2023真題展現(xiàn)
考向一 橢圓的性質(zhì)
考向二 直線與橢圓相交問題
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考向一 橢圓的性質(zhì)
考向二 直線與橢圓相交問題
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考向一 橢圓的性質(zhì)
1．（2023?新高考Ⅰ?第5題）設(shè)橢圓C1：x2a2+y2＝1（a＞1），C2：x24+y2＝1的離心率分別為e1，e2．若e2=3e1，則a＝（ ）
A．233B．2C．3D．6
【答案】A
解：由橢圓C2：x24+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2=4-1=3，
∴橢圓C2的離心率為e2=32，
∵e2=3e1，∴e1=12，∴c1a1=12，
∴a12=4c12=4（a12-b12）＝4（a12-1），
∴a=233或a=-233（舍去）．
考向二 直線與橢圓相交問題
2．（2023?新高考Ⅱ?第5題）已知橢圓C：x23+y2=1的左焦點和右焦點分別為F1和F2，直線y＝x+m與C交于點A，B兩點，若△F1AB面積是△F2AB面積的兩倍，則m＝（ ）
A．23B．23C．-23D．-23
【答案】C
解：記直線y＝x+m與x軸交于M（﹣m，0），
橢圓C：x23+y2=1的左，右焦點分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），
由△F1AB面積是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
∴|-2-xM|＝2|2-xM|，解得xM=23或xM＝32，
∴﹣m=23或﹣m＝32，∴m=-23或m＝﹣32，
聯(lián)立x23+y2=1y=x+m可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
∵直線y＝x+m與C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，
∴m＝﹣32不符合題意，
故m=-23．
【命題意圖】
考查橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓．考查運算求解能力、邏輯推導能力、分析問題與解決問題的能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．
【考查要點】
橢圓的定義、方程、性質(zhì)、直線與橢圓是高考常考內(nèi)容，以小題形式出現(xiàn)，常規(guī)題，難度中等．
【得分要點】
一、橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
注：在橢圓的定義中必須要注意以下兩個問題
(1)定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．
(2)常數(shù)(2a)必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓．
①若，M的軌跡為線段；
②若，M的軌跡無圖形
二、橢圓的方程及簡單幾何性質(zhì)
三、橢圓的焦點三角形
橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理．
以橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)橢圓的定義：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面積公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取最大值，為bc.
重要結(jié)論：S△PF1F2=
推導過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面積公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形內(nèi)切圓的半徑）
(4)焦點三角形的周長為2(a＋c)．
(5)在橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上任意的一點，當點P在短軸端點時，最大.
四、點與橢圓的位置關(guān)系
點P(x0，y0)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
點P在橢圓上?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；點P在橢圓內(nèi)部?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
五、直線與橢圓的位置關(guān)系
直線y＝kx＋m與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
當Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；
當Δ＝0時，方程有一解，直線與橢圓相切；
當Δ

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