一、單選題（本大題共12小題）
1. 設(shè)不等式的解集為，函數(shù)的定義域?yàn)?，則為
A．B．C．D．
2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則
A．B．C．D．
3. 已知向量，，若，則（ ）
A．B．
C．D．
4. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（ ）
A．B．C．D．
5. 下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上，且漸近線互相垂直的是（ ）
A．B．
C．D．
6. 若函數(shù)f（x）滿足f（1－lnx）＝，則f（2）＝（ ）
A．B．e
C．D．－1
7. 已知互不重合的直線，互不重合的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
8. 如圖所示的程序框圖輸出的是126，則①應(yīng)為（ ）
A．B．C．D．
9. 甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下列結(jié)論中正確的是
①；②；③事件B與事件相互獨(dú)立；④，，是兩兩互斥的事件.
A．②④B．①③C．②③D．①④
10. 已知銳角△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積，且，則S的最大值為（ ）
A．6B．4
C．2D．1
11. 1654年，法國(guó)貴族德?梅雷騎士偶遇數(shù)學(xué)家布萊茲?帕斯卡，在閑聊時(shí)梅雷談了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟納爾兩人進(jìn)行角力比賽，約定勝者可以喝杯酒，當(dāng)肖恩贏20局且尤瑟納爾贏得40局時(shí)他們發(fā)現(xiàn)桌子上還剩最后一杯酒．此時(shí)酒吧老板和伙計(jì)提議兩人中先勝四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以決出勝負(fù)那么分別由肖恩、尤瑟納爾、酒吧伙計(jì)和酒吧老板付費(fèi)，梅雷由于接到命令需要覲見國(guó)王，沒有等到比賽結(jié)束就匆匆離開了酒館．請(qǐng)利用數(shù)學(xué)知識(shí)做出合理假設(shè)，猜測(cè)最后付酒資的最有可能是（ ）
A．肖恩B．尤瑟納爾C．酒吧伙計(jì)D．酒吧老板
12. 已知函數(shù)，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
②函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；
③是函數(shù)的極值點(diǎn)；
④不等式的解集是.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題（本大題共4小題）
13. 若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是 .
14. 已知，則 ．
15. 拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作斜率的直線交拋物線于兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若，則直線AB的斜率k＝ .
16. 如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將沿DE，EF，DF折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是 ．
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為；
；
與PD所成的角為；
與EF所成角為
三、解答題（本大題共7小題）
17. 如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E為AB中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值．
18. “五項(xiàng)管理”是“雙減”工作的一項(xiàng)具體抓手，是促進(jìn)學(xué)生身心健康?解決群眾急難愁盼問題的重要舉措．為了在“控量”的同時(shí)力求“增效”，提高作業(yè)質(zhì)量，某學(xué)校計(jì)劃設(shè)計(jì)差異化作業(yè)．因此該校對(duì)初三年級(jí)的400名學(xué)生每天完成作業(yè)所用時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
(1)求x，y，z的值，并根據(jù)題中的列聯(lián)表，判斷是否有95％的把握認(rèn)為完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上與性別有關(guān)？
(2)學(xué)校從完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取9人了解情況，甲老師再?gòu)倪@9人中選取3人進(jìn)行訪談，求甲老師選取的3人中男生人數(shù)大于女生人數(shù)的概率．
附：．
19. 已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)任意的正整數(shù)n，令，求數(shù)列的前2n項(xiàng)的和.
20. 已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的極小值；
(2)若，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
21. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，，B為橢圓C的上頂點(diǎn)，以B為圓心且過、的圓與直線相切．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知橢圓C上兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），若直線BM和BN的斜率之和為-2，過點(diǎn)B作MN的垂線，垂足為D，試求D點(diǎn)的軌跡方程.
22. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)都在曲線（為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為與，為的中點(diǎn)．
（1）求的軌跡的參數(shù)方程；
（2）將到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離表示為的函數(shù)，并判斷的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)．
23. 已知為正實(shí)數(shù)，.
(1)要使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：，并指出等號(hào)成立的條件.
參考答案
1.【答案】A
【詳解】
試題分析：由于不等式等價(jià)于，解得，
故集合
函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，故集合，
因此通過集合的交集的運(yùn)算可知，
故選：A.
2.【答案】A
【詳解】
因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足zi=2-i,z=-1-2i.選A
3.【答案】C
【分析】
根據(jù)兩向量垂直計(jì)算出參數(shù)的值，再根據(jù)向量的計(jì)算規(guī)則求解即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，所以，解得?br>所以．
故選：C.
4.【答案】A
【分析】
根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.
【詳解】
根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因?yàn)?，所?
故選：A.
5.【答案】A
【分析】
求出漸近線垂直的條件后可得正確的選項(xiàng)．
【詳解】
設(shè)雙曲線的方程為：，則其漸近線為，
因?yàn)闈u近線互相垂直，故即，
故雙曲線的方程為，
故選：A．
6.【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，令，解可得，進(jìn)而在中，令，變形計(jì)算即可得答案．
【詳解】
由1－lnx＝2，得，，即f（2）＝e.
故選：B
7.【答案】D
【分析】
根據(jù)空間直線和平面的位置關(guān)系逐個(gè)進(jìn)行判斷，注意線面關(guān)系的判定方法.
【詳解】
對(duì)于A，如果直線在平面內(nèi)，則無法得出，故不正確；
對(duì)于B，直線只和平面內(nèi)的一條直線垂直，無法得出線面垂直，故不正確；
對(duì)于C，，直線有可能在平面內(nèi)，無法得出，故不正確；
對(duì)于D，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正確.
故選：D.
8.【答案】B
【分析】
由起始條件依次執(zhí)行程序，判斷結(jié)論是或否，直至判斷為否，退出循環(huán).
【詳解】
執(zhí)行程序, 判斷為是，執(zhí)行循環(huán)；
判斷為是，執(zhí)行循環(huán)；
判斷為是，執(zhí)行循環(huán)；
判斷為是，執(zhí)行循環(huán)；
判斷為是，執(zhí)行循環(huán)；
判斷為是，執(zhí)行循環(huán)；
判斷為否，退出循環(huán)，輸出結(jié)果，結(jié)束.
故選：B.
9.【答案】A
【詳解】
根據(jù)條件概率的計(jì)算，結(jié)合題意，即可容易判斷.
【詳解】
由題意，，是兩兩互斥的事件，
，，；
，由此知，②正確；
，；
而
.
由此知①③不正確；
，，是兩兩互斥的事件，由此知④正確；
對(duì)照四個(gè)命題知②④正確；
故選：A.
10.【答案】C
【分析】
由三角形的面積公式求得，再由余弦定理求得，根據(jù)基本不等式可求得答案.
【詳解】
解：由得，又△ABC是銳角三角形，所以，
由余弦定理及得，整理得，所以(負(fù)值舍去)，
所以，所以，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故選：C．
11.【答案】B
【分析】
由題設(shè)求出肖恩、尤瑟納爾每局獲勝的概率，設(shè)決出勝負(fù)的場(chǎng)數(shù)為X，在七局四勝制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判斷出結(jié)果.
【詳解】
由題意，肖恩每局獲勝的概率為，尤瑟納爾每局獲勝的概率為，
先勝四場(chǎng)比賽結(jié)束就是比賽采用七局四勝制，設(shè)決出勝負(fù)的場(chǎng)數(shù)為X，于是得：
，，
，，
顯然有，即，
所以最后付酒資的最有可能是尤瑟納爾.
故選：B
12.【答案】B
【分析】
①，對(duì)函數(shù)變形得到，根據(jù)奇偶性得到的對(duì)稱中心，②③，在①的基礎(chǔ)上，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，確定其零點(diǎn)和極值點(diǎn)情況；④選項(xiàng)，利用前面研究出的奇偶性和單調(diào)性解不等式，求出解集.
【詳解】
，
令，則，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故①正確：
又因?yàn)椋?br>所以在R上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減，
所以只有一個(gè)零點(diǎn)且無極值點(diǎn)，故②③錯(cuò)誤；
由得，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，故④正確：綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是2個(gè).
故選：B
13.【答案】
【分析】
畫出可行域，通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.
【詳解】
，
畫出可行域如下圖所示，
由圖可知，平移基準(zhǔn)直線到點(diǎn)時(shí)，
取得最大值為.
故答案為：
14.【答案】－1
【分析】
利用三角恒等變換公式和齊次式弦化切即可計(jì)算.
【詳解】
.
故答案為：－1.
15.【答案】
【分析】
聯(lián)立直線AB方程和拋物線方程，根據(jù)拋物線定義和焦半徑公式，可解得A或B的坐標(biāo)，根據(jù)過兩點(diǎn)的斜率計(jì)算公式即可求k.
【詳解】
由題可知，設(shè)，，
由已知得，，即①，
的方程：，與聯(lián)立得：，
則②，
由①②解得，，將代入，由k＞0知，解得，
.
故答案為：.
16.【答案】①②③
【分析】
可證明平面,可得正確；連接,取中點(diǎn),異面直線與所成的角為，由余弦定理可證明正確；取中點(diǎn)，連接，異面與所成的角為，由余弦定理可得不對(duì)；異面與所成角的為，由余弦定理可得不對(duì)，從而可得結(jié)果.
【詳解】
的邊長(zhǎng)為4，折成正四面體后，如圖
，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，
，；
連接FG，取中點(diǎn)M，可得，
異面直線PG與DH所成的角的平角為；
，
連接MD，可得．
；
在中，
余弦定理：；對(duì)；對(duì)；
取DF中點(diǎn)N，連接GN，NH，可得
異面GH與PD所成的角的平面角為，
由余弦定理，GH與PD所成的角是；對(duì)；
異面PG與EF所成角的平面角為，
由余弦定理，可得PG與EF所成角不是不對(duì)．
故答案為①②③．
17.【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）通過構(gòu)造中位線的方法來證得平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得二面角的余弦值.
(1)
連接 與交于點(diǎn)O，連接OE，
由分別為的中點(diǎn)，
所以，又平面，平面，
所以平面.
(2)
由，底面，故底面，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，
則，即，
令，則，則，
因?yàn)榈酌?，所以為平面一個(gè)法向量，
所以，
由圖可知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
18.【答案】(1)，沒有95％的把握認(rèn)為完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上與性別有關(guān)
(2)
【詳解】
(1)
由可得：；由可得：；
由可得：；所以列聯(lián)表如下：
，
所以根據(jù)表格數(shù)據(jù)可判斷，沒有95％的把握認(rèn)為完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上與性別有關(guān)．
(2)
抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，
男生人數(shù)大于女生人數(shù)的情況分為：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；
所以所求概率
19.【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)列的第項(xiàng)和數(shù)列前項(xiàng)和的關(guān)系即可得出答案；
（2）將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可得出答案.
(1)
解：由題可知，①，
所以，②，
①②得，所以（*），
又因?yàn)?，所以，符合?）式，
所以；
(2)
由（1）知，，
所以
.
20.【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用求得，然后結(jié)合的單調(diào)性求得的極小值.
（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.
(1)
因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>所以．
由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝－2，
得，解得a＝1．
此時(shí)．
當(dāng)和時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
所以函數(shù)f(x)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值．
(2)
由a＝1得．
因?yàn)閷?duì)于任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．
令，，
所以在[1，2]上恒成立，
則在[1，2]上恒成立．
設(shè)，
則．
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)F(x)在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
21.【答案】(1)
(2)（，或且）
【分析】
（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）當(dāng)直線斜率存在是，設(shè)出直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)求得直線過定點(diǎn)，設(shè)，由求得點(diǎn)的軌跡方程，并排除不符合題意的點(diǎn).
(1)
依題意，，，，，
由橢圓定義知：橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，
所以，，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
(2)
直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，
由消去并化簡(jiǎn)得，
需滿足①，
，
由得，
整理得，
，化簡(jiǎn)得，
此時(shí)，或.
所以直線的方程可化為，
所以直線過點(diǎn)，
若直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓的交點(diǎn)為，
滿足，
因?yàn)椋?，所以?br>，設(shè)，則，
由上述分析可知：或.
當(dāng)時(shí)，直線與交于；
當(dāng) 時(shí)，直線與交于，
依題意可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（，或且）.
22.【答案】（1）,(為參數(shù),)（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)
【詳解】
（1）由題意有，，
因此，
的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．
（2）點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，，故的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)．
23.【答案】(1)
(2)證明見解析，當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立
【分析】
（1）先求得的最小值，然后利用零點(diǎn)分段法來求得的取值范圍.
（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來證得不等式成立.
(1)
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以恒成立，
令，
由解得，
所以的取值范圍是.
(2)
依題意為正實(shí)數(shù)，，所以，
所以，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.男生
女生
總計(jì)
90分鐘以上
80
x
180
90分鐘以下
y
z
220
總計(jì)
160
240
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
男生
女生
合計(jì)
90分鐘以上
80
100
180
90分鐘以下
80
140
220
合計(jì)
160
240
400

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