一、單選題
1．下列所述不屬于函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．長方形的面積一定，它的長和寬的關(guān)系B．與x的關(guān)系
C．勻速運(yùn)動的火車，時(shí)間與路程的關(guān)系D．某人的身高和體重的關(guān)系
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量，對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【解析】解：A、長方形的面積一定，它的長和寬成反比例，是函數(shù)關(guān)系，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、隨x的變化而變化，是函數(shù)關(guān)系，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、勻速運(yùn)動的火車，時(shí)間與路程成正比例，是函數(shù)關(guān)系，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、某人的身高和體重不是函數(shù)關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義，理解函數(shù)定義是解答的關(guān)鍵．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知的最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，是整式方程，由這四個(gè)條件判斷即可．
【解析】解：A、分母中有未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；
C、化簡為：，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
3．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，被開方數(shù)不能含有分母，依據(jù)此兩項(xiàng)要求進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A．，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．是最簡二次根式，故此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式的定義，熟記最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
4．下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系以及一元二次方程的求解，對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．
【解析】解：A、的判別式為，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；
B、方程的根為，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，不符合題意；
C、的判別式為，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；
D、的判別式為，方程沒有實(shí)數(shù)根，符合題意；
故選D
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與判別式的關(guān)系以及一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的有關(guān)知識．
5．在下列各式中，二次根式的有理化因式是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】二次根式的有理化因式就是將原式中的根號化去，即可得出答案．
【解析】∵，
∴二次根式的有理化因式是：.
故選C.
6．在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，則的值是（ ）
A．負(fù)數(shù)B．非正數(shù)C．正數(shù)D．非負(fù)數(shù)
【答案】C
【分析】先根據(jù)判斷出函數(shù)圖象所在的象限，進(jìn)而判斷出，的符號，據(jù)此可得出結(jié)論．
【解析】解：∵，
∴反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限．
∵，，
∴點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)，在第四象限，
∴，，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．若式子有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】根據(jù)分式有意義的條件和二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可．
【解析】解：∵式子有意義，
∴，
∴且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵在于熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，分式有意義的條件是分母不為0．
8．化簡：= .
【答案】
【分析】根據(jù)化簡二次根式的法則計(jì)算即可.
【解析】解：=
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了化簡二次根式，熟練掌握化簡二次根式的法則是解題的關(guān)鍵.
9．如果函數(shù)，那么 ．
【答案】
【分析】把代入函數(shù)即可求解．
【解析】解：∵，
∴
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)值求解，解題的關(guān)鍵是把自變量的值代入函數(shù)解析式．
10．計(jì)算： ．
【答案】/
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．
【解析】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11．函數(shù)的定義域是 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行解答即可．
【解析】解：的定義域是：
，
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)的定義域，二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件得出．
12．若是關(guān)于x的正比例函數(shù)，則的值為 ．
【答案】
【分析】利用正比例函數(shù)的定義分析得出，再代入計(jì)算即可求解．
【解析】解：是關(guān)于的正比例函數(shù)，
且，
解得：，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正比例函數(shù)的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
13．已知正比例函數(shù)，如果y的值隨著x的增大而增大，那么m的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)y的值隨著x的增大而增大，得出，即可求出的取值范圍．
【解析】解：∵正比例函數(shù)，y的值隨著x的增大而增大，
∴，
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的值隨著x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y的值隨著x的增大而減?。?br>14．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解： ．
【答案】
【分析】結(jié)合題意，當(dāng)時(shí)，通過求解一元二次方程，得，結(jié)合，即可得到答案．
【解析】解：，
當(dāng)時(shí)，得，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．
15．已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩根，則該三角形的周長為 ．
【答案】10
【分析】解一元二次方程，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論，解得等腰三角形的三邊長，再計(jì)算周長即可．
【解析】解：x2﹣6x+8＝0
（x-4）(x-2)=0
解得x=4或x=2,
當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，2，4時(shí)，不符合題意三角形三邊關(guān)系，不能組成三角形，故舍去，
當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，4，4時(shí)，符合題意三角形三邊關(guān)系，能組成三角形，此時(shí)周長為2+4+4=10
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系，解一元二次方程等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
16．等式成立的條件是 .
【答案】a＞3
【分析】由二次根式有意義的條件,可知二次根式的被開方數(shù)定為非負(fù)實(shí)數(shù),于是可以列出 ≥0,a-3≥0，a≥0根據(jù)分式的分母不為零時(shí),分式有意義,還可列出關(guān)于a的不等式a-3≠0.接下來將所得三個(gè)不等式聯(lián)立求解,即可得到a的取值范圍
【解析】要想等式成立,需要每個(gè)二次根式有意義且分母不為0,則有
等式
解得a＞3
【點(diǎn)睛】此題考查二次根式和分式有意義的條件，解題關(guān)鍵在于使求出它們同時(shí)有意義的條件
17．如圖，正方形的面積是4，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上．則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式是 ．

【答案】
【分析】先根據(jù)正方形的面積得出邊長，進(jìn)而得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義即可解決問題．
【解析】解：正方形的面積是4，
正方形的邊長是2，
有題圖可得出，
把代入反比例函數(shù)，
得，解得，
故反比例函數(shù)的解析式為．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是待定系數(shù)求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握待定系數(shù)求反比例函數(shù)解析式．
18．已知，那么 ．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)大于等于”，得到，則，由此求出，據(jù)此即可得到答案．
【解析】解：∵有意義，
∴，即，
∴是負(fù)數(shù)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件、代數(shù)式求值，掌握二次根式有意義的條件、得出是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．計(jì)算：．
【答案】
【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，再合并即可．
【解析】解：
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20．計(jì)算：．
【答案】
【分析】先把除法轉(zhuǎn)換為乘法，再分別計(jì)算系數(shù)和被開方數(shù)，最后化簡即可．
【解析】
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．二次根式相乘，把系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，被開方數(shù)相乘，并化為最簡二次根式．
21．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根據(jù)公式法求解即可；
（2）根據(jù)因式分解法求解即可．
【解析】（1）解：，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，即，
∴或，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，常見的解法有：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
22．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．
【答案】
【分析】先提公因式，再進(jìn)行配方，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解．
【解析】解：
＝
＝
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握用配方法進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．
23．先化簡再求值：，其中， ．
【答案】
【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母變形，再根據(jù)約分法則化簡，利用分母有理化法則把x、y化簡，代入計(jì)算即可．
【解析】解：原式
＝
，
當(dāng)，
時(shí)：
原式．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的乘法法則、平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
24．已知y與x﹣1成正比例，且當(dāng)x=3時(shí)，y=4．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)x=﹣1時(shí)，求y的值；
（3）當(dāng)﹣3＜y＜5時(shí)，求x的取值范圍．
【答案】（1）y=2x﹣2；（2）﹣4；（3）x的取值范圍是﹣＜x＜．
【分析】（1）利用正比例函數(shù)的定義，設(shè)y=k（x-1），然后把已知的一組對應(yīng)值代入求出k即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；
（2）利用（1）中關(guān)系式求出自變量為-1時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值即可；
（3）先求出函數(shù)值是-3和5時(shí)的自變量x的值，x的取值范圍也就求出了．
【解析】（1）設(shè)y=k（x﹣1），
把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2，
所以y=2（x﹣1），
即y=2x﹣2；
（2）當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4；
（3）當(dāng)y=﹣3時(shí)，x﹣2=﹣3，
解得：x=﹣，
當(dāng)y=5時(shí)，2x﹣2=5，
解得：x=，
∴x的取值范圍是﹣＜x＜．
【點(diǎn)睛】本題考查考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)y=kx+b；再將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；然后解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．
25．如圖，利用22米長的墻為一邊，用籬笆圍成一個(gè)長方形倉庫，中間用籬笆分割出兩個(gè)小長方形，在與墻平行的一邊要開兩扇1米寬的門，總共用去籬笆34米，為了使這個(gè)長方形的面積為96平方米，求和的長．
【答案】AB=8米，BC=12米．
【分析】設(shè)AB為x米，然后表示出BC的長為（36-3x）米，利用矩形的面積計(jì)算方法列出方程求解即可．
【解析】解：設(shè)AB為x米，則BC為（36-3x）米，
x（36-3x）=96，
解得：x1=4，x2=8，
當(dāng)x=4時(shí)，
36-3x=24＞22（不合題意，舍去），
當(dāng)x=8時(shí)，
36-3x=12．
答：AB=8米，BC=12米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出一邊的長，并用未知數(shù)表示出另一邊的長．
26．已知：，并且與x成正比例，與成反比例，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，求：
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式；
(2)求當(dāng)時(shí)的函數(shù)值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，，則，然后利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）把代入（1）求得函數(shù)解析式求解．
【解析】（1）設(shè)，，
則，
根據(jù)題意得：
解得： ，
則函數(shù)解析式是：；
（2）當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意在本題中的正比例系數(shù)和反比例系數(shù)是兩個(gè)不同的值，用不同的字母區(qū)分．
27．“龜兔賽跑”的故事同學(xué)們都非常熟悉，圖中的線段和折線表示“龜兔賽跑”時(shí)路程與時(shí)間的關(guān)系，請你根據(jù)圖中給出的信息，解決下列問題．

(1)填空：折線
表示賽跑過程中 的路程與時(shí)間的關(guān)系，賽跑的全程是 米．
(2)兔子在起初每分鐘跑多少米？烏龜每分鐘爬多少米？
(3)烏龜用了多少分鐘追上了正在睡覺的兔子？
(4)兔子醒來，以48千米/時(shí)的速度跑向終點(diǎn)，結(jié)果還是比烏龜晚到了
分鐘，請你算算兔子中間停下睡覺用了多少分鐘？
【答案】(1)兔子，1500；
(2)兔子在起初每分鐘跑700米，烏龜每分鐘爬50米；
(3)烏龜用了分鐘追上了正在睡覺的兔子．
(4)兔子中間停下睡覺用了分鐘．
【分析】（1）利用烏龜始終運(yùn)動，中間沒有停留，而兔子中間有休息的時(shí)刻，即可得出折線的意義和全程的距離；
（2）根據(jù)圖象中點(diǎn)、實(shí)際意義可得速度；
（3）根據(jù)烏龜?shù)乃俣燃巴米铀X時(shí)的路程即可得；
（4）利用兔子的速度，求出兔子走完全程的時(shí)間，再求解即可．
【解析】（1）解：∵烏龜是一直跑的而兔子中間有休息的時(shí)刻，
∴折線表示賽跑過程中兔子的路程與時(shí)間的關(guān)系；
由圖象可知：賽跑的全過程為米；
故答案為：兔子，；
（2）解：結(jié)合圖象得出：
兔子在起初每分鐘跑（米），烏龜每分鐘爬（米）．
（3）解：（分鐘）
答：烏龜用了分鐘追上了正在睡覺的兔子．
（4）解：千米時(shí)米分，
∵兔子睡覺前跑了米，所用的時(shí)間是分鐘，
∴兔子睡覺后剩余米，所用的時(shí)間為：（分鐘）
∴兔子睡覺用了：（分鐘）
答：兔子中間停下睡覺用了分鐘．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合題意弄清函數(shù)圖象中每個(gè)點(diǎn)的實(shí)際意義是解題的關(guān)鍵．
28．如圖，A為反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，軸，垂足為P．
(1)聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；
(2)聯(lián)結(jié)，若，y軸上是否存在點(diǎn)M，使得，若存在，求出M的坐標(biāo)：若不存在，說明理由，
(3)點(diǎn)B在直線上，且，過點(diǎn)B作直線軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，若的面積為4，求k的值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)k的值為或
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求解；
（2）求得，即可求得從而求得點(diǎn)；
（3）當(dāng)B點(diǎn)在P點(diǎn)右側(cè)，如圖，設(shè)，則可表示出，，利用三角形面積公式得到；當(dāng)B點(diǎn)在P點(diǎn)左側(cè)，設(shè)，則可表示出，，利用三角形面積公式得到，然后分別解關(guān)于k的方程即可．
【解析】（1）解：∵軸，
∴，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為 ；
（2）解：存在，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：當(dāng)B點(diǎn)在P點(diǎn)右側(cè)，如圖，
設(shè)，
∵，
∴，
∵軸，
∴，
∵的面積為4，
∴，解得；
當(dāng)B點(diǎn)在P點(diǎn)左側(cè)，如圖
設(shè)，
∵，
∴，
∵軸，
∴，
∵的面積為4，
∴，解得；
綜上所述，k的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．也考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
29．定義：若兩個(gè)一元二次方程有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，我們就稱這兩個(gè)方程為“同伴方程”．例如和有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，所以這兩個(gè)方程為“同伴方程”．
(1)根據(jù)所學(xué)定義，下列方程屬于“同伴方程”的有________：（只填寫序號即可）
①
②
③
(2)關(guān)于x的一元二次方程與為“同伴方程”，求m的值；
(3)若關(guān)于x的一元二次方程同時(shí)滿足和，且與互為“同伴方程”，求n的值．
【答案】(1)①②
(2)或
(3)或3
【分析】（1）利用題中的新定義判斷即可；
（2）根據(jù)題中的新定義列出有關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（3）求得兩個(gè)方程的根，根據(jù)“同伴方程”的定義即可得出n的值．
【解析】（1）①
解得：，
②，
解得：，
③，
解得，
∴屬于“同伴方程”的有①②，
故答案是：①②；
（2）一元二次方程的解為，
當(dāng)相同的根是時(shí)，則m?1=0，解得；
當(dāng)相同的根是時(shí)，則，解得；
綜上，m的值為1或；
（3）∵關(guān)于x的一元二次方程同時(shí)滿足和，
∴關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根是；
∵的兩個(gè)根是，
∵關(guān)于x的一元二次方程與互為“同伴方程”，
∴或3．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，根的判別式，熟練掌握新定義是解題的關(guān)鍵．
30．閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長補(bǔ)短，威力無比，在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”，如，，它們的積不含根號，我們說這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣解：如，．像這樣通過分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫分母有理化．
解決問題：
(1)比較大?。篲_____（用“”“”或“”填空）；
(2)計(jì)算：；
(3)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2023
【分析】（1）先將兩邊進(jìn)行分母有理化后再進(jìn)行比較大小即可；
（2）先將其中的一項(xiàng)進(jìn)行分母有理化后觀察規(guī)律，再進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)（1）和（2）得到的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】（1）解：，，
即，
，
故答案為：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
①，同理②，
∴①②得：，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，掌握二次根式分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．

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