知識聚焦
考點聚焦
知識點1 積化和差公式與和差化積公式
1、積化和差公式
2、和差化積公式
、
3、應用和差化積公式時的注意事項
（1）在應用和差化積公式時，必須是一次同名三角函數(shù)方可施行，
若是異名，必須用誘導公式化為同名；若是高次，必須用降冪公式降為一次。
（2）根據(jù)實際問題選用公式時，應從以下幾個方面考慮：
= 1 \* GB3 ①運用公式之后，能否出現(xiàn)特殊角；
= 2 \* GB3 ②運用公式之后，能否提取公因式，能否約分，能否合并或消項。
（3）為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式，有時需要把某些常數(shù)當做三角函數(shù)值才能應用公式，
如
知識點2 半角公式及萬能公式
1、半角公式：
＝±， ＝±，
以上三個公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的．
；
以上兩個公式稱作半角正切的有理式表示．
2、萬能公式
； ；
3、利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解；
（2）明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必依據(jù)角的范圍，求出相應半角的范圍；
（3）選公式：涉及半角公式的正切值時，常用，其優(yōu)點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時，常利用，計算。
（4）下結論，結合（2）求值。
考點剖析
考點1 積化和差公式的應用
【例1】（2023·高一課時練習）（ ）
A．+cs 4x B．sin 4x C．+cs 4x D．+sin 4x
【變式1-1】（2023·高一課時練習）的值是（ ）
A． B． C． D．1
【變式1-2】（2023·高一課時練習）若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·高一課時練習） 化為和差的結果是 .
考點2 和差化積公式的應用
【例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)） ．
【變式2-1】（2023·全國·高一課堂例題）（1） ；
（2） ．
【變式2-2】（2023·全國·高一隨堂練習）把下列各式化成積的形式：
（1）；
（2）；
（3）．
【變式2-3】（2023·全國·高一專題練習）已知，求的值為（ ）
A． B． C． D．
考點3 半角公式的應用
【例3】（2023上·全國·高一專題練習）設，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習）已知點是角的終邊上一點，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式3-3】（2023·全國·高一課堂例題）已知，則 ．
考點4 三角恒等式的證明
【例4】（2023·江蘇·高一專題練習）已知，求證：．
【變式4-1】（2023·全國·高一專題練習）已知、為兩相異銳角，且滿足方程，求證：.
【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）證明：.
【變式4-3】（2023·江蘇徐州·高一校考期中）求證下列恒等式：
（1）；
（2）
考點5 三角形中的三角恒等變換
【例5】（2023·廣東中山·高一中山紀念中學?？茧A段練習）在銳角中，若，則的最小值為( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【變式5-1】（2023·全國·高一專題練習）在中，若，則此三角形為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式5-2】（2023·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期中）在中，，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形
【變式5-3】（2023·江蘇宿遷·高一校考階段練習）已知為斜三角形．
（1）證明：；
（2）若為銳角三角形，，求的最小值．
考點6 三角恒等變換的實際應用
【例6】（2023·四川達州·高一校考期中）如圖所示，已知OPQ是半徑為2，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，求當角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．
【變式6-1】（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）在校園美化、改造活動中，要在半徑為、圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一矩形觀賽場地，如圖所示．取的中點M，記．
（1）寫出矩形的面積S與角的函數(shù)關系式；
（2）求當角為何值時，矩形的面積最大？并求出最大面積．
【變式6-2】（2023上·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD，，，的直角頂點P為AD中點，點M、N分別在邊AB，CD上，令．
（1）當時，求梯形BCNM的面積S；
（2）求的周長l的最小值，并求此時角的值．
【變式6-3】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在直徑為1的圓中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中.
（1）將十字形的面積表示成的函數(shù)；
（2）求十字形面積的最大值，并求出此時的值.
過關檢測
一、單選題
1．（2023·全國·高一專題練習）的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習）中，，（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高一課時練習）若，，則的值為（ ）
A．2 B． C．－2 D．
4．（2023·江西宜春·高一灰埠中學校考期中）（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·遼寧沈陽·高一翔宇中學?？茧A段練習）已知角，，為的內(nèi)角，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形
6．（2023·天津和平·高一耀華中學?？计谥校╆P于x的方程有一根為1，則一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形
7．（2023·重慶·高一重慶一中?？茧A段練習）在中，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高一專題練習）如圖，某城市有一條公路從正西方沿通過市中心后轉(zhuǎn)到北偏東的上，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準備修建一條繞城高速公路，并在、上分別設置兩個出口、．若要求市中心與的距離為千米，則線段最短為（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
二、多選題
9．（2023·江蘇南京·高一南京市第二十九中學校考期中）給出下列四個關系式，其中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·全國·高一專題練習）（多選）下列等式中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·甘肅天水·高一天水市第一中學?？计谥校ǘ噙x）若，且，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·甘肅甘南·高一校考期中）tan（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
13．（2023·江蘇南京·高一江寧高級中學校聯(lián)考期末）已知，，則 .
14．（2023·甘肅白銀·高一?？计谥校┮阎?，，則 .
15．（2023·湖北荊州·高一沙市中學?？茧A段練習） ．
16．（2023·江蘇·高一專題練習） ．
四、解答題
17．（2023·全國·高一課堂例題）已知，求下列條件下，，的值：
（1）；
（2）角在第一象限．
18．（2023·湖北荊州·高一沙市中學?？茧A段練習）求證：
．
19．（2023·全國·高一隨堂練習）證明：．
20．（2023·江蘇·高一專題練習）化簡：
（1）；
（2）.
21．（2023·全國·高一課堂例題）化簡：
（1）；
（2）；
（3）．
22．（2023·上海青浦·高一?？茧A段練習）已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點.ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，矩形的面積為.
（1）當時，求矩形的面積的值.
（2）求關于角的解析式，并求的最大值.

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