（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）
1.已知全集，集合，，則陰影部分表示的集合為（ ）
A.B.C.D.
2.若復(fù)數(shù)，則（ ）
A.1B.C.D.
3.若函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則（ ）
A.B.0C.D.1
4.已知雙曲線方程為，，是雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上任意一點，若點關(guān)于的對稱點為點，點關(guān)于的對稱點為點，線段的長度是8，則雙曲線的離心率是（ ）
A.B.2C.D.4
5.已知，則（ ）
A.B.C.D.
6.設(shè)，，，是同一個球面上四點，球的半徑為4，是面積為的等邊三角形，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A.B.C.D.
7.函數(shù)的部分圖象如圖所示，若圖象上的所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，若是奇函數(shù)，則圖中的值為（ ）
A.B.C.D.
8.命題“，使（且）成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選、有選錯得0分）
9.某研究小組依次記錄下10天的觀測值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，則（ ）
A.眾數(shù)是22
B.前4個數(shù)據(jù)的方差比最后4個數(shù)據(jù)的方差大
C.平均數(shù)是30
D.80百分位數(shù)是28
10.歐拉是科學史上最多才的一位杰出的數(shù)學家，他發(fā)明的公式為，虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個公式也被畄為“數(shù)學中的天橋”（為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位），依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)
B.復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限
C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半圓
11.若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，下列說法正確的是（ ）
A.若，則
B.若，且，，則
C.若中各項均為正數(shù)，則
D.若，，則
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則______.
13.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則的最小值為______.
14.四棱錐的底面為平行四邊形，點、、分別在側(cè)棱、、上，且滿足，，.若平面與側(cè)棱交于點，則______.
四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）如圖，在四邊形中，，，，.
（1）求；
（2）求.
16.（本小題滿分15分）函數(shù).
（1）在處的切線與直線平行，求實數(shù)的值.
（2）證明：對于，，恒成立.
17.（本小題滿分15分）如圖，三棱錐中，，，，，，，為的中點.
（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
18.（本小題滿分17分）已知點是拋物線：上的一點.
（1）若點橫坐標為4，求拋物線在點處的切線方程；
（2）過點作圓：的兩條切線交拋物線的準線于、兩點.
①若，求點縱坐標；
②求面積的最小值.
19.（本小題滿分17分）如圖，已知點列與滿足，且，其中，
（1）求；
（2）求與的關(guān)系式；
（3）證明：
江西智學聯(lián)盟體2024-2025學年高三9月質(zhì)量檢測
數(shù)學參考答案
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1.【答案】A
【解析】由題知圖中陰影部分表示的集合為，
又，得，
又，則，
所以.
故選：A
2.【答案】C
【解析】由.故選：C
3.【答案】B
【解析】由定義知為奇函數(shù)，
圖像關(guān)于軸對稱，則為偶函數(shù)，故為奇函數(shù)，所以.故選：B.
4.【答案】B
【解析】依題意可得、分別為、的中點，所以，所以半焦距，所以，所以離心率.
5.【答案】D
【解析】，，，
即，.
故選：D.
6.【答案】B
【解析】設(shè)三角形的邊長為，已知的面積為
此時外接圓的半徑為，又求半徑，故球心到面的距離為，故點到面的最大距離為，此時，故選B.
7.【答案】A
【解析】由得，的圖象上的所有點向左平移個單位長度后得為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱，得函數(shù)的圖象過點，所以，所以，故，又，得，所以，，故選：A.
8.【答案】B
【解析】依題意“，都有成立”為真命題.
顯然.
如圖，由于與的圖像關(guān)于對稱.
問題可轉(zhuǎn)化為.
兩邊取以為底的對數(shù)，.
.
令，.
令，當，，
當，，
.
.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.【答案】AC
【解析】22出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)是22，所以A對；
80百分位數(shù)是，所以B錯；
計算易知平均數(shù)30，C對；
前4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是25，方差為，
后4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是25，方差為，故D錯.
10.【答案】ABD
【解析】對于A，，所以為純虛數(shù)，故A正確；
對于B，，因為，所以，，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，故B正確；
對于C，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯誤；
對于D，，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半徑為1的半圓，故D正確.故本題選：ABD.
11.【答案】BCD
【解析】依題意可得為等差數(shù)列
由，可得，，，所以A錯誤；
由，且，，可得，，，，，所以B正確；
由為等差數(shù)列，可得，，所以C正確；
由，，可求得，令為數(shù)列的前項和，可求得.
令，，求導可證恒成立，即在時恒成立，恒成立，，，
，所以D正確.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.【答案】18
【解析】設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，
又，所以，
所以.
故答案為：18.
13.【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，
，，
聯(lián)立解得：，，所以，
則，
令，
時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，
可得時，函數(shù)取得極小值即最小值，
時，取得最小值，.
故答案為：.
14.【答案】
【解析】法1：設(shè)與的交點為，則為、的中點，所以.
設(shè)，
、、、四點共面，，，
法2：設(shè)，點到平面的距離為，四棱錐的體積為
同理可得
，.
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
【答案】（1）（2）
【解析】（1）中，；
（2），
所以，
所以
16.（本小題滿分15分）
【解析】解：（1）.
由題意：
.
（2）
，
，，.
在.
.
，
.
在..得證.
17.（本小題滿分15分）
【解析】（1）證明：，，，
在中，，
，又為中點，
，，，
取的中點，則，
，
又，，平面，
（2）空間向量法（傳統(tǒng)方法按步驟酌情給分）
取的中點，，
如圖，以為原點，、分別為軸，軸，建立空間直角坐標系.
，
，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，，則，
同理可求平面的法向量為，
，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18.（本小題滿分17分）
解（1）的橫坐標為4，
又，求得.
拋物線在處的切線斜率為2.
切線方程為，
即.
（2）設(shè)與圓相切于點，與圓相切于點.
與圓相切于點，由切線長相等可得：
，，.
周長為.
.
設(shè)，由題意設(shè).（在軸左側(cè)時，由對稱軸可知縱坐標軸，面積相同）.
.
①由，則
或（舍）
②
令，則
.
當且僅當，即時，面積最小值為.
19.（本小題滿分17分）
解：（1）因為，
所以，得，所以.
（2）由，
①，
又，則②，
將①代入②得
.
（3）下面證明，
當時，
，
因為，
所以
，
.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
B
A
D
B
題號
9
10
11
答案
AC
ABD
BCD

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