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考向一 雙曲線的離心率
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考向一 雙曲線的離心率
1．（2023?新高考Ⅰ?第16題）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．點A在C上，點B在y軸上，F(xiàn)1A→⊥F1B→，F(xiàn)2A→=-23F2B→，則C的離心率為 ．
【答案】355
解：（法一）如圖，設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），B（0，n），
設(shè)A（x，y），則F2A→=(x-c，y)，F(xiàn)2B→=(-c，n)，
又F2A→=-23F2B→，則x-c=23cy=-23n，可得A(53c，-23n)，
又F1A→⊥F1B→，且F1A→=(83c，-23n)，F(xiàn)1B→=(c，n)，
則F1A→?F1B→=83c2-23n2=0，化簡得n2＝4c2．
又點A在C上，則259c2a2-49n2b2=1，整理可得25c29a2-4n29b2=1，
代n2＝4c2，可得25c2a2-16c2b2=9，即25e2-16e2e2-1=9，
解得e2=95或15（舍去），
故e=355．
（法二）由F2A→=-23F2B→，得|F2A→||F2B→|=23，
設(shè)|F2A→|=2t，|F2B→|=3t，由對稱性可得|F1B→|=3t，則|AF1→|=2t+2a，|AB→|=5t，
設(shè)∠F1AF2＝θ，則sinθ=3t5t=35，所以csθ=45=2t+2a5t，解得t＝a，
所以|AF1→|=2t+2a=4a，|AF2→|=2a，
在△AF1F2 中，由余弦定理可得csθ=16a2+4a2-4c216a2=45，
即5c2＝9a2，則e=355．
【命題意圖】
考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與雙曲線．考查運算求解能力、邏輯推導(dǎo)能力、分析問題與解決問題的能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．
【考查要點】
雙曲線的定義、方程、性質(zhì)是高考?？純?nèi)容，以小題出現(xiàn)，常規(guī)題，難度中等．
【得分要點】
一、雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
注：1、集合語言表達(dá)式
雙曲線就是下列點的集合:.常數(shù)要小于兩個定點的距離．
2、對雙曲線定義中限制條件的理解
(1)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|時，M的軌跡不存在．
(2)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|時，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線．
(3)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|時，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．
(4)若將定義中的絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡為雙曲線的一支．具體是哪一支,取決于與的大小.
①若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;
②若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.
二、雙曲線的方程及簡單幾何性質(zhì)
三、雙曲線的焦點三角形
雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義和正弦定理、余弦定理．
以雙曲線上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)雙曲線的定義：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面積公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，
重要結(jié)論：S△PF1F2=
推導(dǎo)過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面積公式可得
S△PF1F2=
=
四、直線與雙曲線的位置關(guān)系
1、把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．
(1)Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點．
(2)Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點．
(3)Δ0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
性質(zhì)
圖形
焦點
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范圍
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實軸：線段A1A2，長：eq \a\vs4\al(2a)；
虛軸：線段B1B2，長：eq \a\vs4\al(2b)；
半實軸長：eq \a\vs4\al(a)，半虛軸長：eq \a\vs4\al(b)
離心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x

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