一、選擇題
1．集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知，向量，，則“”是“”的( )
A.必要不充分條件B.充分不必要條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
3．,,,且三點(diǎn)共線(xiàn),則( )
A.8B.4C.2D.1
4．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則( )
A.684B.682C.342D.341
5．在下列關(guān)于直線(xiàn)與平面,的命題中,真命題是( )
A.若,且,則B.若,且,則
C.若,且,則D.若,且,則
6．如圖,有一古塔,在A點(diǎn)測(cè)得塔底位于北偏東方向上的點(diǎn)D處,塔頂C的仰角為,在A的正東方向且距D點(diǎn)60m的B點(diǎn)測(cè)得塔底位于北偏西方向上(A,B,D在同一水平面),則塔的高度CD約為( )(參考數(shù)據(jù):)
A.38mB.44mC.40mD.48m
7．如圖,在中,M為線(xiàn)段BC的中點(diǎn),G為線(xiàn)段AM上一點(diǎn),,過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB,AC于P,Q兩點(diǎn),,,則的最小值為( ).
A.B.C.3D.9
8．已知函數(shù),若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn),且最小的零點(diǎn)為,則( ).
A.6B.C.2D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．若復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限B.
C.D.
10．在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,,則角C的大小是( )
A.B.C.D.
11．已知圓錐底面半徑為1,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為V,A,B是底面圓周上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),給出下列四個(gè)結(jié)論,其中成立的是( )
A.圓錐的側(cè)面積為
B.母線(xiàn)與圓錐高所成角的大小為
C.可能為等腰直角三角形
D.面積的最大值為
12．同學(xué)們,你們是否注意到,自然下垂的鐵鏈;空曠的田野上,兩根電線(xiàn)桿之間的電線(xiàn);峽谷的上空,橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線(xiàn)形態(tài).事實(shí)上,這些曲線(xiàn)在數(shù)學(xué)上常常被稱(chēng)為懸鏈線(xiàn).懸鏈線(xiàn)的相關(guān)理論在工程,航海,光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,這類(lèi)函數(shù)的表達(dá)式可以為(其中a,b是非零常數(shù),無(wú)理數(shù)),對(duì)于函數(shù)以下結(jié)論正確的是( )
A.是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件;
B.是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件;
C.如果,那么為單調(diào)函數(shù);
D.如果,那么函數(shù)存在極值點(diǎn).
三、填空題
13．已知是定義域?yàn)槠婧瘮?shù),當(dāng)時(shí),,則______.
14．函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的最大值為_(kāi)_________.
15．已知正方體的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則過(guò),E,F三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.
16．如圖所示,在直角梯形ABCD中,已知,,,,M為BD的中點(diǎn),設(shè)P,Q分別為線(xiàn)段AB,CD上的動(dòng)點(diǎn),若P,M,Q三點(diǎn)共線(xiàn),則的最大值為_(kāi)_____.
四、解答題
17．在梯形ABCD中,,,,.
（1）求的值;
（2）若的面積為4,求AD的長(zhǎng).
18．已知數(shù)列的首項(xiàng),其前n項(xiàng)和為,且,.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
19．如圖為函數(shù)的部分圖象.
（1）求函數(shù)解析式和單調(diào)遞增區(qū)間;
（2）若將的圖像向右平移個(gè)單位,然后再將橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍得到圖像,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
20．如圖所示,四棱錐的底面ABCD為正方形,頂點(diǎn)P在底面上的射影為正方形的中心O,E為側(cè)棱PC的中點(diǎn).
（1）求證:平面BDE;
（2）若,四棱錐體積為,求PB與平面DBE所成角.
21．已知向量,,.
（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,求的最小值及此時(shí)的解析式;
（2）現(xiàn)將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.已知A,B,C是函數(shù)與圖象上連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn),若是銳角三角形,求的取值范圍.
22．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,當(dāng)時(shí),求證:.
參考答案
1．答案：D
解析：對(duì)于集合A,,;
對(duì)于集合B,,;
由于,
,1,;
故選:D.
2．答案：B
解析：若向量，則，即
解得：或，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
3．答案：A
解析：由題得,
因?yàn)锳,C,D三點(diǎn)共線(xiàn),
所以,
所以存在實(shí)數(shù),使得,
所以,
所以,解得,.
故選:A
4．答案：B
解析：,,,,,
所以.
故選:B.
5．答案：B
解析：對(duì)于A,,當(dāng)平面,的交線(xiàn)為L(zhǎng)時(shí),滿(mǎn)足,此時(shí),A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,由,得存在過(guò)直線(xiàn)l的平面,,,,由于,
則平面,與平面必相交,令,,于是,,
顯然,,而l,a,,則,同理,又,是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),因此,B正確;
對(duì)于C,平面,為一正三棱柱的兩個(gè)側(cè)面所在平面,直線(xiàn)為底面正三角形的一邊所在直線(xiàn),
顯然,l與平面不平行,C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,,令,當(dāng)直線(xiàn)在平面內(nèi),且時(shí),滿(mǎn)足,此時(shí)不成立,D錯(cuò)誤.
故選:B
6．答案：D
解析：如圖,根據(jù)題意,平面ABD,,,,.
在中,因?yàn)?所以,
所以.在中,m.
故A,B,C錯(cuò)誤.
故選:D.
7．答案：B
解析：因?yàn)镸為線(xiàn)段BC的中點(diǎn),所以,又因?yàn)?所以,
又,,所以,
又P,G,Q三點(diǎn)共線(xiàn),所以,即,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào).
故選:B
8．答案：B
解析：由函數(shù)的圖象,經(jīng)過(guò)翻折變換,可得函數(shù)的圖象,
再經(jīng)過(guò)向右平移1個(gè)單位,可得的圖象,
最終經(jīng)過(guò)翻折變換,可得的圖象,如下圖:
則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),
令
因?yàn)楹瘮?shù)最小的零點(diǎn)為,且,
故當(dāng)時(shí),方程有4個(gè)零點(diǎn),
所以,要使函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn),且最小的零點(diǎn)為,則,或,
所以,關(guān)于t方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為0,1
所以,由韋達(dá)定理得,,
故選:B
9．答案：AC
解析：因?yàn)?所以,
所以,
對(duì)于A,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,故A正確;
對(duì)于B,由,可得,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,,故C正確;
對(duì)于D,,故D錯(cuò)誤.
故選:AC
10．答案：AD
解析：,
,
由,可得,
,
,即
解得,又
或,即或
故選:AD
11．答案：BD
解析：由圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,得,則,
對(duì)于A,圓錐側(cè)面積為,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,圓錐底面圓直徑為2,即圓錐軸截面三角形為等邊三角形,則母線(xiàn)與圓錐的高所成角的大小為,B正確;
對(duì)于C,由選項(xiàng)B知,等腰的頂角滿(mǎn)足:,則不可能為等腰直角三角形,C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,面積,D正確.
故選:BD
12．答案：BCD
解析：對(duì)于A,當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
,故函數(shù)為偶函數(shù);
當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí),,故,
即,又,故,
所以是函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
,故函數(shù)為奇函數(shù),
當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí),,
因?yàn)?,故.
所以是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件,故B正確;
對(duì)于C,,因?yàn)?
若,,則恒成立,則為單調(diào)遞增函數(shù),
若,則恒成立,則為單調(diào)遞減函數(shù),
故,函數(shù)為單調(diào)函數(shù),故C正確;
對(duì)于D,,
令得,又,
若,
當(dāng),,函數(shù)為單調(diào)遞減.
當(dāng),,函數(shù)為單調(diào)遞增.函數(shù)存在唯一的極小值.
若,,
當(dāng),,函數(shù)為單調(diào)遞增.
當(dāng),,函數(shù)為單調(diào)遞減.故函數(shù)存在唯一的極大值.
所以函數(shù)存在極值點(diǎn),故D正確.
故答案為:BCD.
13．答案：
解析：是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,
則有.
故答案為:
14．答案：
解析：,則,
因?yàn)?所以要想在上單調(diào)遞增,
需要滿(mǎn)足且,,
解得:,,
所以,解得:,
因?yàn)?所以,
因?yàn)?所以,
的最大值是.
故答案為:.
15．答案：
解析：如圖延長(zhǎng)直線(xiàn)EF,分別交DC,DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,G,連接,,分別交,,于點(diǎn)I,J,連接IE,JF,則五邊形為所得截面,
又正方體的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),
所以,
平面平面,所以平面與以上兩個(gè)平面的交線(xiàn),
所以,,,
所以,.
在中,所以,
在中,所以.
同理可得,.
則五邊形周長(zhǎng)為.
16．答案：
解析：如圖所示,建立直角坐標(biāo)系,則,,,,,
又Q是線(xiàn)段CD上的動(dòng)點(diǎn),設(shè),
則,可得
設(shè),,
由P,M,Q三點(diǎn)共線(xiàn),設(shè)
利用向量相等消去可得:,
令,,則在上單調(diào)遞減,
故當(dāng)時(shí),取得最大值
故答案為:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,,
由正弦定理得,則;
（2）因?yàn)?為銳角,所以,
所以,
又為銳角,所以,
因?yàn)?所以,
由余弦定理得,
所以.
18．答案：（1）見(jiàn)解析
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）已知,
當(dāng)時(shí),,即,由,解得.
當(dāng)時(shí),,
則相減得.
當(dāng)時(shí),也成立.
所以對(duì)于都有成立.
上式化為,所以是等比數(shù)列,首項(xiàng)為4,公比為3,
則,即.
（2）因?yàn)?
則,
兩式相減得,
,
所以.
19．答案：（1）見(jiàn)解析
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）由圖象知,,
又則,
則,將代入得,,
得,,解得,,
由,得當(dāng)時(shí),,
所以.
令,,
得,,
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）將的圖像向右平移個(gè)單位得
,
然后再將橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍得到的圖像.
已知,則,則.
故當(dāng),時(shí),最小值為;
當(dāng),時(shí),的最大值為2.
20．答案：（1）見(jiàn)解析
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）連接,因?yàn)榈酌媸钦叫?且頂點(diǎn)P在底面上的射影為正方形的中心,
所以,
又因?yàn)辄c(diǎn)E是PC中點(diǎn),
所以由三角形中位線(xiàn)定理可得;
因?yàn)槠矫鍮DE,平面BDE,
所以平面BDE;
（2）,
解得:,
以故以O(shè)為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由已知可得,,,
,,,
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量是.
由,得,
令,則,
所以PB與平面DBE所成角的正弦值為,
所以PB與平面DBE所成角為.
21．答案：（1）見(jiàn)解析
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）
,
當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,即,
解得,且,則,
此時(shí);
（2）由函數(shù)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位,
得到,
由（1）知,作出兩個(gè)函數(shù)圖象,如圖:
A,B,C為連續(xù)三交點(diǎn),(不妨設(shè)B在x軸下方),D為AC中點(diǎn),
由對(duì)稱(chēng)性可得是以為頂角的等腰三角形,
根據(jù)圖像可得,即,
由兩個(gè)圖像相交可得,即,化簡(jiǎn)得,
再結(jié)合,解得,
故,可得,
當(dāng)為銳角三角形時(shí),只需要即可,
由,
故的取值范圍為.
22．答案：（1）
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）由題意知,方程在上有兩個(gè)不同根,
即方程在上有兩個(gè)不同根,即方程在上有兩個(gè)不同根.
令,,則,
則當(dāng)時(shí),,時(shí),,
則函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以.
又因?yàn)?當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以a的取值范圍為.
（2）證明:即證,兩邊取對(duì)數(shù),等價(jià)于要證,
,,
可知,分別是方程的兩個(gè)根,
即,,
所以原式等價(jià)于.
因?yàn)?,所以原式等價(jià)于要證明.
又由,作差得,,即,
所以原式等價(jià)于,令,,
則不等式在上恒成立.
令,,又,
當(dāng)時(shí),時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.
又,,所以在恒成立,所以原不等式恒成立.

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