2022屆寧夏銀川一中高三一模數(shù)學（理）試題一、單選題1．設不等式的解集為，函數(shù)的定義域為，則為（   ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：由于不等式等價于，解得，故集合函數(shù)的定義域為，滿足，故集合，因此通過集合的交集的運算可知，故選：A.2．設復數(shù)滿足，則（   ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為復數(shù)滿足zi=2-i,z=-1-2i.選A3．已知向量，，若，則（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據兩向量垂直計算出參數(shù)的值，再根據向量的計算規(guī)則求解即可得出結果.【詳解】因為，所以，解得，所以．故選：C.4．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據的圖象求得，求得，再根據，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因為，所以.故選：A.5．下列雙曲線中，焦點在軸上，且漸近線互相垂直的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出漸近線垂直的條件后可得正確的選項．【詳解】設雙曲線的方程為：，則其漸近線為，因為漸近線互相垂直，故即，故雙曲線的方程為，故選：A．6．若函數(shù)f（x）滿足f（1－lnx）＝，則f（2）＝（　　）A． B．eC． D．－1【答案】B【分析】根據題意，令，解可得，進而在中，令，變形計算即可得答案．【詳解】由1－lnx＝2，得，，即f（2）＝e.故選：B7．已知互不重合的直線，互不重合的平面，下列命題正確的是（       ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據空間直線和平面的位置關系逐個進行判斷，注意線面關系的判定方法.【詳解】對于A，如果直線在平面內，則無法得出，故不正確；對于B，直線只和平面內的一條直線垂直，無法得出線面垂直，故不正確；對于C，，直線有可能在平面內，無法得出，故不正確；對于D，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正確.故選：D.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為126，則判斷框內的條件可以為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】執(zhí)行程序框圖，列方程計算【詳解】由圖可知輸出，得故時退出循環(huán)，條件為故選：B9．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下列結論中正確的是（   ）①；②；③事件B與事件相互獨立；④，，是兩兩互斥的事件.A．②④ B．①③ C．②③ D．①④【答案】A【解析】根據條件概率的計算，結合題意，即可容易判斷.【詳解】由題意，，是兩兩互斥的事件，，，；，由此知，②正確；，；而.由此知①③不正確；，，是兩兩互斥的事件，由此知④正確；對照四個命題知②④正確；故選：A.【點睛】本題考查互斥事件的判斷，以及條件概率的求解，屬基礎題.10．已知銳角△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積，且，則S的最大值為（       ）A．6 B．4C．2 D．1【答案】C【分析】由三角形的面積公式求得，再由余弦定理求得，根據基本不等式可求得答案.【詳解】解：由得，又△ABC是銳角三角形，所以，由余弦定理及得，整理得，所以(負值舍去)，所以，所以，，當時取等號，故選：C．11．1654年，法國貴族德?梅雷騎士偶遇數(shù)學家布萊茲?帕斯卡，在閑聊時梅雷談了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟納爾兩人進行角力比賽，約定勝者可以喝杯酒，當肖恩贏20局且尤瑟納爾贏得40局時他們發(fā)現(xiàn)桌子上還剩最后一杯酒．此時酒吧老板和伙計提議兩人中先勝四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以決出勝負那么分別由肖恩、尤瑟納爾、酒吧伙計和酒吧老板付費，梅雷由于接到命令需要覲見國王，沒有等到比賽結束就匆匆離開了酒館．請利用數(shù)學知識做出合理假設，猜測最后付酒資的最有可能是（　?。?/span>A．肖恩 B．尤瑟納爾 C．酒吧伙計 D．酒吧老板【答案】B【分析】由題設求出肖恩、尤瑟納爾每局獲勝的概率，設決出勝負的場數(shù)為X，在七局四勝制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判斷出結果.【詳解】由題意，肖恩每局獲勝的概率為，尤瑟納爾每局獲勝的概率為，先勝四場比賽結束就是比賽采用七局四勝制，設決出勝負的場數(shù)為X，于是得：，，，，顯然有，即，所以最后付酒資的最有可能是尤瑟納爾.故選：B12．已知函數(shù)，下列說法中正確的個數(shù)是（       ）①函數(shù)的圖象關于點對稱；②函數(shù)有三個零點；③是函數(shù)的極值點；④不等式的解集是.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①，對函數(shù)變形得到，根據奇偶性得到的對稱中心，②③，在①的基礎上，求導研究其單調性，確定其零點和極值點情況；④選項，利用前面研究出的奇偶性和單調性解不等式，求出解集.【詳解】，令，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖象關于原點對稱，所以的圖象關于點對稱，故①正確：又因為，所以在R上單調遞減，所以在R上單調遞減，所以只有一個零點且無極值點，故②③錯誤；由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故④正確：綜上所述，正確的個數(shù)是2個.故選：B 二、填空題13．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是 _________.【答案】【分析】畫出可行域，通過平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，平移基準直線到點時，取得最大值為.故答案為：14．已知，則______．【答案】－1【分析】利用三角恒等變換公式和齊次式弦化切即可計算.【詳解】.故答案為：－1.15．拋物線的準線與軸相交于點P，過點P作斜率的直線交拋物線于兩點，F為拋物線的焦點，若，則直線AB的斜率k＝_______.【答案】【分析】聯(lián)立直線AB方程和拋物線方程，根據拋物線定義和焦半徑公式，可解得A或B的坐標，根據過兩點的斜率計算公式即可求k.【詳解】由題可知，設，，由已知得，，即①，的方程：，與聯(lián)立得：，則②，由①②解得，，將代入，由k＞0知，解得，.故答案為：.16．如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將沿DE，EF，DF折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是______．異面直線PG與DH所成的角的余弦值為；；與PD所成的角為；與EF所成角為【答案】①②③【分析】可證明平面,可得正確；連接,取中點,異面直線與所成的角為，由余弦定理可證明正確；取中點，連接，異面與所成的角為，由余弦定理可得不對；異面與所成角的為，由余弦定理可得不對，從而可得結果.【詳解】的邊長為4，折成正四面體后，如圖，E，F分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，，；連接FG，取中點M，可得，異面直線PG與DH所成的角的平角為；，連接MD，可得．；在中，余弦定理：；對；對；取DF中點N，連接GN，NH，可得異面GH與PD所成的角的平面角為，由余弦定理，GH與PD所成的角是；對；異面PG與EF所成角的平面角為，由余弦定理，可得PG與EF所成角不是不對．故答案為①②③．【點睛】本題考查兩條異面直線所成角的求法以及空間想象能力，是中檔題. 求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據幾何體的特殊性質建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質求解. 三、解答題17．如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E為AB中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過構造中位線的方法來證得平面.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得二面角的余弦值.【詳解】(1)連接 與交于點O，連接OE，由分別為的中點，所以，又平面，平面，所以平面.(2)由，底面，故底面，建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，設平面的一個法向量為：，則，即，令，則，則，因為底面，所以為平面一個法向量，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18．“五項管理”是“雙減”工作的一項具體抓手，是促進學生身心健康?解決群眾急難愁盼問題的重要舉措．為了在“控量”的同時力求“增效”，提高作業(yè)質量，某學校計劃設計差異化作業(yè)．因此該校對初三年級的400名學生每天完成作業(yè)所用時間進行統(tǒng)計，部分數(shù)據如下表： 男生女生總計90分鐘以上80x18090分鐘以下yz220總計160240400(1)求x，y，z的值，并根據題中的列聯(lián)表，判斷是否有95％的把握認為完成作業(yè)所需時間在90分鐘以上與性別有關？(2)學校從完成作業(yè)所需時間在90分鐘以上的學生中用分層抽樣的方法抽取9人了解情況，甲老師再從這9人中選取3人進行訪談，求甲老師選取的3人中男生人數(shù)大于女生人數(shù)的概率．附：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)，沒有95％的把握認為完成作業(yè)所需時間在90分鐘以上與性別有關(2)【解析】(1)由可得：；由可得：；由可得：；所以列聯(lián)表如下： 男生女生合計90分鐘以上8010018090分鐘以下80140220合計160240400，所以根據表格數(shù)據可判斷，沒有95％的把握認為完成作業(yè)所需時間在90分鐘以上與性別有關．(2)抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，男生人數(shù)大于女生人數(shù)的情況分為：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；所以所求概率19．已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對任意的正整數(shù)n，令，求數(shù)列的前2n項的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據數(shù)列的第項和數(shù)列前項和的關系即可得出答案；（2）將奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和，結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和的公式即可得出答案.【詳解】(1)解：由題可知，①，所以，②，①②得，所以（），又因為，所以，符合（）式，所以；(2)由（1）知，，所以.20．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)的極小值；(2)若，對于任意，當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求得，然后結合的單調性求得的極小值.（2）將不等式轉化為，通過構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】(1)因為的定義域為，所以．由函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y＝－2，得，解得a＝1．此時．當和時，；當時，．所以函數(shù)f(x)在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當x＝1時，函數(shù)f(x)取得極小值．(2)由a＝1得．因為對于任意，當時，恒成立，所以對于任意，當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調遞減．令，，所以在[1，2]上恒成立，則在[1，2]上恒成立．設，則．當時，，所以函數(shù)F(x)在上單調遞減，所以，所以，故實數(shù)m的取值范圍為．【點睛】求解不等式恒成立問題，可考慮采用分離常數(shù)法，分離常數(shù)后，通過構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求得參數(shù)的取值范圍.21．已知O為坐標原點，、為橢圓C的左、右焦點，，B為橢圓C的上頂點，以B為圓心且過、的圓與直線相切．(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知橢圓C上兩點M、N（點與點不重合），若直線BM和BN的斜率之和為-2，過點B作MN的垂線，垂足為D，試求D點的軌跡方程.【答案】(1)(2)（，或且）【分析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）當直線斜率存在是，設出直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關系，根據求得直線過定點，設，由求得點的軌跡方程，并排除不符合題意的點.【詳解】(1)依題意，，，，，由橢圓定義知：橢圓長軸長，所以，，所以橢圓C的標準方程為：．(2)直線斜率存在時，設直線的方程為，，由消去并化簡得，需滿足①，，由得，整理得，，化簡得，此時，或.所以直線的方程可化為，所以直線過點，若直線的方程為，此時直線與橢圓的交點為，滿足，因為，所以，所以，，設，則，由上述分析可知：或.當時，直線與交于；當 時，直線與交于，依題意可知，動點的軌跡方程為（，或且）.22． 已知動點都在曲線（為參數(shù)）上，對應參數(shù)分別為與，為的中點．（1）求的軌跡的參數(shù)方程；（2）將到坐標原點的距離表示為的函數(shù)，并判斷的軌跡是否過坐標原點．【答案】（1）,(為參數(shù),)（2）過坐標原點【詳解】（1）由題意有，，因此，的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．（2）點到坐標原點的距離為，當時，，故的軌跡過坐標原點．23．已知為正實數(shù)，.(1)要使不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：，并指出等號成立的條件.【答案】(1)(2)證明見解析，當，時等號成立【分析】（1）先求得的最小值，然后利用零點分段法來求得的取值范圍.（2）結合二次函數(shù)的性質來證得不等式成立.【詳解】(1)，當且僅當時等號成立.所以恒成立，令，由解得，所以的取值范圍是.(2)依題意為正實數(shù)，，所以，所以，當時等號成立.

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