一、填空題
1．函數(shù)的定義域?yàn)? ．
【答案】
【分析】由對數(shù)有意義的條件即真數(shù)大于0解不等式即可得解.
【詳解】要使有意義，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
2．已知集合，，則 ．
【答案】
【分析】直接由交集的概念、區(qū)間的表示即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?，所?
故答案為：.
3．的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是 ．
【答案】280
【分析】利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)的展開式通項(xiàng)為，
當(dāng)時，.
故答案為：280
4．已知向量，，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】由向量平行的充要條件可以分別求出的值，從而即可得解.
【詳解】由題意，使得，即有，
解得，從而.
故答案為：.
5．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模等于 ．
【答案】
【分析】設(shè)，代入化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求出，再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.
【詳解】設(shè)，
由可得，
則，解得：，故，
所以復(fù)數(shù)z的模等于.
故答案為：.
6．以下數(shù)據(jù)為某校參加數(shù)學(xué)競賽的19人的成績：66，75，77，69，78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，82，98，83，90，91，則這19人成績的第80百分位數(shù)是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)求百分位數(shù)的解題步驟，可得答案.
【詳解】由小到大排列，則66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，
由，則第位的數(shù)字就是所求百分位數(shù)，即.
故答案為：.
7．在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與以點(diǎn)O為圓心的單位圓交于點(diǎn)，則的值為 ．
【答案】/
【分析】利用三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式與二倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】由三角函數(shù)的定義可知.
故答案為：
8．在高考志愿模擬填報實(shí)驗(yàn)中，共有9個專業(yè)可供學(xué)生甲填報，其中學(xué)生甲感興趣的專業(yè)有3個．若在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生甲隨機(jī)選擇3個專業(yè)進(jìn)行填報，則填報的專業(yè)中至少有1個是學(xué)生甲感興趣的概率為 ．
【答案】
【分析】計(jì)算基本事件總數(shù)，計(jì)算其中沒有感興趣的專業(yè)包含的基本事件數(shù)，利用對立事件解決所求的概率.
【詳解】隨機(jī)選擇3個專業(yè)，基本事件總數(shù)為，
填報的專業(yè)中沒有感興趣的專業(yè)包含的基本事件數(shù)為，
由題可知，填報的專業(yè)中至少有1個是學(xué)生甲感興趣的概率為．
故答案為：.
9．已知的三邊長之比為5∶6∶9，記的三個內(nèi)角的正切值所組成的集合為M，則集合M中的最大元素為 ．
【答案】/
【分析】首先得出，再結(jié)合余弦定理以及平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系即可求解.
【詳解】如圖所示：
不失一般性，不妨分別設(shè)，則由余弦定理有，
故是鈍角，是銳角，
則由大邊對大角可得，所以，
又函數(shù)在上遞增，此時，在上遞增，此時，
所以三個內(nèi)角的正切值最大為，
，，
所以集合M中的最大元素為.
故答案為：.
10．已知A，B是平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，且，點(diǎn)集.若M，，則向量、夾角的余弦值的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由于為點(diǎn)集，則可根據(jù)集合特點(diǎn)判斷點(diǎn)，則可知點(diǎn)與投影有關(guān)，則根據(jù)投影相關(guān)知識點(diǎn)，M，，所以根據(jù)集合特點(diǎn)即可代入計(jì)算.
【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)集，
當(dāng)時，過作于,延長于,使得,
則可知點(diǎn)在線段上運(yùn)動.
因?yàn)?，根?jù)數(shù)量積的幾何含義可知，在上的投影為3，即，
又因?yàn)镸，，則為線段上的兩個點(diǎn)，
所以、夾角最小為，最大為的二倍，
所以、夾角為，則最大為1，最小為
所以范圍為.
故答案為：
11．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】首先由題意得出的符號隨的變化而變化的情況，然后對進(jìn)行分類討論即可得解.
【詳解】由圖可知當(dāng)時，，時，，時，，
當(dāng)時，，故滿足題意；
當(dāng)時，，故滿足題意；
當(dāng)時，或或，故或滿足題意；
綜上所述：不等式的解集為.
故答案為：.
12．若曲線上恰有兩個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】易得方程表示以為圓心，為半徑的圓，求出圓心到直線的距離，由題意可得，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】將方程化為，
當(dāng)時，方程表示點(diǎn)，不符題意，
當(dāng)時，方程表示以為圓心，為半徑的圓，
圓心到直線的距離為，
因?yàn)榍€上恰有兩個點(diǎn)到直線的距離為1，
當(dāng)時，，即直線過圓心，此時圓的半徑為，滿足題意；
當(dāng)時，有，
當(dāng)，即時，，解得；
當(dāng)且，即時，，解得；
當(dāng)時，，則；
綜上，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：方程表示以為圓心，為半徑的圓，求出圓心到直線的距離，由題意得出是解決本題的關(guān)鍵.
二、單選題
13．已知直線：，：，則“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】先根據(jù)兩直線垂直的充要條件求出，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得或，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
14．若函數(shù)是偶函數(shù)，則的對稱軸是直線（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用圖象的變換規(guī)律即可得出答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，
所以函數(shù)是關(guān)于對軸，
所以函數(shù)是關(guān)于對軸，即的對稱軸是直線.
故選：C.
15．一個封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）的上底面半徑為2，下底面半徑為12，母線與底面所成的角為．在圓臺容器內(nèi)放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，則此正方體棱長的最大值是（ ）
A．B．8C．9D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可求出圓臺內(nèi)能放置的最大球的半徑，使正方體外接于球即可求出正方體的最大棱長.
【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可知；又母線與底面所成的角為，即，易得；
設(shè)圓臺內(nèi)能放置的最大球的球心為，且與底面和母線分別切于兩點(diǎn)，
所以可知球的半徑，此時球的直徑為，
即此時球與圓臺上底面不相切，因此圓臺內(nèi)能放置的最大球的直徑為;
若放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，要求正方體棱長最大，需要正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，
設(shè)正方體的最大棱長為，滿足，解得.
故選：B
16．設(shè)且，n為正整數(shù)，集合．有以下兩個命題：①對任意a，存在n，使得集合S中至少有2個元素；②若存在兩個n，使得S中只有1個元素，則，那么（ ）
A．①是真命題，②是假命題B．①是假命題，②是真命題
C．①、②都是假命題D．①、②都是真命題
【答案】A
【分析】對于①命題，令函數(shù)，分和兩種情況，利用零點(diǎn)存在定理得即可判斷；對于②命題，通過舉例說明.
【詳解】對于①命題，設(shè)，令函數(shù)，
因?yàn)?，?br>所以存在有，
當(dāng)時，，
所以存在有，
對于，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以和情況一樣，故①是真命題；
對于②命題，通過①得出一下結(jié)論：越小，集合元素數(shù)量越少，同理得出如果集合只能有一個元素，只能是的區(qū)間存在一個零點(diǎn)，
因此先討論的零點(diǎn)情況（如果只有一個零點(diǎn)，也只有一個零點(diǎn)），
其圖象如下圖：
即時，也滿足
故②是假命題.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用以及由①得出的結(jié)論.
三、解答題
17．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，比較與的大?。?br>【答案】(1)，或
(2)答案見解析
【分析】根據(jù)題意求出等差數(shù)列得首項(xiàng)和公差與等比數(shù)列得首項(xiàng)和公比，再根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解；
（2）記，利用作差法判斷出數(shù)列的單調(diào)性，從而可得出的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，，
得，
解得或，
所以，
或；
（2）因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以，
記，
則，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
18．如圖，在直三棱柱中，已知，，．
(1)求四棱錐的體積；
(2)求直線與平面所成的角的大?。?br>【答案】(1)
(2)
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，首先證明為四棱錐的高，利用解三角形知識求出的長度，然后利用棱錐的體積公式即可求解.
（2）取的中點(diǎn)，連接，則，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證出平面，從而得出為直線與平面所成的角，最后在中，由，即可求出.
【詳解】（1）如圖所示：
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
已知直三棱柱，則平面，
又平面，
則，
又因?yàn)?，且平面?br>所以平面，則為四棱錐的高，
又，，
可得，
則，
所以，
且，
所以四棱錐的體積為：.
（2）如圖所示：
取的中點(diǎn)，連接，則，
又平面，平面，則，
而，且平面，所以平面，
則為直線與平面所成的角，
在中，，
在中， ，
所以，得.
即直線與平面所成的角的大小為.
19．設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小正周期為T．
(1)若函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，求的單調(diào)減區(qū)間；
(2)設(shè)集合，求集合A中所有元素的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)解析式化簡；再根據(jù)圖象平移得到函數(shù)的解析式；最后整體代入法求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）先由函數(shù)解析式求出M和T，再解三角方程求出滿足條件的值，最后求和即可.
【詳解】（1）.
由函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像可知
令，解得.
所以的單調(diào)減區(qū)間為.
（2）
，.
則.
由可得，即
，解得，即集合A中有10個元素.
所以集合A中所有元素之和為.
故集合A中所有元素之和為.
20．已知雙曲線H：的左、右焦點(diǎn)為，，左、右頂點(diǎn)為，，橢圓E以，為焦點(diǎn)，以為長軸．
(1)求橢圓E的離心率；
(2)設(shè)橢圓E交y軸于，，過的直線l交雙曲線H的左、右兩支于C，D兩點(diǎn)，求面積的最小值；
(3)設(shè)點(diǎn)滿足．過M且與雙曲線H的漸近線平行的兩直線分別交H于點(diǎn)P，Q．過M且與PQ平行的直線交H的漸近線于點(diǎn)S，T．證明：為定值，并求出此定值．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析，定值為
【分析】（1）由橢圓和雙曲線中的關(guān)系即可求解.
（2）首先得出，聯(lián)立直線的方程與雙曲線方程，結(jié)合圖形進(jìn)而可以得到的面積的表達(dá)式，通過不斷換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題.
（3）令得，設(shè)方程與雙曲線聯(lián)立得坐標(biāo)，求出直線的斜率為，寫出直線方程并求出與漸近線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，可證是的中點(diǎn).
【詳解】（1）設(shè)橢圓方程，焦距為，
由題意知橢圓E的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)分別為，
所以，
從而橢圓E的離心率為.
（2）如圖所示：
由題意，直線斜率存在，
所以不妨設(shè)直線的方程為，，
又雙曲線漸近線斜率的絕對值為，
且過的直線l交雙曲線H的左、右兩支于C，D兩點(diǎn)，
所以直線的斜率滿足，
將直線與雙曲線方程聯(lián)立，消去得，
而，
所以，
從而的面積為，
因?yàn)?，令，所以?br>從而，
進(jìn)一步令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，.
綜上所述：面積的最小值.
（3）如圖所示：
由題意雙曲線的漸近線方程為即，
當(dāng)時，由對稱性得關(guān)于軸對稱，關(guān)于軸對稱，所以為的中點(diǎn)，故．
下面證明當(dāng)時，即證為的中點(diǎn).
因?yàn)辄c(diǎn)滿足，則，
不妨設(shè)，當(dāng)時，，此時點(diǎn)在直線的左上方，同理可證，點(diǎn)在兩漸近線所夾區(qū)域的上方或下方，不妨設(shè)點(diǎn)在上方區(qū)域.
由題意，
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
由 即，所以，
所以滿足，
同理滿足，
所以直線的斜率：
，
設(shè)直線方程為,
由 得即，
得的橫坐標(biāo)，同理，
所以，
所以為的中點(diǎn)，故為定值1．
綜上： 為定值1．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一問的關(guān)鍵是利用雙曲線、橢圓中的平方關(guān)系；第二問的關(guān)鍵是將三角形面積表達(dá)式求出來利用函數(shù)求最值；第三位關(guān)鍵是先猜后證，猜可以取“特殊值”， 只需證為的中點(diǎn)，可先求出坐標(biāo)再驗(yàn)證.
21．已知，函數(shù)．
(1)若k，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的最大值：
(3)設(shè)，數(shù)列滿足：，，且當(dāng)時，若對一切正整數(shù)n成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)實(shí)數(shù)k的最大值
(3)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程；
（2）轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)小于等于零恒成立，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到實(shí)數(shù)k的最大值；
（3）首先求得、、的范圍，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，考慮當(dāng)時，數(shù)列的單調(diào)性，即可得到所求的最小值．
【詳解】（1）當(dāng)k時，，
，
，
，
曲線在點(diǎn)處的切線方程,即
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，
在區(qū)間恒成立，
由于在區(qū)間最大值為1，所以，即實(shí)數(shù)k的最大值
（3）當(dāng)， ，
（6），
由時，,
可得，
易得，
，
，
當(dāng)時，（理由如圖所示）
所以,
所以,
，
所以，
由的導(dǎo)數(shù)為，
可得在上遞增，
當(dāng)，，
可得當(dāng)時，，
所以，
所以數(shù)列單調(diào)遞增，且有上界，故必有極限，
設(shè)極限為，則，，
解得，
可以知道，.

相關(guān)試卷

上海市大同中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷：

這是一份上海市大同中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷，共4頁。

上海市大同中學(xué)2024屆高三上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題：

這是一份上海市大同中學(xué)2024屆高三上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題，共17頁。

上海市大同中學(xué)2023屆高三上學(xué)期階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題：

這是一份上海市大同中學(xué)2023屆高三上學(xué)期階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題，共27頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

上海市大同中學(xué)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題

上海市大同中學(xué)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題
上海市大同中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試仿真密卷數(shù)學(xué)試題 Word版含答案

上海市大同中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試仿真密卷數(shù)學(xué)試題 Word版含答案
2023屆上海市大同中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023屆上海市大同中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）
2022屆上海市大同中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022屆上海市大同中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部