1. 設(shè)集合，，U為整數(shù)集，＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)并集和補集的定義進行求解.
【詳解】，
故
故選：A
2. 已知函數(shù)，則的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入分段函數(shù)計算即可.
【詳解】由已知，
.
故選：C.
3. 拋物線的焦點坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化拋物線方程為標準方程，從而可求解.
【詳解】化拋物線方程為標準方程，所以焦點坐標為.
故選：C
4. 已知等差數(shù)列滿足，則中一定為零的項是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助等差數(shù)列的基本量進行計算即可.
【詳解】由得，即，所以，所以.
故選：A.
5. 定義在R上的函數(shù)在上是增函數(shù)，且對任意恒成立，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和對稱性求解即可.
【詳解】因為對任意恒成立，
所以函數(shù)關(guān)于對稱，
所以，
又因為函數(shù)在上增函數(shù)，
所以，
所以.
故選：A
6. 已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，且當時，，則當時，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解的解析式.
【詳解】因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，
當時，，
所以，
故選：C
7. 執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的為（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)，本題可轉(zhuǎn)化為當即結(jié)束，經(jīng)計算即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，即經(jīng)過次循環(huán)后，結(jié)合根據(jù)判斷框，
可得，
所以，又，
所以時循環(huán)結(jié)束.
故選：B
8. 已知向量，，若，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標表示可得，結(jié)合二倍角的正切公式計算即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以，得，
所以.
故選：A.
9. 學(xué)校興趣小組為了測量市民活動中心廣場一圓柱狀建筑物的高度，在地面上選取相距120米的兩點M，N，若在M，N處分別測得圓柱狀建筑物的最大仰角為和，則該圓柱狀建筑物的高度約為（ ）

A. 60B. C. 30D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)出圓柱狀建筑物的高度，利用直角三角形的邊角關(guān)系列出方程求解作答.
【詳解】設(shè)圓柱狀建筑物的高度為，則有，即，
所以.
故選：B
10. 設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，又可得：，，結(jié)合，再利用余弦定理即可得解.
【詳解】根據(jù)雙曲線的定義得，
又因為，所以，．
又因為，
所以在中結(jié)合余弦定理的推論得：
，
因為，得的大小為．
故選：C
11. 我們把由半橢圓和半橢圓合成的曲線稱作“果圓”（其中）．如圖，是相應(yīng)半橢圓的焦點．若是等腰直角三角形，則構(gòu)成該“果圓”的兩個半橢圓的離心率之積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得和的關(guān)系式，從而求得兩個半橢圓的離心率之積.
【詳解】因為是等腰直角三角形，所以，
則，即，
則構(gòu)成該“果圓”的兩個半橢圓的離心率之積為
故選：A
12. 已知，且，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為比較，再轉(zhuǎn)化為比較，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，利用單調(diào)性即可得答案.
【詳解】由題知，，
記，則，
當時，，單調(diào)遞增，
故比較的大小關(guān)系，只需比較的大小關(guān)系，
即比較的大小關(guān)系，
記，則，
記，則，
所以在上單調(diào)遞減，
又，
所以，當時，，單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，所以.
故選：D
【點睛】本題難點在于構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成比較的大小關(guān)系后，需要再次構(gòu)造函數(shù)，對學(xué)生觀察問題和分析問題的能力有很高的要求，屬于難題.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則______.
【答案】
【解析】
【分析】計算，再確定共軛復(fù)數(shù)即可.
【詳解】，，故.
故答案為：.
14. 直線與垂直，則的值為______.
【答案】0或
【解析】
【分析】利用兩直線垂直的充要條件計算即可.
【詳解】由題意可知：或.
故答案為：0或
15. 若曲線與直線有兩個交點，實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】畫出圖象，轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點問題，數(shù)形結(jié)合來進行求解.
【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，由題意可得，曲線的圖象為以 為圓心，2為半徑的半圓，
直線l恒過，由圖當直線l與半圓相切時，圓心到直線l的距離 ，
即，解得；
當直線l過B點時，直線l的斜率k＝，
則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍為.
故答案為：
16. 已知函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，求得，結(jié)合的值以及遞推關(guān)系，即可求得結(jié)果.
【詳解】由，得，
于是，
又當時，，故可得，
則.
故答案為：.
三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，通過，，成等比數(shù)列可求得，進而求出.
（2）利用，再進一步裂項操作即可求和.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為（），
因為，且成等比數(shù)列，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可得，
所以
18. 已知的圖象與直線y＝1相切，并且切點橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有零點，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等變換得到函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)圖象的性質(zhì)確定，進而即可求出單調(diào)遞增區(qū)間；(2)利用方程與函數(shù)的零點間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解.
【小問1詳解】
由題可得
，
所以，
因為且圖象與直線y＝1相切，所以切點為函數(shù)圖象的最高點，
所以，所以，
又因為切點橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列，所以，解得，
所以，
令即（），
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
【小問2詳解】
將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，
所以，
因為所以，所以，
所以當即時，有最大值為，
當即時，有最小值為，
因為函數(shù)在上有零點，
所以在上有零點，
所以，所以，
所以.
19. 已知兩點，動點到點的距離是它到點的距離的倍.
（1）設(shè)動點的軌跡為曲線，求的標準方程；
（2）設(shè)直線，若直線與曲線交于兩點，當最小時，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題目條件得到方程，化簡后得到答案；
（2）求出直線過定點，當與直線垂直時，最小，根據(jù)垂直關(guān)系得到斜率，從而求出直線方程.
【小問1詳解】
由題意得，
化簡得，即為動點的軌跡方程；
【小問2詳解】
由直線，即，
可令，
解得，則直線過定點，
設(shè)的圓心為，
當與直線垂直時，最小，此時，
即，得，
直線的方程為.
20. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值為，無極大值.
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程；
（2）求定義域，求導(dǎo)，當時，，當時，，當時，，得到單調(diào)區(qū)間和極值情況.
【小問1詳解】
，
，，
故曲線在點處的切線方程為，即；
小問2詳解】
的定義域為，
故，
當時，，
當時，，當時，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
的極小值為，無極大值.
21. 已知橢圓：的右焦點為F（1，0），短軸長為2.直線過點F且不平行于坐標軸，與有兩個交點A，B，線段的中點為M.
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
（3）延長線段與橢圓交于點P，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由題可知，，，再結(jié)合，解出值即可得解；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，得韋達定理；利用中點坐標公式以及斜率公式得直線的斜率，進而得解；
（3）若四邊形為平行四邊形，則，利用平面向量的線性坐標運算可以用表示點的坐標，再將其代入橢圓方程即可得到關(guān)于的方程，解之即可得解．
【小問1詳解】
由題意可知，，，
，，
橢圓的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立，消去得，，
則，
為線段的中點，，，
，
為定值．
【小問3詳解】
若四邊形為平行四邊形，則，
，，
點在橢圓上，，解得，即，
當四邊形為平行四邊形時，直線的斜率為．
選做題：第22題，23題中 選做一題，多做或做錯按照第一題計分
[選修 4-4: 坐標系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線（為參數(shù)）．
（1）求的極坐標方程；
（2）已知點，曲線的極坐標方程為，與的交點為，與的交點為，，求的面積．
【答案】22
23.
【解析】
【分析】（1）首先將的參數(shù)方程化為普通方程，再化為極坐標方程；
（2）設(shè)點、的極坐標分別為、，即可求出、的極坐標，從而求出，求出點到直線的距離，即可求出面積.
【小問1詳解】
曲線（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，
又，代入上式得，整理得，
即的極坐標方程為.
【小問2詳解】
設(shè)點、的極坐標分別為、，
由，解得，即的極坐標為，
由，解得，即的極坐標為，
所以，
又點到曲線的距離為，
所以.
[選修 4-5: 不等式選講]
23. 已知函數(shù)．
（1）求不等式的解集；
（2）記函數(shù)的最小值為m，若a，b，c均為正實數(shù)，且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）去掉絕對值，再討論得出解集；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性得出，結(jié)合以及換元法，得出，最后由基本不等式得出最值.
【小問1詳解】
由題意可得，
，
不等式等價于或，解得或.
即不等式的解集為.
【小問2詳解】
由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，即函數(shù)在最小值，即.
因為，所以.
令，則
，
當且僅當，即時，取等號.
即的最小值為.

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