本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分為150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號(hào)填寫(xiě)在答題卡密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的學(xué)號(hào)填涂在答題卡上.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫(xiě)在答卷紙各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.
4.考生必須保持答題卡的整潔和平整.
第一部分選擇題（共60分）
一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每題5分，共40分）
1.設(shè)全集，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值（ ）
A.-2 B.-2或1 C.2 D.1
4.若：實(shí)數(shù)使得“”為真命題，：實(shí)數(shù)使得“”為真命題，則是的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.已知曲線的離心率為2，則（ ）
A.2 B.2或1 C.-1 D.-9
6.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A. B.1 C. D.2
7.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8.拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.已知函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A.1 B. C. D.0
二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每題5分，少選得2分，共20分）
9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
B.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
C.兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D.平行于同一直線的兩直線平行
10.下列各式正確的是（ ）
A.設(shè)，則
B.已知，則
C.若，則
D.
11.如圖所示，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B.扇形的面積為
C.
D.當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為
12.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，且，則（ ）
A.當(dāng)時(shí)，平面
B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為
C.當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為
D.對(duì)任意，直線與直線都是異面直線
第二部分非選擇題（共90分）
三?填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）
13.已知冪函數(shù)滿足，則__________.
14.已知，求數(shù)列__________.
15.隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)攝影越來(lái)越得到人們的喜愛(ài)，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用“黃金分割構(gòu)圖法”可以讓照片感覺(jué)更自然.更舒適，“黃金九宮格”是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫(huà)面橫堅(jiān)各分三部分，以比例為分隔，4個(gè)交叉點(diǎn)即為黃金分割點(diǎn).如圖，分別用表示黃金分割點(diǎn).若照片的橫?堅(jiān)比例為，設(shè)，則__________.
16.已知函數(shù)的定義域和值域均為的導(dǎo)數(shù)為，，則的取值范圍是__________.
四?解答題（本題共6小題，共70分）（解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）
17.（10分）已知圓，直線，過(guò)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，
（1）當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，求證：直線過(guò)圓心.
（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.
18.（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中并作答.
問(wèn)題：在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且__________.
（1）求角；
（2）若，求的取值范圍.
19.（12分）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且.令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和.
（1）若，求的通項(xiàng)公式；
（2）若為等差數(shù)列，且，求.
20.（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.
（1）求證：；
（2）若點(diǎn)為棱上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.
21.（12分）“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng).某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）
步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過(guò)點(diǎn)；
步驟3：把紙片展開(kāi)，并留下一道折痕；
步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來(lái)越多的折痕.
現(xiàn)對(duì)這些折痕所圍成的圖形進(jìn)行建模研究.若取半徑為6的圓形紙片，如圖，設(shè)定點(diǎn)到圓心的距離為4，按上述方法折紙.以點(diǎn)所在的直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.
（1）若已研究出折痕所圍成的圖形即是折痕與線段交點(diǎn)的軌跡，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記（1）問(wèn)所得圖形為曲線，若過(guò)點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
22.（12分）設(shè)函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為，若，證明：.
深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）龍華高中部2024屆高三第三次月考
數(shù)學(xué)試卷參考答案
1-8ACAB DDBC
9.ABC 10.BCD 11.ACD 12.BCD
13.3 14. 15. 16.
17.（1）由已知，故，所以直線的方程為.
將圓心代入方程易知過(guò)圓心.
（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意；
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，由于，
設(shè)為中點(diǎn)，由勾股定理知，又因?yàn)?，解?
綜上：直線的方程為或.
18.（1）若選①：，則，
，
.
若選②：，由正弦定理得，
，
，
.
若選③：
則，由正弦定理得，
，同②
（2）由正弦定理得，即，
則，
（或化簡(jiǎn)成）
，
的取值范圍是.
19.（1），解得，
，又，
，即，解得或（舍去），
.
（2）為等差數(shù)列，，即，即，解得或，
又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，
即，解得或（舍去）
當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，，解得.
20.（1）平面平面，平面平面平面平面，又平面，故.
（2）在中，
平面平面，平面平面面
平面平面.
以為原點(diǎn)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，其中，則，
取平面法向量，設(shè)與平面所成角為，，解得（舍）或，
則，
設(shè)平面的法向量為，解得
故.
21.（1）如圖，以所在的直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知，
點(diǎn)的軌跡點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸的橢圓，
，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，
消去得，其中，設(shè)，
則，
消去和可得，要使為定值，則，
，此時(shí)存在定點(diǎn)使得和之積為定值.
22.（1），令，.
①當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增：
②當(dāng)時(shí)，，的兩根都小于0，在上大于0，
所以在單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，由，解得，，
，，，在，上單調(diào)遞增：
，，，在上單調(diào)遞減.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減.
（2）證明：由（1）知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿足，.
，
.
令，則.
（i）要證，即證.令，則，
所以在上單調(diào)遞增.又，所以，即，∴.
（ii）要證，即證.
令，，
記，則，，
則在有唯一實(shí)根，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，
∴，即.
由（i）（ii），證得.

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