一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求解集合，結(jié)合交集的概念運(yùn)算可得出結(jié)果.
【詳解】，∴.
故選: C.
2．函數(shù)的定義域是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分式、根式以及零次方的性質(zhì)列式求解.
【詳解】由題意可得，解得且，
所以函數(shù)的定義域是.
故選：D.
3．已知，，則p是q的（ ）．
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用作差法和舉反例結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若，則，
可得，即，
可知由p可以推出q，則p是q的充分條件；
例如，可知，滿足，
但不滿足，可知p不是q的必要條件；
綜上所述：p是q的充分不必要條件.
故選：B.
4．已知，且，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意利用兩角和差公式結(jié)合倍角根式整理得，兩邊平方運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>則，
可得，
又因?yàn)?，則，可知，
可得，兩邊平方可得，
所以.
故選：D.
5．已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，，若，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)與等差數(shù)列前項(xiàng)和得出，，即可代入已知得出答案.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：
，，
則，即，
，
故選：C.
6．如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底B在同一平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)C處測得塔頂A的仰角為，則該鐵塔的高度約為（ ）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）
A．42米B．47米C．38米D．52米
【答案】B
【分析】在中利用正弦定理求，再在中求.
【詳解】在中，由題意可得，
則，
，
由正弦定理可得，
在中，可得，
所以該鐵塔的高度約為47米.
故選：B.
7．設(shè)，，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，
令，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，所以.
故選：A
8．已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法一定正確的是（ ）．
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的周期為2
C．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性對選項(xiàng)逐一分析即可.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以，，
所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，不能確定是否關(guān)于直線對稱，A錯誤；
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
所以，所以，
所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C錯誤，
由與得，即，
故，所以函數(shù)的周期為4，故B錯誤；
，故D正確．
故選：D．
二、多選題
9．下列命題中為真命題的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ABD
【分析】直接利用恒成立問題和存在性問題的知識對選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】對于A，時(shí)，，故A正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯誤；
對于D，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以D正確.
故選：ABD.
10．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，將的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)圖象重合，則關(guān)于，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)圖象關(guān)于對稱B．函數(shù)圖象關(guān)于對稱
C．在單調(diào)遞減D．最小正周期為
【答案】BC
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)關(guān)于對稱求出，得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到，求出對稱軸方程；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，求解對稱中心；C選項(xiàng)，整體法求解單調(diào)遞減區(qū)間；D選項(xiàng)，根據(jù)求出最小正周期.
【詳解】A選項(xiàng)，關(guān)于對稱，則，，
解得，，
又，故當(dāng)時(shí)，，滿足要求，其他均不合要求，
故，
將的圖象向左平移個單位長度得到．
令，則對稱軸為，
顯然不滿足，故A錯誤；
B選項(xiàng)，令，則，
所以對稱中心為，
顯然時(shí)，，故B正確；
C選項(xiàng)，令，整理得，
所以單調(diào)遞減區(qū)間為，
顯然，時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，C正確；
D選項(xiàng)，最小正周期，故D不正確．
故選：BC．
11．已知均為正實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式求解判斷.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，故正確；
由得，同理，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故B正確；
滿足題意，但，故C錯誤；
由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以，故D正確.
故選：ABD.
12．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)P滿足，，，（P，B，D，四點(diǎn)不重合），則下列說法正確的是（ ）．
A．當(dāng)時(shí)，的最小值是1
B．當(dāng)，時(shí)，∥平面
C．當(dāng)，時(shí)，平面平面
D．當(dāng)，時(shí)，直線與平面所成角的正切值的最大值為
【答案】BCD
【分析】對于A：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)在平面內(nèi)，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離；對于B：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)在直線上，根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷；對于C：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)為取的中點(diǎn)，結(jié)合線面垂直關(guān)系分析證明；對于D：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)線面夾角的定義結(jié)合基本不等式分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，即，
則，
可得，則，
可知點(diǎn)在平面內(nèi)，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，可知，
由可得，解得，
所以的最小值是，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：當(dāng)，時(shí)，
則，
可得，則，
由正方體的性質(zhì)可知：∥，且，
則為平行四邊形，可得∥，且，
即，則，
可知點(diǎn)在直線上，直線即為直線，
且∥，平面，平面，
所以∥平面，即∥平面，故B正確；
對于選項(xiàng)C：當(dāng)，時(shí)，
則，
取的中點(diǎn)，可得，
可知點(diǎn)即為點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，平面，則，
設(shè)，連接，
可知，，平面，
所以平面，且平面，可得，
同理可得：，且，平面，
所以平面，
又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，可得平面，
且平面，所以平面平面，故C正確；
對于選項(xiàng)D：當(dāng)，時(shí)，
則，
可知點(diǎn)在平面內(nèi)，
因?yàn)槠矫妗纹矫妫?br>則直線與平面所成角即為直線與平面所成的角，
因?yàn)槠矫妫瑒t直線與平面所成的角為，
可得，
又因?yàn)?，即，則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
可知的最小值為，則的最大值，
所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故D正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量共線或共面的判定定理確定點(diǎn)的位置，方可結(jié)合立體幾何相關(guān)知識分析求解.
三、填空題
13．已知，則 ．
【答案】0
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，
則，所以.
故答案為：0.
14．已知平面向量、、是兩兩夾角均為的單位向量，則 ．
【答案】
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.
【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?、、兩兩夾角均為，，
所以，，則，
故答案為：．
15．“升”是我國古代測量糧食的一種容器，在“升”裝滿后用手指成筷子沿升口刮平，這叫“平升”，如圖所示的“升”，從內(nèi)部測量，其上、下底面均為正方形，邊長分別為和，側(cè)面是全等的等腰梯形，梯形的高為，那么這個“升”的“平升”可以裝 mL的糧食．（結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】1167
【分析】根據(jù)題意求出側(cè)棱長，即可得出棱臺的高，再代入棱臺的體積計(jì)算公式得出答案.
【詳解】根據(jù)題意畫出正四棱臺的直觀圖，其中底面是邊長為20cm的正方形，底面是邊長為10cm的正方形，側(cè)面等腰梯形的高cm，記底面ABCD和底面的中心分別為與，則是正四棱臺的高，

過作平面的垂線，垂足為，則，且,,
則,,
則,
側(cè)面是等腰梯形，
,則,
則棱臺的高,
則由棱臺的體積公式得mL,
故答案為：1167.
16．已知函數(shù)，，，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】為過定點(diǎn)，斜率為的直線，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過定點(diǎn)的切線斜率為，數(shù)形結(jié)合處理恒成立問題.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，
可得切線方程為，
注意到為過定點(diǎn)，斜率為的直線，
把代入切線方程可得，解得，
即過定點(diǎn)的切線斜率為，
若恒成立，則，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
四、問答題
17．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意分析可得數(shù)列為常數(shù)列，則，結(jié)合與之間的關(guān)系分析求解；
（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，
可知數(shù)列為常數(shù)列，且，
則，即，
當(dāng)時(shí)，，
且也符合上式，所以.
（2）由（1）可得，則，
設(shè)的前n項(xiàng)和為，
則，
所以的前n項(xiàng)和為.
五、證明題
18．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.
（2）根據(jù)給定條件，利用等體積法計(jì)算作答.
【詳解】（1）在四棱錐中，因是的中點(diǎn)，則，
在直角中，，有，在矩形中，，有，
又因，在中，，則，
而平面，因此平面，而平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面平面，而平面平面，平面，且，
于是得平面，又平面，則，即是直角三角形，
而，則面積，又面積，
又平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，
得，即，解得，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
六、問答題
19．如圖,在中,,,為線段上一點(diǎn),．
(1)求的值;
(2)當(dāng)時(shí),求線段的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 在中,由正弦定理得到之間的關(guān)系, 在中,由正弦定理得到之間的關(guān)系,根據(jù)和即可得的值;
(2)先由得到,又有,在中,由余弦定理即可得的長.
【詳解】（1）解:由題知在中,由正弦定理可得:
,
即,
在中,由正弦定理可得:
,
即,
因?yàn)?
所以,
所以,
因?yàn)?
所以;
（2）當(dāng)時(shí),
由(1)可知,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
代入化簡可得,
解得或（舍）,
故．
20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；
（2）由（1）可得：，利用分組求和結(jié)合裂項(xiàng)相消法以及等差數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，則，且，
可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
則，所以.
（2）由（1）可得：，
則
，
所以.
七、解答題
21．在四棱錐中，底面是正方形，，且底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．
(1)求與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與直線所成角為？若存在，試說明點(diǎn)位置；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由平行的性質(zhì)得出點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，即可根據(jù)線面角的向量求法得出答案；
（2）根據(jù)已知設(shè)，，得出與，即可由直線與直線所成角為根據(jù)向量夾角的求法列式計(jì)算得出答案.
【詳解】（1）底面是正方形，且底面，
、、兩兩垂直，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則,,
是正方形，
，
平面，平面，
，
面面，平面，
，
，
點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，
點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則，
設(shè)與平面所成角為，
則；
（2），則，，，
設(shè)，，
則，
若直線與直線所成角為，
則，
解得或（舍），
故線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與直線所成角為，
此時(shí)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
八、證明題
22．設(shè)函數(shù)，，．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意，函數(shù)均有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)設(shè)且，證明：．
【答案】(1)答案詳見解析
(2)
(3)證明詳見解析
【分析】（1）先求得，然后對進(jìn)行分類討論來求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）有（1）得到的單調(diào)性，根據(jù)的極大值大于零列不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.
（3）轉(zhuǎn)化要證明的不等式，結(jié)合（2）的結(jié)論來證得不等式成立.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，其中?br>，
當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)，即時(shí)，令解得，
在區(qū)間上單調(diào)遞增；
在區(qū)間上單調(diào)遞減.
綜上所述，時(shí)在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）得，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
依題意可得對任意，均有恒成立，
即
恒成立，
設(shè)，
，
令解得，
所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，單調(diào)遞減，
所以.
所以.
對于函數(shù)
當(dāng)和時(shí)，，所以，
結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)有兩個零點(diǎn).
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
（3）要證明，
即證明，
即證明，
即證明，
注意到
，
所以即證明，
由（2）得，
即，
取代入上式，
得：，，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；，則在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論要做到不重不漏.

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