?2021-2022學年四川省綿陽市安州區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷
一、選擇題：（每小題3分，共36分，每小題給出四個答案，只有一個答案符合題目要求。）
1．（3分）對于拋物線y＝（x﹣1）2+2的說法錯誤的是（　?。?br /> A．拋物線的開口向上
B．當x＜1時，y隨x的增大而增大
C．拋物線與x軸無交點
D．拋物線的頂點坐標是（1，2）
2．（3分）下面的圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．（3分）下列事件中必然發(fā)生的事件是（　?。?br /> A．一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等
B．不等式的兩邊同時乘以一個數(shù)，結果仍是不等式
C．200件產品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數(shù)
4．（3分）已知圓錐的底面半徑是3，母線長為6，則該圓錐側面展開后所得扇形的圓心角為（　?。?br /> A．60° B．90° C．120° D．180°
5．（3分）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的兩個不相等的根，則α2﹣3β的值是（　　）
A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
6．（3分）將數(shù)字“6”旋轉180°，得到數(shù)字“9”；將數(shù)字“9”旋轉180°，得到數(shù)字“6”．現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉180°，得到的數(shù)字是（　?。?br /> A．96 B．69 C．66 D．99
7．（3分）正方形ABCD內接于⊙O，若⊙O的半徑是，則正方形的邊長是（　?。?br />
A．1 B．2 C． D．
8．（3分）如圖，點A是反比例函數(shù)y＝的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B．點C為y軸上的一點，連接AC，BC．若△ABC的面積為4，則k的值是（　?。?br />
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
9．（3分）如圖，公園內有一個半徑為18米的圓形草坪，從A地走到B地有觀賞路（劣弧AB）和便民路（線段AB）．已知A、B是圓上的點，O為圓心，∠AOB＝120°，小強從A走到B，走便民路比走觀賞路少走（　?。┟祝?br />
A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18
10．（3分）如圖，一條拋物線與x軸相交于M，N兩點（點M在點N的左側），其頂點P在線段AB上移動，點A，B的坐標分別為（﹣2，﹣3），（1，﹣3），點N的橫坐標的最大值為4，則點M的橫坐標的最小值為（　　）

A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
11．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，AE是以BC為直徑的半圓的切線，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A． B．π﹣2 C．1 D．
12．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c都是常數(shù)，且a≠0）的圖象與x軸交于點（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方，下列結論：①4a﹣2b+c＝0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0；⑤a﹣b≤an2+bn（n是常數(shù)）．其中正確結論的個數(shù)是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24）
13．（4分）已知關于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是　 ?。?br /> 14．（4分）若點A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3從大到小的排列是 　 ?。?br /> 15．（4分）一個三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是方程x2﹣6x+8＝0的根，則這個三角形的周長為 　 ?。?br /> 16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，將△ABC繞點C逆時針旋轉60°，得到△MNC，連接BM，則BM的長是　 ?。?br />
17．（4分）如圖，在直角坐標系中，⊙A的圓心A的坐標為（﹣1，0），半徑為1，點P為直線y＝﹣x+3上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是　 ?。?br />
18．（4分）將正偶數(shù)按照如下規(guī)律進行分組排列，依次為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，我們稱4是第2組第1個數(shù)字，16是第4組第2個數(shù)字，若2020是第m組第n個數(shù)字，則m+n＝　 ?。?br /> 三、解答題：（本大題共7個小題，計90分．解答應寫出文字說明、證明過程和推理步驟）
19．（16分）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移5個單位后得到對應的△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出點B1的坐標；
（2）以原點O為對稱中心，畫出△A1B1C1，關于原點O對稱的△A2B2C2，并寫出B2的坐標．

20．（12分）為弘揚中華民族傳統(tǒng)文化，某市舉辦了中小學生“國學經典大賽”，比賽項目為：A．唐詩；B．宋詞；C．論語；D．三字經．比賽形式分“單人組”和“雙人組”．
（1）小華參加“單人組”，他從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“論語”的概率是多少？
（2）小明和小紅組成一個小組參加“雙人組”比賽，比賽規(guī)則是：同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同，且每人只能隨機抽取一次．則恰好小明抽中“唐詩”且小紅抽中“宋詞”的概率是多少？小明和小紅都沒有抽到“三字經”的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．
21．（12分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且k與都為整數(shù)，求k所有可能的值．
22．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸相交于點M（3，0），與y軸相交于點N（0，4），點A為MN的中點，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象過點A．
（1）求直線l和反比例函數(shù)的解析式；
（2）在函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上取異于點A的一點C，作CB⊥x軸于點B，連接OC交直線l于點P，若△ONP的面積是△OBC面積的3倍，求點P的坐標．

23．（12分）我市2015年為做好“精準扶貧”，投入資金1500萬元用于某鎮(zhèn)的異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2017年在2015年的基礎上增加投入資金1875萬元．
（1）從2015年到2017年，該鎮(zhèn)投入異地安置資金的年平均增長率為多少？
（2）在2017年的具體實施中，該鎮(zhèn)計劃投入資金不高于500萬元用于優(yōu)先搬遷戶的獎勵，規(guī)定前100戶（含第100戶）每戶獎勵2萬元，100戶以后每戶獎勵5000元，試求今年該鎮(zhèn)最多有多少戶享受到優(yōu)先搬遷獎勵？
24．（12分）如圖1，等腰△ABC中，AC＝BC，點O在AB邊上，以O為圓心的圓經過點C，交AB邊于點D，EF為⊙O的直徑，EF⊥BC于點G，且D是的中點．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）如圖2，延長CB交⊙O于點H，連接HD交OE于點P，連接CF，求證：CF＝DO+OP．

25．（14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，下表給出了拋物線y＝ax2+bx+c上部分點（x，y）的坐標值：
x
…
﹣1

0

…
y
…
0
3
3
0
…
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，直線y＝﹣2x+3與拋物線交于B、C兩點，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？
（3）如圖：A為拋物線與x軸的一個交點，在（2）的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．


2021-2022學年四川省綿陽市安州區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（每小題3分，共36分，每小題給出四個答案，只有一個答案符合題目要求。）
1．（3分）對于拋物線y＝（x﹣1）2+2的說法錯誤的是（　?。?br /> A．拋物線的開口向上
B．當x＜1時，y隨x的增大而增大
C．拋物線與x軸無交點
D．拋物線的頂點坐標是（1，2）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的頂點式即可判斷；
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，
∵二次函數(shù)為y＝a（x﹣h）2+k頂點坐標是（h，k），
∴二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象的頂點坐標是（1，2），
∵拋物線頂點（1，2），開口向上，
∴拋物線與x軸沒有交點，
∵1＞0，
∴當x＞1時，y隨x的增大而曾大，
故A、C、D正確．
故選：B．
2．（3分）下面的圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念即可解答．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．
故選：C．
3．（3分）下列事件中必然發(fā)生的事件是（　?。?br /> A．一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等
B．不等式的兩邊同時乘以一個數(shù)，結果仍是不等式
C．200件產品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數(shù)
【分析】直接利用隨機事件、必然事件、不可能事件分別分析得出答案．
【解答】解：A、一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等，是不可能事件，故此選項錯誤；
B、不等式的兩邊同時乘以一個數(shù)，結果仍是不等式，是隨機事件，故此選項錯誤；
C、200件產品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此選項正確；
D、隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數(shù)，是隨機事件，故此選項錯誤；
故選：C．
4．（3分）已知圓錐的底面半徑是3，母線長為6，則該圓錐側面展開后所得扇形的圓心角為（　?。?br /> A．60° B．90° C．120° D．180°
【分析】求得圓錐的底面周長即為側面扇形的弧長，利用弧長公式即可求得扇形的圓心角．
【解答】解：圓錐的底面周長為：2π×3＝6π，
那么＝6π，
解得n＝180°．
故選：D．
5．（3分）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的兩個不相等的根，則α2﹣3β的值是（　?。?br /> A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
【分析】由根與系數(shù)的關系即可求出答案．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的兩個不相等的根，
∴α2+3α＝6，
由根系數(shù)的關系可知：α+β＝﹣3，
∴α2﹣3β＝α2+3α﹣3α﹣3β＝α2+3α﹣3（α+β）＝6﹣3×（﹣3）＝15
故選：B．
6．（3分）將數(shù)字“6”旋轉180°，得到數(shù)字“9”；將數(shù)字“9”旋轉180°，得到數(shù)字“6”．現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉180°，得到的數(shù)字是（　　）
A．96 B．69 C．66 D．99
【分析】直接利用中心對稱圖形的性質結合69的特點得出答案．
【解答】解：現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉180°，得到的數(shù)字是：69．
故選：B．
7．（3分）正方形ABCD內接于⊙O，若⊙O的半徑是，則正方形的邊長是（　　）

A．1 B．2 C． D．
【分析】連接OB，CO，在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理即可求解．
【解答】解：連接OB，OC，則OC＝OB＝，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝＝2．
∴正方形的邊長是2，
故選：B．

8．（3分）如圖，點A是反比例函數(shù)y＝的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B．點C為y軸上的一點，連接AC，BC．若△ABC的面積為4，則k的值是（　?。?br />
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】連接OA，如圖，利用三角形面積公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到|k|＝4，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值．
【解答】解：連接OA，如圖，
∵AB⊥x軸，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故選：D．

9．（3分）如圖，公園內有一個半徑為18米的圓形草坪，從A地走到B地有觀賞路（劣弧AB）和便民路（線段AB）．已知A、B是圓上的點，O為圓心，∠AOB＝120°，小強從A走到B，走便民路比走觀賞路少走（　　）米．

A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18
【分析】作OC⊥AB于C，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AC＝BC，再利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出∠A，從而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧長公式計算出的長，最后求它們的差即可．
【解答】解：作OC⊥AB于C，如圖，

則AC＝BC，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，
在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，
AC＝＝米，
∴AB＝2AC＝米，
又∵的長＝米，
∴走便民路比走觀賞路少走（）米，
故選：D．
10．（3分）如圖，一條拋物線與x軸相交于M，N兩點（點M在點N的左側），其頂點P在線段AB上移動，點A，B的坐標分別為（﹣2，﹣3），（1，﹣3），點N的橫坐標的最大值為4，則點M的橫坐標的最小值為（　?。?br />
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
【分析】當圖象頂點在點B時，點N的橫坐標的最大值為4，求出a＝；當頂點在點A時，M點的橫坐標為最小，此時拋物線的表達式為：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．
【解答】解：當圖象頂點在點B時，點N的橫坐標的最大值為4，
則此時拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把點N的坐標代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，
解得：a＝，
當頂點在點A時，M點的橫坐標為最小，
此時拋物線的表達式為：y＝（x+2）2﹣3，
令y＝0，則x＝﹣5或1，
即點M的橫坐標的最小值為﹣5，
故選：C．
11．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，AE是以BC為直徑的半圓的切線，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A． B．π﹣2 C．1 D．
【分析】根據(jù)切線的性質得到EC＝EF，根據(jù)勾股定理列出方程求出CE，根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計算，得到答案．
【解答】解：假設AE與BC為直徑的半圓切于點F，則AB＝AF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴EC與BC為直徑的半圓相切，
∴EC＝EF，
∴DE＝2﹣CE，AE＝2+CE，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，即（2+CE）2＝22+（2﹣CE）2，
解得：CE＝，
∴DE＝2﹣＝，
∴陰影部分的面積＝22﹣×π×12﹣×2×＝，
故選：D．

12．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c都是常數(shù)，且a≠0）的圖象與x軸交于點（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方，下列結論：①4a﹣2b+c＝0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0；⑤a﹣b≤an2+bn（n是常數(shù)）．其中正確結論的個數(shù)是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸的位置判斷a、b、c的符號，把兩根關系與拋物線與x的交點情況結合起來分析問題．
【解答】解：①∵y＝ax2+bx+c與x軸的交點坐標為（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，所以正確；
②由題意可知a＜0，
由y＝ax2+bx+c與x軸的另一個交點坐標為（x1，0 ），且1＜x1＜2，
則該拋物線的對稱軸為x＝﹣＝＞﹣，
∴﹣＜﹣＜0，
∴0＜，
∴對稱軸x＝﹣＜0，
∵a＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0．故正確；
③由一元二次方程根與系數(shù)的關系知x1?x2＝，結合a＜0得2a+c＞0，所以結論正確，
④由4a﹣2b+c＝0得2a﹣b＝﹣，而0＜c＜2，
∴﹣1＜﹣，
∴﹣1＜2a﹣b＜0，
∴2a﹣b+1＞0，所以結論正確；
⑤∵拋物線開口向下，﹣＜﹣＜0，
∴x＝﹣1時的函數(shù)值，不是最大值，
∴a﹣b≤an2+bn（n是常數(shù)）不成立，
所以結論錯誤；
故正確結論的個數(shù)是4個．
故選：C．
二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24）
13．（4分）已知關于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是　m≤且m≠﹣2?。?br /> 【分析】根據(jù)方程根的情況，利用根的判別式及一元二次方程的定義列出關于m的不等式，解之可得．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，
解得m≤且m≠﹣2．
故答案為：m≤且m≠﹣2．
14．（4分）若點A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3從大到小的排列是 　y3＜y1＜y2?。?br /> 【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中k＜0判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點橫坐標的特點即可得出結論．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝中k＜0，
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大．
∵﹣3＜0，﹣1＜0，
∴點A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴點C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故答案為：y3＜y1＜y2．
15．（4分）一個三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是方程x2﹣6x+8＝0的根，則這個三角形的周長為 　12　．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三邊的關系得到三角形第三邊的長為4，從而得到計算三角形的周長．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
而2+3＝5，
所以三角形第三邊的長為4，
所以三角形的周長為3+4+5＝12．
故答案為12．
16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，將△ABC繞點C逆時針旋轉60°，得到△MNC，連接BM，則BM的長是　+1　．

【分析】如圖，連接AM，由題意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM為等邊三角形根據(jù)AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC＝1，OM＝CM?sin60°＝，最終得到答案BM＝BO+OM＝1+．
【解答】解：如圖，連接AM，
由題意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM為等邊三角形，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，
∴AC＝2＝CM＝2，
∵AB＝BC，CM＝AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO＝AC＝1，OM＝CM?sin60°＝，
∴BM＝BO+OM＝1+，
故答案為：1+．

17．（4分）如圖，在直角坐標系中，⊙A的圓心A的坐標為（﹣1，0），半徑為1，點P為直線y＝﹣x+3上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是　2?。?br />
【分析】連接AP，PQ，當AP最小時，PQ最小，當AP⊥直線y＝﹣x+3時，PQ最小，根據(jù)全等三角形的性質得到AP＝3，根據(jù)勾股定理即可得到結論．
【解答】解：如圖，作AP⊥直線y＝﹣x+3，垂足為P，作⊙A的切線PQ，切點為Q，此時切線長PQ最小，
∵A的坐標為（﹣1，0），
設直線與x軸，y軸分別交于C，B，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝5，
∴AC＝BC，
在△APC與△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC（AAS），
∴AP＝OB＝3，
∴PQ＝＝2．
∵PQ2＝PA2﹣1，此時PA最小，所以此時切線長PQ也最小，最小值為2．

18．（4分）將正偶數(shù)按照如下規(guī)律進行分組排列，依次為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，我們稱4是第2組第1個數(shù)字，16是第4組第2個數(shù)字，若2020是第m組第n個數(shù)字，則m+n＝　65?。?br /> 【分析】根據(jù)題目中數(shù)字的特點，可知每組的個數(shù)依次增大，每組中的數(shù)字都是連續(xù)的偶數(shù)，然后即可求出2020是多少組第多少個數(shù)，從而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【解答】解：∵將正偶數(shù)按照如下規(guī)律進行分組排列，依次為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m組有m個連續(xù)的偶數(shù)，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010個偶數(shù)，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45組第1010﹣990＝20個數(shù)，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65，
故答案為：65．
三、解答題：（本大題共7個小題，計90分．解答應寫出文字說明、證明過程和推理步驟）
19．（16分）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移5個單位后得到對應的△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出點B1的坐標；
（2）以原點O為對稱中心，畫出△A1B1C1，關于原點O對稱的△A2B2C2，并寫出B2的坐標．

【分析】（1）直接利用平移的性質得出對應點位置進而得出答案；
（2）直接利用關于原點對稱點的性質進而得出答案．
【解答】解：（1）如圖所示：
△A1B1C1，即為所求，點B1的坐標為：（5，1）；

（2）如圖所示：
△A2B2C2，即為所求，點B2的坐標為：（﹣5，﹣1）．

20．（12分）為弘揚中華民族傳統(tǒng)文化，某市舉辦了中小學生“國學經典大賽”，比賽項目為：A．唐詩；B．宋詞；C．論語；D．三字經．比賽形式分“單人組”和“雙人組”．
（1）小華參加“單人組”，他從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“論語”的概率是多少？
（2）小明和小紅組成一個小組參加“雙人組”比賽，比賽規(guī)則是：同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同，且每人只能隨機抽取一次．則恰好小明抽中“唐詩”且小紅抽中“宋詞”的概率是多少？小明和小紅都沒有抽到“三字經”的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數(shù)，再找出恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：（1）他從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“三字經”的概率＝．
（2）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果數(shù)；
其中恰好小明抽中“唐詩”且小紅抽中“宋詞”的結果數(shù)為1，小明和小紅都沒有抽到“三字經”的結果數(shù)為6；
所以恰好小明抽中“唐詩”且小紅抽中“宋詞”的概率＝
小明和小紅都沒有抽到“三字經”的概率＝＝
21．（12分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且k與都為整數(shù)，求k所有可能的值．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，可得出Δ＝1＞0，進而可證出方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解方程求出方程的兩根為k，k+1，得出＝1+或＝1﹣，然后利用有理數(shù)的整除性確定k的整數(shù)值；
【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴無論k取何值，方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k或x＝k+1．
∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的兩根為k，k+1，
∴或，
如果1+為整數(shù)，則k為1的約數(shù)，
∴k＝±1，
如果1﹣為整數(shù)，則k+1為1的約數(shù)，
∴k+1＝±1，
則k為0或﹣2．
∴整數(shù)k的所有可能的值為±1，0或﹣2．
22．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸相交于點M（3，0），與y軸相交于點N（0，4），點A為MN的中點，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象過點A．
（1）求直線l和反比例函數(shù)的解析式；
（2）在函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上取異于點A的一點C，作CB⊥x軸于點B，連接OC交直線l于點P，若△ONP的面積是△OBC面積的3倍，求點P的坐標．

【分析】（1）根據(jù)點M、N的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線l的解析式，根據(jù)點A為線段MN的中點可得出點A的坐標，根據(jù)點A的坐標利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可求出S△OBC的面積，設點P的坐標為（a，﹣a+4），根據(jù)三角形的面積公式結合S△ONP的面積即可求出a值，進而即可得出點P的坐標．
【解答】解：（1）設直線l的解析式為y＝mx+n（m≠0），
將（3，0）、（0，4）代入y＝mx+n，
得，解得：，
∴直線l的解析式為y＝﹣x+4．
∵點A為線段MN的中點，
∴點A的坐標為（，2）．
將A（，2）代入y＝，
得k＝×2＝3，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝；

（2）∵S△OBC＝|k|＝，
∴S△ONP＝3S△OBC＝．
∵點N（0，4），
∴ON＝4．
設點P的坐標為（a，﹣a+4），則a＞0，
∴S△ONP＝ON?a＝2a，
∴a＝，
則﹣a+4＝﹣×+4＝1，
∴點P的坐標為（，1）．

23．（12分）我市2015年為做好“精準扶貧”，投入資金1500萬元用于某鎮(zhèn)的異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2017年在2015年的基礎上增加投入資金1875萬元．
（1）從2015年到2017年，該鎮(zhèn)投入異地安置資金的年平均增長率為多少？
（2）在2017年的具體實施中，該鎮(zhèn)計劃投入資金不高于500萬元用于優(yōu)先搬遷戶的獎勵，規(guī)定前100戶（含第100戶）每戶獎勵2萬元，100戶以后每戶獎勵5000元，試求今年該鎮(zhèn)最多有多少戶享受到優(yōu)先搬遷獎勵？
【分析】（1）設從2015年到2017年，該鎮(zhèn)投入異地安置資金的年平均增長率為x，根據(jù)2015年及2017年投入的異地安置資金，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）設今年該鎮(zhèn)有y戶享受到優(yōu)先搬遷獎勵，根據(jù)100×20000+超出100戶的數(shù)量×5000≤投入資金，即可得出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．
【解答】解：（1）設從2015年到2017年，該鎮(zhèn)投入異地安置資金的年平均增長率為x，
根據(jù)題意得：1500（1+x）2＝1500+1875，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合題意，舍去）．
答：從2015年到2017年，該鎮(zhèn)投入異地安置資金的年平均增長率為50%．
（2）設今年該鎮(zhèn)有y戶享受到優(yōu)先搬遷獎勵，
根據(jù)題意得：100×20000+（y﹣100）×5000≤5000000，
解得：y≤700．
答：今年該鎮(zhèn)最多有700戶享受到優(yōu)先搬遷獎勵．
24．（12分）如圖1，等腰△ABC中，AC＝BC，點O在AB邊上，以O為圓心的圓經過點C，交AB邊于點D，EF為⊙O的直徑，EF⊥BC于點G，且D是的中點．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）如圖2，延長CB交⊙O于點H，連接HD交OE于點P，連接CF，求證：CF＝DO+OP．

【分析】（1）如圖1中，先判斷出∠A+∠BOF＝90°，再判斷出∠COD＝∠EOD＝∠BOF，即可得出∠A+∠COD＝90°；
（2）如圖2中，連接OC，首先證明FC＝FH，再證明點P在以F為圓心FC為半徑的圓上即可解決問題．
【解答】（1）證明：如圖1中，連接OC．

∵OF⊥BC，
∴∠B+∠BOF＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠A+∠BOF＝90°，
∵點D是的中點，
∴，
∴∠COD＝∠EOD＝∠BOF，
∴∠A+∠COD＝90°，
∴∠ACO＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC是半徑，
∴AC是⊙O的切線，

（2）證明：如圖2中，連接OC，
∵EF⊥HC，
∴CG＝GH，
∴EF垂直平分HC，
∴FC＝FH，
∵∠CFP＝∠COE，
∵∠COD＝∠DOE，
∴∠CFP＝∠COD，
∵∠CHP＝∠COD，
∴∠CHP＝∠CFP，
∴點P在以F為圓心FC為半徑的圓上，
∴FC＝FP＝FH，
∵DO＝OF，
∴DO+OP＝OF+OP＝FP＝CF，
即CF＝OP+DO．

25．（14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，下表給出了拋物線y＝ax2+bx+c上部分點（x，y）的坐標值：
x
…
﹣1

0

…
y
…
0
3
3
0
…
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，直線y＝﹣2x+3與拋物線交于B、C兩點，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？
（3）如圖：A為拋物線與x軸的一個交點，在（2）的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，然后設點E的坐標是（x，﹣2x2+x+3），則點M的坐標是（x，﹣2x+3），求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出S△ABC，進而判斷出當△BEC面積最大時，點E的坐標和△BEC面積的最大值各是多少即可．
（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經過（﹣1，0），（，3），（0，3）三點，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+x+3．

（2）∵直線y＝﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，
∴點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（，0），
如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，
∴設點E的坐標是（x，﹣2x2+x+3），
則點M的坐標是（x，﹣2x+3），
∴EM＝﹣2x2+x+3﹣（﹣2x+3）＝﹣2x2+3x，
∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC
＝EM?OC
＝×（﹣2x2+3x）×
＝﹣（x﹣）2+，
∴當x＝時，即點E的坐標是（，）時，△BEC的面積最大，最大面積是．

（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．
①如圖2，AM∥PQ，AM＝PQ．
由（2），可得點M的橫坐標是，
∵點M在直線y＝﹣2x+3上，
∴點M的坐標是（，），
又∵拋物線y＝﹣2x2+x+3的對稱軸是直線x＝，
∴設點P的坐標是（x，﹣2x2+x+3），
∵點A的坐標是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，
∴x﹣（﹣1）＝，
解得x＝﹣，
此時P（﹣，﹣3）；
②如圖3，由（2）知，可得點M的橫坐標是，
∵點M在直線y＝﹣2x+3上，
∴點M的坐標是（，），
又∵拋物線y＝﹣2x2+x+3的對稱軸是直線x＝，
∴設點P的坐標是（x，﹣2x2+x+3），點Q的橫坐標是，
∵點A的坐標是（﹣1，0），
∴xQ﹣xA＝xP﹣xM，即﹣（﹣1）＝x﹣，
解得x＝2，
此時P（2，﹣3）；
③如圖4，由（2）知，可得點M的橫坐標是，
∵點M在直線y＝﹣2x+3上，
∴點M的坐標是（），
又∵拋物線y＝﹣2x2+x+3的對稱軸是直線x＝，
∴設點P的坐標是（x，﹣2x2+x+3），點Q的橫坐標是，
∵點A的坐標是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣（﹣1）＝，
解得x＝﹣，
此時P（﹣，2）；
綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是（﹣，﹣3）或（2，﹣3）或（﹣，2）．





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