浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學2023-2024學年高一下學期期中數(shù)學試卷（Word版附答案）-試卷下載-教習網(wǎng)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卷上.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案標號涂黑.
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內相應位置上；不準使用鉛筆和涂改液.
4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.
選擇題部分(共58分)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．復數(shù)，，其中為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內所對應的點在第（ ▲ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．邊長為2的正三角形的直觀圖的面積是（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．甲乙丙丁四位同學各擲5次骰子并記錄點數(shù)，方差最大的是（ ▲ ）
甲：4 5 4 5 5 乙：4 2 3 4 3 丙：2 3 2 3 4 ?。? 1 2 6 1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4.若為空間中的不同直線，為不同平面，則下列為真命題的個數(shù)是（ ▲ ）
①，則； ②，則；
③，則； ④，則.
A．0 B．1 C．2 D． 3
5．一個射擊運動員打靶6次的環(huán)數(shù)為:9，5，7，6，8，7下列結論不正確的是（ ▲ ）
A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7 B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7
C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7 D.這組數(shù)據(jù)的方差為7
6．如圖，正三棱柱的所有邊長都相等，P為線段的中點，Q為側面內的一點（包括邊界，異于點P），過點A、P、Q作正三棱柱的截面，則截面的形狀不可能是（ ▲ ）
A．五邊形 B．四邊形 C．等腰三角形 D．直角三角形
7．已知球O為棱長為1的正四面體ABCD的外接球，若點P是正四面體ABCD的表面上的一點，Q為球O表面上的一點，則的最大值為（ ▲ ）
A．B．C．D．
8. 三棱錐中，，則三棱錐的體積的最大值為（ ▲ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0 分，部分選對的得部分．
9.已知事件A，B滿足，，則（ ▲ ）
A. 事件A與B可能為對立事件 B. 若A與B相互獨立，則
C. 若A與B互斥，則 D. 若A與B互斥，則
10.如圖，在正方體中，分別為線段中點，分別為線段，線段上的動點，則三棱錐的體積（ ▲ ）
A.與點位置有關 B.與點位置無關
C.與點位置有關 D.與點位置無關
11.如圖，三棱錐中，為邊長是的正三角形，底面是線段上一動點,則下列說法正確的是（ ▲ ）
A.點B到平面的距離的最大值為
B.三棱錐的內切球半徑為
C.PB與AQ所成角可能為
D.與平面所成角的正切值的最大值為
非選擇題部分(共92分)
三、填空題: 本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 將一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點數(shù)分別記為，則事件的概率為__▲__.
13.正方體棱長為為線段上一動點，為線段上一動點，則的最小值為__▲__.
某工廠的三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，三個車間的產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層隨機抽樣方法從三個車間生產(chǎn)的該產(chǎn)品中，共抽取70件做使用壽命的測試，則C車間應抽取的件數(shù)為__▲___；若A,B,C三個車間產(chǎn)品的平均壽命分別為200，220，210小時，方差分別為30，20，40，則總樣本的方差為__▲__.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知復數(shù)z滿足方程，其中i為虛數(shù)單位，.
（1）當時，求；（2）若，求的最小值.
16.（15分）正方體棱長為2，，分別為和的中點．
(1)證明：直線平面;
(2)求直線與平面所成角的正切值．
17. （15分）為貫徹落實黨的二十大關于深化全民閱讀活動的重要部署，進一步推動青少年學生閱讀深入開展，促進全面提升育人水平，教育部決定開展全國青少年學生讀書行動.某校實施了全國青少年學生讀書行動實施方案.現(xiàn)從該校的2400名學生中發(fā)放調查問卷，隨機調查100名學生一周的課外閱讀時間，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按照[0，20），[20，40），…[120，140]分組后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（單位：分鐘）
(1)若每周課外閱讀時間1小時以上視為達標，則該校達標的約為幾人（保留整數(shù)）；
(2)估計該校學生每周課外閱讀的平均時間；
(3)估計該校學生每周課外閱讀時間的第75百分位數(shù)（結果保留1位小數(shù)）.
18.（17分）如圖，已知三棱臺的體積為，平面平面，是以為直角頂點的等腰直角三角形，且，
（1）證明：平面；
（2）求點到面的距離;
（3）在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.
19.（17分）球面幾何學是在球表面上的幾何學，也是非歐幾何的一個例子.
對于半徑為的球，過球面上一點作兩條大圓的弧，它們構成的圖形叫做球面角，記作，其值為二面角的大小,點稱為球面角的頂點，大圓弧稱為球面角的邊.
不在同一大圓上的三點，可以得到經(jīng)過這三點中任意兩點的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱為球面.這三條劣弧稱為球面的邊，三點稱為球面的頂點；三個球面角稱為球面的三個內角.
已知球心為的單位球面上有不同在一個大圓上的三點.
（1）球面的三條邊長相等（稱為等邊球面三角形），若，求球面的內角和；
（2）類比二面角，我們稱從點出發(fā)的三條射線組成的圖形為三面角，記為.
其中點稱為三面角的頂點，稱為它的棱，稱為它的面角.
若三面角的三個面角的余弦值分別為.
(i) 求球面的三個內角的余弦值;
(ii) 求球面的面積.