一、單選題
1．已知集合，且，則的值可能為（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【解析】化簡集合得范圍，結(jié)合判斷四個選項即可.
【詳解】集合，四個選項中，只有，
故選：C．
【點睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題
2．命題“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一個量詞的命題的否定規(guī)律“改量詞，否結(jié)論”分析判斷即可得解.
【詳解】解：因為命題“，”為存在量詞命題，
所以其否定為“，”．
故選：B．
3．“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
【答案】D
【分析】由題知，解得，再根據(jù)充要條件的概念判斷即可.
【詳解】解：因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，解得，
所以“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充要條件.
故選：D
4．函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后根據(jù)零點存在性定理分析判斷即可解出.
【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∵，
，
，
函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.
故選：C
5．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可判斷.
【詳解】，，
，，
，，
.
故選：D.
6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法求得正確答案.
【詳解】對于函數(shù)，解得或，
故函數(shù)的定義域為，
函數(shù)的開口向上，對稱軸為；
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，
的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：D
7．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項，判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.
【詳解】當(dāng)時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，D選項符合；當(dāng)時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，各選項均不符合.綜上，選D.
【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性.
8．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】C
【分析】解方程，得或，作出的圖象，由對稱性只要作的部分，觀察的圖象與直線和直線的交點的個數(shù)即得．
【詳解】,或
根據(jù)函數(shù)解析式以及偶函數(shù)性質(zhì)作圖象，
當(dāng)時，.，是拋物線的一段，
當(dāng)，是由
的圖象向右平移2個單位，并且將每個點的縱坐標(biāo)縮短為原來的一半得到，依次得出y軸右側(cè)的圖象，根據(jù)對稱軸可得左側(cè)的結(jié)論，
時，，的圖象與直線和的交點個數(shù)，分別有3個和5個，
∴函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為，
故選：C．
【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)，解題方法是數(shù)形結(jié)合思想方法，把函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點個數(shù)，由圖象易得結(jié)論．
二、多選題
9．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（）
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
【答案】ACD
【分析】根據(jù)弧度制和角度制的轉(zhuǎn)化公式求得正確答案.
【詳解】化成弧度是，A選項正確.
化成角度是，B選項錯誤.
化成弧度是，C選項正確.
化成角度是，D選項正確.
故選：ACD
10．下列四個選項中錯誤的是 （ ）
A．與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱
B．已知扇形的周長為2，扇形的圓心角為2，則扇形的面積是
C．已知角的終邊經(jīng)過點，則
D．2023°角是第三象限角
【答案】BC
【分析】根據(jù)反函數(shù)、扇形面積、三角函數(shù)的定義、象限角等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對于A：根據(jù)反函數(shù)性質(zhì)可知與互為反函數(shù)，
其圖像關(guān)于對稱，正確；
對于B：扇形的周長為，又因為扇形的圓心角，
所以，則扇形的面積，故B錯誤；
對于C：根據(jù)三角函數(shù)的定義，角的終邊經(jīng)過點，
則，故C錯誤；
對于D：和223°的終邊重合，是第三象限角正確.
故選：BC
三、單選題
11．在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．當(dāng)，時，二氧化碳處于液態(tài)
B．當(dāng)，時，二氧化碳處于氣態(tài)
C．當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
D．當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
【答案】D
【分析】根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項.
【詳解】當(dāng)，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.
當(dāng)，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.
當(dāng)，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.
當(dāng)，時，因, 故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.
故選：D
四、多選題
12．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點定理的基石·布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲布勞威，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題中所給定義，只需判斷是否有解即可.
【詳解】對于A：當(dāng)，即時，該方程無解，故A不滿足；
對于B：當(dāng)時，解得或，滿足定義，故B滿足；
對于C：當(dāng)時，時，解得或，
當(dāng)時，時，無解，綜上C滿足；
對于D：當(dāng)時，解得，故D滿足.
故選：BCD
五、填空題
13．鐘表的分針在一個半小時內(nèi)轉(zhuǎn)過的角是 （以弧度制表示）.
【答案】
【分析】根據(jù)任意角和弧度制的知識求得正確答案.
【詳解】分針是順時針旋轉(zhuǎn)，
一個半小時順時針旋轉(zhuǎn)了，
也即順時針旋轉(zhuǎn)了，
所以轉(zhuǎn)過的角是.
故答案為：
14．函數(shù)的值域為 ．
【答案】
【解析】利用換元法求解，設(shè)，則，而，再利用在定義域內(nèi)為減函數(shù)，可求出函數(shù)的值域
【詳解】解：設(shè)，則，
因為，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
所以，即，
所以函數(shù)的值域為，
故答案為：
15．已知，在區(qū)間上有一個零點，則 .若用二分法求的近似值（精確度0.1），則至少需要將區(qū)間等分 次.
【答案】 1 4
【分析】根據(jù)零點、二分法等知識求得正確答案.
【詳解】在上為減函數(shù)，
又，
∴的零點，故.
設(shè)至少需等分次，則且，
解得，故至少需等分4次.
故答案為：；
16．已知函數(shù)，當(dāng)時，，則的最大值是 ．
【答案】/
【分析】分別求得和時對應(yīng)的自變量的值，結(jié)合的圖象可確定的取值范圍，由此可得結(jié)果.
【詳解】令，解得：；令，解得：；
圖象如下圖所示，
由圖象可知：，，.
故答案為：.
六、解答題
17．計算下列各式的值：
(1)求值：
(2)
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運算求得正確答案.
（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式求得正確答案.
【詳解】（1）原式.
（2）

.
18．已知函數(shù)（）．
(1)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的最小值為，最大值為，求函數(shù)與的表達(dá)式．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間與對稱軸的關(guān)系求解；
（2）分對稱軸與區(qū)間的關(guān)系求函數(shù)最小值，根據(jù)對稱軸與0的大小關(guān)系分類求最大值即可.
【詳解】（1）因為函數(shù)在上是減函數(shù)，且其對稱軸為，
所以．
（2）①當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，；
②當(dāng)時，函數(shù)先減后增；
③當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減．
故；
當(dāng)時，；當(dāng)時，
故
19．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．
【答案】（1）-1；（2）.
【分析】（1）根據(jù)x的范圍，可得，原式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合基本不等式，即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)基本不等式，“1”的妙用，即可求解.
【詳解】（1），
，
，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），
，
，即最大值為；
（2），則，
，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），
，即的最小值為.
【點睛】本題考查基本不等式中配湊法的應(yīng)用、“1”的妙用等知識，應(yīng)用基本不等式時，應(yīng)注意： “一正，二定，三相等”，考查分析理解，求值化簡的能力，屬中檔題.
20．已知函數(shù).
(1)求的定義域；
(2)是否存在實數(shù)，使得為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)或
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.
（2）由進(jìn)行化簡，從而求得的值.
【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，則，得或，
∴函數(shù)的定義域為或.
（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得為奇函數(shù)，
因為，，
所以，即，
所以，所以，
即，解得，故存在實數(shù)，使得為奇函數(shù).
21．海南某橡膠工廠曾被曝光廢氣排放不達(dá)標(biāo)，經(jīng)了解，廢氣需要經(jīng)過嚴(yán)格的過濾程序后排放.過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：）間的關(guān)系為，其中，是正的常數(shù).如果在前消除了20%的污染物，那么
(1)后還剩百分之幾的污染物？
(2)污染物減少百分之四十至少需要花多少時間（精確到）？（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)64%
(2)10
【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，求得，進(jìn)而求得正確答案.
（2）根據(jù)已知條件列方程，由指數(shù)、對數(shù)運算求得正確答案.
【詳解】（1）由題意可知，時，污染物含量，
根據(jù)在前消除了20%的污染物得，，
∴，∴時，，
故后還剩64%的污染物；
（2）假設(shè)污染物減少百分之四十需要花小時，即小時后污染物含量
，∴，又因為，
∴，
∴，，
污染物減少百分之四十至少需要花10小時.
22．已知函數(shù),
（Ⅰ）證明：為奇函數(shù)；
（Ⅱ）判斷單調(diào)性并證明；
（III）不等式對于恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）為奇函數(shù)；（II）在R上為增函數(shù)，證明見解析； （III）．
【詳解】試題分析：（1）由 ，可證得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）該函數(shù)為反比例型函數(shù)，利用單調(diào)性定義可證得函數(shù)在 上為增函數(shù)．（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式可轉(zhuǎn)化為 恒成立，可求得 的取值范圍．
（Ⅰ），為奇函數(shù)．
（II）在R上為增函數(shù)．
,
在R內(nèi)任取，
則，
，
．
在R上為增函數(shù)．
（III）,
又在R上為增函數(shù),
恒成立，，
即時，，
，解得．

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