角度數(shù)；
（2）根據(jù)各類型人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求得B組的人數(shù)，補(bǔ)全圖形即可得；
（3）總?cè)藬?shù)乘以D組人數(shù)和所占比例即可．
（1）
本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)（名），
扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是，
故答案為：60，；
（2）
（人）；
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如答案圖所示．

（3）
（名）．
答：全校1800名學(xué)生中，參加“D”活動(dòng)小組的學(xué)生約有540名．
【點(diǎn)撥】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
四、解答題（本大題共2道題，每題8分，共16分）
19. 垃圾分類工作是今年全國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)工作會(huì)議部署的重點(diǎn)工作之一．為營(yíng)造人人參與垃圾分類的良好氛圍，某市環(huán)保部門開(kāi)展了“讓垃圾分類成為低碳生活新時(shí)尚”宣傳活動(dòng)，決定從A，B，C三名志愿者中通過(guò)抽簽的方式確定兩名志愿者到社區(qū)進(jìn)行垃圾分類知識(shí)宣講，抽簽規(guī)則：將三名志愿者的名字分別寫在三張完全相同且不透明卡片的正面，把三張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再?gòu)氖Ｓ嗟膬蓮埧ㄆ须S機(jī)抽取第二張卡片，記下名字．
（1）從三張卡片中隨機(jī)抽取一張，恰好是“B志愿者”的概率是 ；
（2）按照抽簽規(guī)則，請(qǐng)你用列表法或畫樹(shù)狀圖法表示出兩次抽簽所有可能的結(jié)果，并求出A，B兩名志愿者同時(shí)被抽中的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）從三張卡片中隨機(jī)抽取一張，恰好是“B志愿者”的概率是；
（2）利用畫樹(shù)狀圖或列表法求概率即可．
（1）
解：從三張卡片中隨機(jī)抽取一張，恰好是“B志愿者”的概率是，
故答案為：；
（2）
解：方法一：根據(jù)題意可畫樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可知共有6種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中A，B兩名志愿者同時(shí)被選中的有2種，
∴P（A，B兩名志愿者同時(shí)被選中）．
方法二：根據(jù)題意可列表如下：
由表格可知共有6種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中A，B兩名志愿者同時(shí)被選中的有2種，
∴P（A，B兩名志愿者同時(shí)被選中）．
【點(diǎn)撥】本題考查列表法和樹(shù)狀圖法求概率，掌握概率的求法是解題的關(guān)鍵．
20. 2023年5月15日，遼寧男籃取得第三次CBA總冠軍，遼籃運(yùn)動(dòng)員的拼搏精神感染了眾多球迷．某校籃球社團(tuán)人數(shù)迅增，急需購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌籃球，已知A品牌籃球單價(jià)比B品牌籃球單價(jià)的2倍少48元，采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球，分別需要花費(fèi)9600元和7200元．求A，B兩種品牌籃球的單價(jià)分別是多少元？
【答案】A品牌籃球單價(jià)為96元，B品牌籃球單價(jià)為72元
【解析】
設(shè)B品牌籃球單價(jià)為x元，則A品牌籃球單價(jià)為元，，再利用“采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球，分別需要花費(fèi)9600元和7200元”，列方程，解方程即可．
解：設(shè)B品牌籃球單價(jià)為x元，則A品牌籃球單價(jià)為元，
根據(jù)題意，得．
解這個(gè)方程，得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根．
（元）．
所以，A品牌籃球單價(jià)為96元，B品牌籃球單價(jià)為72元．
【點(diǎn)撥】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，確定相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
五、解答題（本大題共2道題，每題8分，共16分）
21. 如圖1，是某校教學(xué)樓正廳一角處擺放的“教學(xué)樓平面示意圖”展板，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量此展板的最高點(diǎn)到地面的高度．他們繪制了圖2所示的展板側(cè)面的截面圖，并測(cè)得，，，，底座四邊形為矩形，．請(qǐng)幫助該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組求出展板最高點(diǎn)A到地面的距離．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】
【解析】
過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，與直線交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)N，分別解作出的直角三角形即可解答．
解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，與直線交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)N，

∴四邊形，四邊形均為矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高點(diǎn)A到地面的距離為．
【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形，熟練通過(guò)解直角三角形求相應(yīng)未知量是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，為的直徑，點(diǎn)C在上，與相切于點(diǎn)A，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

（1）求證：；
（2）點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)G．若，，，求的半徑及的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）的半徑為；
【解析】
（1）根據(jù)與相切于點(diǎn)A 得到，再根據(jù)得到，再根據(jù)得到即可根據(jù)角的關(guān)系解答；
（2）連接，過(guò)點(diǎn)D作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，在等多個(gè)直角三角形中運(yùn)用三角函數(shù)的定義求出半徑，再根據(jù)勾股定理求出，即可解答．
（1）
證明：如圖，

∵為的直徑，與相切于點(diǎn)A，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
連接，過(guò)點(diǎn)D作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖，

在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的半徑為r，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴設(shè)，，
在中，，
∵，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了圓與三角形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A、三角形的線段、角度關(guān)系并運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想．
六、解答題（本題共10分）
23. 端午節(jié)前夕，某批發(fā)部購(gòu)入一批進(jìn)價(jià)為8元/袋的粽子，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：日銷量y（袋）與售價(jià)x（元/袋）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）每袋粽子的售價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少元？
【答案】（1）
（2）當(dāng)粽子的售價(jià)定為12.5元/袋時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是810元
【解析】
（1）直接應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意列出獲日銷售利潤(rùn)與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
（1）
解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
將，代入得：
，
解得：，
∴求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）
解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為w，
由題意得：
，
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為810，
∴當(dāng)粽子的售價(jià)定為12.5元/袋時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是810元．
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，理解掌握題意，正確的找出題目中的等量關(guān)系，列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
七、解答題（本大題共2道題，每題12分，共24分）
24. 【問(wèn)題情境】如圖，在中，，．點(diǎn)D在邊上將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（旋轉(zhuǎn)角小于），連接，，以為底邊在其上方作等腰三角形，使，連接．
【嘗試探究】
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，易知；

如圖2，當(dāng)時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系為 ；

（2）如圖3，寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含α的三角函數(shù)表示）．并說(shuō)明理由；

【拓展應(yīng)用】
（3）如圖4，當(dāng)，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)．若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）
【解析】
（1）先證明，可得，再證得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，在中，利用余弦定義可求，即可得出，然后把代入計(jì)算即可；
（2）仿照（1）的思路即可解答；
（3）方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，可求，得出，設(shè)，則，利用平行線分線段成比例得出，則可求，，，，，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出．證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
方法二：如圖，過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，利用等腰三角形的性質(zhì)與判斷，平行線的性質(zhì)可證明，，證明，可得出．設(shè)，則，設(shè)，則，利用平行線分線段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，

∵，，
∴，
∴．
∵是以為底邊的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H為的中點(diǎn)，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
又，
∴；
（2）解：；
如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，

∵，，
∴，
∴．
∵是以為底邊的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H為的中點(diǎn)，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
（3）．
方法一：
如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∴．
∴．
∵線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴．
∴．
∵是以為底邊的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
方法二：
如圖，過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，

∴．
∴．
∵線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵是以為底邊的等腰三角形，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
設(shè)，則，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．
25. 如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或
【解析】
（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）方法一：連接，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．先求得直線的表達(dá)式為：．再設(shè)，，則，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下圖，連接，，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得．從而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解，又連接，，，證．得，又證．得．進(jìn)而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解即可．
（1）
解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
∴，解得．
∴拋物線的表達(dá)式為：．
（2）
解：方法一：如下圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．
∵
，
∴．
令中，則，
解得或，
∴，
設(shè)直線為，
∵過(guò)點(diǎn)，，，
∴，
解得，
∴直線的表達(dá)式為：．
設(shè)，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下圖，
拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
（3）
解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
如下圖，連接，，
∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形．
∴，
∵，，，
∴，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，，
∴是等邊三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直線的表達(dá)式為：．
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．
如下圖，連接，，，
同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直線的表達(dá)式為：．
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
成績(jī)/次
129
130
132
135
137
人數(shù)/人
1
3
2
2
2
A
B
C
A
B
C

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