一、單選題
1．當(dāng)取何值時(shí)，分式有意義（ ）
A．B．C．D．
2．下列三條線段中，能夠首尾相接構(gòu)成一個(gè)三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列圖形是杭州亞運(yùn)會(huì)部分比賽項(xiàng)目的圖標(biāo)，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列說法正確的是（ ）
A．同位角相等
B．若三條線段的長a、b、c滿足，則以a、b、c為邊一定能組成三角形
C．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
D．三角形的三條高至少有一條在三角形內(nèi)
6．下列各式從左到右的變形正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在中，若，則是（ ）
A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
8．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240°B．360°C．540°D．720°
9．如圖，的角平分線、相交于F，，，且于G，下列結(jié)論：①；②平分；③；④.其中正確的結(jié)論是( )

A．①③④B．①②③C．②④D．①③
10．如圖，中的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是以下哪條線段的長度( )
A．B．C．D．
11．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
12．如果，那么代數(shù)式的值是（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空題
13．現(xiàn)在美國麻省理工大學(xué)攻讀博士學(xué)位的后中國“天才少年”曹源經(jīng)過潛心研究，發(fā)現(xiàn)將兩層石墨烯，旋轉(zhuǎn)到特定的“魔法角度”（）疊加時(shí)，它們可以在零阻力的情況下傳導(dǎo)電子，成為超導(dǎo)體，他因此榮登世界頂級(jí)科學(xué)期刊《自然》，2018年度十大科學(xué)家之首！石墨烯目前是世界上最薄卻也是最堅(jiān)硬的納米材料，其理論厚度僅米，將這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為 米.
14．正十二邊形的內(nèi)角和等于 ，外角和等于 ，每個(gè)內(nèi)角等于 ．
15．若，，則的值是 ．
16．如圖，AD是△ABC的角平分線，若AB＝2AC，則S△ABD∶S△ACD＝
17．若直角三角形的一個(gè)銳角為，則另一個(gè)銳角度數(shù)為 ．
18．已知關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍為 ．
三、解答題
19．（1）計(jì)算：
（2）計(jì)算：
（3）分解因式：；
（4）分解因式：．
20．如圖，已知，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，．

圖1 圖2
(1)如圖1，若，，求證：
①
②
(2)如圖2，請(qǐng)直接寫出與之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，總有成立．
21．如圖，點(diǎn)A，B，C在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的，點(diǎn)A，B，C的對(duì)稱點(diǎn)分別是，，；
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
22．如圖，某中學(xué)校園內(nèi)有一個(gè)長為米，寬為米的長方形小廣場(chǎng)，學(xué)校計(jì)劃在中間留一塊邊長為米的正方形場(chǎng)地修建一座雕像，并將空余場(chǎng)地（陰影部分）進(jìn)行綠化．求綠化的面積．（用含a、b的代數(shù)式表示）
23．化簡(jiǎn)：
(1)
(2)
24．某學(xué)校組織同學(xué)乘大巴車前往“研學(xué)旅行”基地開展愛國教育活動(dòng)，基地離學(xué)校有90千米，隊(duì)伍從學(xué)校出發(fā)．輔導(dǎo)員因有事請(qǐng)，從學(xué)校自駕小車以大巴車1.5倍的速度追趕，結(jié)果同時(shí)達(dá)到目的地．求大巴車與小車的平均速度各是多少？
25．在等邊中，動(dòng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且．

(1)【特例證明】
如圖，當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求證：．
(2)【類比探究】當(dāng)點(diǎn)不是中點(diǎn)時(shí)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖說明理由．
(3)【拓展運(yùn)用】點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的長．
參考答案：
1．D
【分析】分式有意義時(shí)分母不能為0，由此可解．
【詳解】解：分式有意義時(shí)，，
解得，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式的分母不能為0．
2．C
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，逐一比較兩條較小邊的和與最大邊的大小即可得答案．
【詳解】解：A、，∴長為，，的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；
B、，∴長為，，的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；
C、，∴長為，，的三條線段能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；
D、，∴長為，，的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．判斷能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)．
3．B
【分析】本題考查合并同類項(xiàng)，冪的運(yùn)算，完全平方公式．根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，完全平方公式分別判斷即可．
【詳解】A選項(xiàng)：和不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則有，故本選項(xiàng)計(jì)算正確；
C選項(xiàng)：根據(jù)冪的乘方法則，有，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：根據(jù)完全平方公式，有，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤．
故選：B
4．C
【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)識(shí)別即可，一個(gè)圖形的一部分，以某條直線為對(duì)稱軸，經(jīng)過軸對(duì)稱能與圖形的另一部分重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．
【詳解】解：選項(xiàng)A、B、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對(duì)折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)C能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對(duì)折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對(duì)稱圖形．
故選C．
5．D
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、三角形的高的概念判斷即可．
【詳解】解：A、兩直線平行，同位角相等，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、6+8＞1，但長為6，8，1的三條線段不能組成三角形，
∴三條線段的長a、b、c滿足a+b＞c，則以a、b、c為邊一定能組成三角形，說法不正確，不符合題意；
C、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、三角形的三條高至少有一條在三角形內(nèi)，說法正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、三角形的高的概念，掌握平行線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、三角形的高的概念是解題的關(guān)鍵．
6．C
【分析】依據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變化，分子分母上同時(shí)乘以或除以同一個(gè)非0的數(shù)或式子，分式的值不變．
【詳解】A、，故A錯(cuò)誤；
B、符號(hào)變化錯(cuò)誤，分子上應(yīng)為，故B錯(cuò)誤；
C、正確；
D、約分后符號(hào)有誤，應(yīng)為，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)．在分式中，無論進(jìn)行何種運(yùn)算，如果要不改變分式的值，則所做變化必須遵循分式基本性質(zhì)的要求．
7．A
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，結(jié)合可得，即可判定是直角三角形．
【詳解】解：，
，
又，
，
，
是直角三角形．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的分類，解題的關(guān)鍵是牢記三角形內(nèi)角和為180度．
8．B
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及三角形的外角定理即可求解．
【詳解】解：如圖，、與分別相交于點(diǎn)、，
在四邊形中，，
，，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角與內(nèi)角、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記多邊形的內(nèi)角和公式及三角形的外角定理．
9．A
【分析】根據(jù)平行線、角平分線、垂直的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理依次判斷即可得出答案．
【詳解】解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分線，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本選項(xiàng)正確；
②無法證明CA平分∠BCG，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故本選項(xiàng)正確；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故本選項(xiàng)正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知直角三角形的兩銳角互余是解答此題的關(guān)鍵．
10．C
【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【詳解】如圖，連接，是線段的垂直平分線，
，，
的最小值的最小值，
，
的最小值是線段的長度，
故選C．
11．D
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、積的乘方、冪的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A.，故A不符合題意；
B.，故B不符合題意；
C.，故C不符合題意；
D.，故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、積的乘方、冪的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．
12．C
【分析】本題主要考查了求代數(shù)式的值，用降次法進(jìn)行解答，先由已知得，再代入原式把項(xiàng)降為二次項(xiàng)，進(jìn)而繼續(xù)將二次項(xiàng)降為一次項(xiàng)便可得結(jié)果．
【詳解】，
，
，
故選：C．
13．
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【詳解】解：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
14． /1800度 /360度 /150度
【分析】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，根據(jù)邊形的內(nèi)角和為可求出正十二邊形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形的外角和定理可直接得出正十二邊形的外角和，然后根據(jù)正十二邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等可得出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．
【詳解】正十二邊形的內(nèi)角和為：，外角和等于，
正十二邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，
正十二邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：．
故答案為：；；．
15．
【分析】逆用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方公式，再代入計(jì)算即可．
【詳解】∵，，
∴
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方公式，注意逆用公式變形后代入求值是解題的關(guān)鍵．
16．2
【詳解】試題分析：∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)D到AB和AC的距離相等，即△ABD和△ACD中AB和AC邊上的高相等，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=2
考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)
17．/度
【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可求解．
【詳解】解：若直角三角形的一個(gè)銳角為，則另一個(gè)銳角度數(shù)為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
18．m＞1且m≠2．
【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“解是正數(shù)”建立不等式求m的取值范圍．
【詳解】原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因?yàn)閤＞0，所以m-1＞0，即m＞1．①
又因?yàn)樵绞欠质椒匠蹋?，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．②
由①②可得，則m的取值范圍為m＞1且m≠2．
故答案為：m＞1且m≠2．
【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意點(diǎn).
19．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，利用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別與單項(xiàng)式相乘，再把積相加進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）首先計(jì)算小括號(hào)，再合并化簡(jiǎn)中括號(hào)里面，最后計(jì)算除法即可．
（3）原式提取公因式即可；
（4）原式利用平方差公式 分解即可．
【詳解】解：（1）原式；
（2）原式，
．
（3）原式；
（4）原式．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算和提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握計(jì)算順序：有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算．
20．(1)①證明見解析②證明見解析
(2)當(dāng)時(shí)，總有成立
【分析】本題考查了直角三角形的特征，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的證明是解題的關(guān)鍵．
（1）①根據(jù)，得到，證明即可．
②在上截取，連接，證明即可得到
．
（2）在上截取，連接，證明即可得到．
【詳解】（1）證明：①∵，
∴
∴．
②在上截取，連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
由①知：，
∵，
∴，
∴．
（2）當(dāng)時(shí)，總有成立．理由如下：
如圖，在上截取，連接，
∵，
∴，即：，
∵，,，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)見解析
(2)；；
【分析】本題考查了作圖軸對(duì)稱變換；
（1）請(qǐng)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的；
（2）寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）如圖所示：
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
故答案為：；；．
22．綠化的面積為平方米
【分析】本題考查了列代數(shù)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式．理解題意并正確的列代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
由題意得，綠化面積為，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意得，綠化面積為

．
答：綠化的面積為平方米．
23．(1)a+1
(2)
【分析】（1）利用同分母分式的加減法計(jì)算，再約分即可；
（2）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到最簡(jiǎn)結(jié)果．
【詳解】（1）解：
=a+1；
（2）解：
=．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
24．大巴車的速度為60千米/時(shí)，小車的速度為90千米/時(shí)
【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，準(zhǔn)確計(jì)算．設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時(shí)，則小車的平均速度為1.5x千米/時(shí)，根據(jù)晚出發(fā)半小時(shí)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)，列出方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時(shí)，則小車的平均速度為千米/時(shí)，
依題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
∴．
答：大巴車的速度為60千米/時(shí)，小車的速度為90千米/時(shí)．
25．(1)見解析；
(2)，理由見解析；
(3)或
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，再由等邊三角形的性質(zhì)得，然后證，得，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證為等邊三角形，得，再證，得，即可得出結(jié)論；
（3）分點(diǎn)在延長線上和點(diǎn)在上兩種情況進(jìn)行討論即可．
【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴平分，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）解：當(dāng)點(diǎn)為上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖，．理由如下：

如圖，過作交于，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，，
即，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
（3）解：分為兩種情況：
①如圖，當(dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長于點(diǎn)，

∴，，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

∵是等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
綜上所述：的長是或．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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這是一份2023-2024學(xué)年四川省綿陽市安州區(qū)示范學(xué)校九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析），共24頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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