一、單選題
1．要使方程是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）
A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)≠3C．a(chǎn)≠1且b≠﹣1D．a(chǎn)≠3且b≠﹣1且c≠0
【答案】B
【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
【解析】解：根據(jù)一元二次方程的定義中二次項(xiàng)系數(shù)不為0得，a-3≠0，a≠3．
故選B．
【點(diǎn)睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．當(dāng)a=0時(shí)，上面的方程就不是一元二次方程了，當(dāng)b=0或c=0時(shí)，上面的方程在a≠0的條件下，仍是一元二次方程，只不過是不完全的一元二次方程．
2．下列各題計(jì)算中，正確的是（ ）
A．B．-
C．D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的雙重非負(fù)性判斷A、B；利用二次根式混合運(yùn)算法則判斷C、D.
【解析】A.，若a＜b，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. -，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. ，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. ，正確；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次根式的雙重非負(fù)性以及二次根式混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
3．已知反比例函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)，，若，則的值（ ）
A．一定是正數(shù)B．一定是負(fù)數(shù)C．可能是零D．可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想即可解答本題．
【解析】反比例函數(shù)的函數(shù)圖像分布于第二、四兩個(gè)象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而增大，
當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．
4．如圖，已知，求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到的兩邊的距離相等，且．下列確定點(diǎn)的方法正確的是（ ）
A．為，兩角平分線的交點(diǎn)
B．為的平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)
C．為，兩邊上的高的交點(diǎn)
D．為，兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)
【答案】B
【分析】根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的判定定理作答．
【解析】∵點(diǎn)到的兩邊的距離相等，
∴在的平分線上．
∵，
∴在的垂直平分線上．
即為的平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用以及線段垂直平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，熟知角平分線及線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
5．如果實(shí)數(shù)，滿足，那么點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第一象限或坐標(biāo)軸上D．第二象限或坐標(biāo)軸上
【答案】D
【分析】先判斷出點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的符號(hào)，進(jìn)而判斷點(diǎn)所在的象限或坐標(biāo)軸．
【解析】解：∵，
∴x、y異號(hào)，且y>0，
∴x
∴>
故答案為>.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值求解，把自變量的值代入函數(shù)關(guān)系式計(jì)算，比較結(jié)果即可．
9．直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為6，8，那么斜邊上的中線長(zhǎng)是 ．
【答案】5
【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可．
【解析】解：∵直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為6，8，
∴由勾股定理得，斜邊=10．
∴斜邊上的中線長(zhǎng)=×10=5．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，關(guān)鍵是能正確求出斜邊的長(zhǎng)度．
10．正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，-1），那么k= ．
【答案】-2
【分析】由正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出-1=k+1，即可得出k值．
【解析】解：∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-1），
∴-1=k+1，
∴k=-2．
故答案為：-2．
【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，牢記直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx是解題的關(guān)鍵．
11．一元二次方程的根是 ．
【答案】
【分析】先移項(xiàng)，再把方程的左邊分解因式，從而可把原方程化為兩個(gè)一次方程，再解一次方程即可.
【解析】解： ，


或
解得：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“把方程的右邊化為0，把左邊分解因式，再化為兩個(gè)一次方程”是解本題的關(guān)鍵.
12．關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】＜且.
【分析】由一元二次方程的定義可得，再利用一元二次方程根的判別式列不等式＞再解不等式即可得到答案.
【解析】解： 關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
且＞
由＞
可得＜
＜
綜上：＜且，
故答案為：＜且.
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的定義及一元二次方程根的判別式，掌握利用一元二次方程根的判別式求解字母系數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵.
13．已知直線分別交函數(shù)與函數(shù)的圖像于兩點(diǎn)，若在函數(shù)圖像上存在點(diǎn)，使得恰為等邊三角形，則的面積為 .
【答案】
【分析】先求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)等邊三角形和反比例函數(shù)求出C的坐標(biāo)，利用建立關(guān)于a的方程求出a，然后利用面積公式求解即可．
【解析】∵直線分別交函數(shù)與函數(shù)的圖像于兩點(diǎn)
∴
∵恰為等邊三角形
∴C的橫坐標(biāo)為
若點(diǎn)C在上，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為
∵
∴
即
解得
∴
若點(diǎn)C在上，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為
∵
∴
即
解得
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．一輛汽車，新車購(gòu)買價(jià)20萬元，第一年使用后折舊20%，以后該車的年折舊率有所變化，但它在第二，三年的年折舊率相同．已知在第三年年末，這輛車折舊后價(jià)值11.56萬元，如果設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，那么根據(jù)題意，列出的方程為 ．
【答案】20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【分析】設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，則第二年這就后的價(jià)格為20（1-20%）（1-x）元，第三年折舊后的而價(jià)格為20（1-20%）（1-x）2元，與第三年折舊后的價(jià)格為11.56萬元建立方程．
【解析】設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，有題意，得
20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【點(diǎn)睛】一道折舊率問題，考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答本題時(shí)設(shè)出折舊率，表示出第三年的折舊后價(jià)格并運(yùn)用價(jià)格為11.56萬元建立方程是關(guān)鍵．
15．如圖，垂直平分，垂直平分，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
∴。
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了整體代入的思想。掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，在中，，，，平分，，垂足為，則 ．
【答案】
【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，設(shè)，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【解析】在中，，，，
，
平分，，
，
在和中，，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得，
即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
17．對(duì)于任意的正數(shù)m、n定義運(yùn)算※為：m※n＝，計(jì)算（3※2）×（8※12）的結(jié)果為 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)新定義把所求的式子化為二次根式的和、積的形式，根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解析】解：※※
，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，正確理解新定義的運(yùn)算、掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18．在中，，點(diǎn)D是直線上動(dòng)點(diǎn)，連接，在直線的右側(cè)作等邊，連接，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，線段的長(zhǎng)度為 ．

【答案】6
【分析】以為邊作等邊，連接，可證，可得，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小，的長(zhǎng)最小，即，如圖，過作于，則即為的長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后求解即可．
【解析】解：如圖，以為邊作等邊，連接，

∵，
∴，，
由勾股定理解得，，
∵是等邊三角形，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，即，

∴，
∴，
∴當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小，的長(zhǎng)最小，即，
如圖，過作于，則即為的長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)的位置，
∴，
∴，
由勾股定理解得，，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理等知識(shí)．確定最小值時(shí)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．計(jì)算：（1）
（2）
【答案】（1）；（2） -10
【分析】（1）原式二次根式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；
（1）原式第一項(xiàng)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
【解析】解：（1）
=
=
=；
（2）
=5+9-24
=14-24
=-10．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
20．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．
（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【解析】（1）解：，
，
，
，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
，
，
解得：．
21．如反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)也在反比例函數(shù)圖像上．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求、兩點(diǎn)間的距離．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）設(shè)反比例函數(shù)為：；結(jié)合反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，通過計(jì)算即可得到k的值，從而得到答案；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論以及點(diǎn)也在反比例函數(shù)圖像上，得到a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；通過勾股定理計(jì)算，即可得到答案．
【解析】（1）設(shè)反比例函數(shù)為：
∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)
∴
∴
∴反比例函數(shù)為：；
（2）∵點(diǎn)也在反比例函數(shù)圖像上
∴
∴
∵時(shí)，
∴是的解
∴
∴、兩點(diǎn)間的距離．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式、勾股定理、解分式方程、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)、勾股定理、分式方程的性質(zhì)，從而完成求解．
22．證明：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．（在下列方框內(nèi)畫出圖形）

已知：
求證：
證明：
【答案】見解析
【分析】畫出圖形，利用三角形的內(nèi)角和定理可求解．
【解析】解：如圖，

已知：在中，．
求證：與互余．
證明：∵，，
∴，
∴與互余．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理是本題的關(guān)鍵．
23．一架梯子長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，
(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？
(2)如果梯子的頂端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？
【答案】(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵．
（1）利用勾股定理直接得出的長(zhǎng)即可；
（2）利用勾股定理直接得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案，
【解析】（1）由題意得：米，米，
（米），
答：這個(gè)梯子的頂端距地面有24米；
（2）由題意得：米，
（米），
則：（米），
答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．
24．如圖，已知點(diǎn)在的內(nèi)部，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，交于點(diǎn)分別交于點(diǎn)．
(1)連接，若，求的周長(zhǎng)；
(2)若，求證：平分．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、角平分線的判定定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得；
（2）先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)角平分線的判定定理即可得證．
【解析】（1）∵點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱，
∴．
同理：．
∴的周長(zhǎng)；
（2）∵，Q、R為，的中點(diǎn)，
∴，，
∴．
又∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
∴，
∴平分．
25．經(jīng)銷店為廠家代銷一種新型環(huán)保水泥，當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水泥共需支付廠家費(fèi)用和其他費(fèi)用共100元．該經(jīng)銷店為擴(kuò)大銷售量、提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，計(jì)劃采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸．
（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，此時(shí)的月銷售量是多少噸.
（2）該經(jīng)銷店計(jì)劃月利潤(rùn)為9000元而且盡可能地?cái)U(kuò)大銷售量，則售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？
【答案】（1）60；（2）將售價(jià)定為200元時(shí)銷量最大.
【分析】（1）因?yàn)槊繃嵤蹆r(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸，可求出當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，此時(shí)的月銷售量是多少噸．
（2）設(shè)當(dāng)售價(jià)定為每噸x元時(shí)，根據(jù)當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水泥共需支付廠家費(fèi)用和其他費(fèi)用共100元，當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸，且該經(jīng)銷店計(jì)劃月利潤(rùn)為9000元而且盡可能地?cái)U(kuò)大銷售量，以9000元做為等量關(guān)系可列出方程求解．
【解析】（1）45+×7.5=60；
（2）設(shè)售價(jià)每噸為x元，
根據(jù)題意列方程為：（x - 100）（45+×7.5）=9000，
化簡(jiǎn)得x2 - 420x + 44000=0，
解得x1=200，x2=220（舍去），
因此，將售價(jià)定為200元時(shí)銷量最大.
【點(diǎn)睛】本題考查理解題意能力，關(guān)鍵是找出降價(jià)10元，卻多銷售7.5噸的關(guān)系，從而列方程求解．
26．如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，4），將直線OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線y=kx（k≠0）．
(1)求直線OA的表達(dá)式；
(2)求k的值；
(3)在直線y=kx（k≠0）上有一點(diǎn)B，其縱坐標(biāo)為1．若x軸上存在點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出滿足要求的點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)（7+2，0）或（7﹣2，0）或（0，0）或（6，0）或（，0）
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解；
（2）過點(diǎn)作，交直線于，作軸于，過點(diǎn)作于，由“”可證，可得，，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式可求的值；
（3）分三種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)距離公式可求解．
【解析】（1）設(shè)直線解析式為，
點(diǎn)，
，
，
直線解析式為，
（2）如圖，過點(diǎn)作，交直線于，作軸于，過點(diǎn)作于，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
點(diǎn)，
，
；
（3），
，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)；
設(shè)點(diǎn)，
點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，
，
，，
若時(shí)，
，
解得：或6，
點(diǎn)或；
當(dāng)時(shí)，
，
，
點(diǎn)，或，；
當(dāng)時(shí)，
，
，
點(diǎn)，，
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，或，或或或，．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
27．如圖，在中，，，垂足為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，設(shè)．
（1）用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；
（2）設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）若為直角三角形，求出的長(zhǎng)．
【答案】（1） ；（2），；（3）或
【分析】（1）根據(jù)題意可得△ABC和△BPF為等邊三角形，由及等邊三角形的性質(zhì)得出PF=GF=x，從而表示出DG=BF+FG-BD=2x-1；
（2）由含30°直角三角形的性質(zhì)表示出DE，由（1）可表示出DF，再根據(jù)三角形面積的計(jì)算公式即可解答；
（3）若為直角三角形，則∠PFE=90°或∠PEF=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．
【解析】解：（1）∵在中，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵
∴∠BPF=∠BAC=∠BFP=60°，
∴△BPF為等邊三角形，
∴BF=BP=PF=x，∠PFC=120°，
∵
∴∠BPE=90°，
∴∠FPE=30°，
∴∠FGP=30°，
∴PF=GF=x
又∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，
∴DG=BF+FG-BD=2x-1
故
（2）由（1）可知DF=BD-BF=1-x，
∵∠FGP=30°，∠ADG=90°，
∴EG=2DE
由勾股定理得：，
∴
∴，
∴
∵，解得，
∴定義域?yàn)椋?br>（3）∵∠FPG=30°，
∴若為直角三角形，則∠PFE=90°或∠PEF=90°，
①當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，
∠EFD=120°-90°=30°，
∴△EFG為等腰三角形，
∴DF=DG
∵DF=1-x，DG=2x-1，
∴1-x =2x-1
解得：
②當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，
∠FED=90°-60°=30°，
∴DE=，
∵，DF=1-x，
∴，
解得：
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用上述幾何知識(shí)進(jìn)行推理求解，注意分類討論思想的運(yùn)用．

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