一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知先求集合B,再根據(jù)并集定義求解即可.
【詳解】因?yàn)樗?
故選：D.
2．已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示求“”的充要條件，再判斷.
【詳解】由，，
則.
所以有，
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、奇偶性以及的值來(lái)確定正確選項(xiàng).
【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以排除C、D項(xiàng)，
，所以排除B項(xiàng)．
故選：A
4．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助媒介數(shù)比較大小即可.
【詳解】依題意，，，而，
所以.
故選：A
5．對(duì)兩個(gè)變量x，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.8995，對(duì)兩個(gè)變量u，v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r2＝﹣0.9568，則下列判斷正確的是（ ）
A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)
B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)
C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)
D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)
【答案】C
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的知識(shí)確定正確選項(xiàng).
【詳解】依題意：，
所以正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，
，所以的線性相關(guān)性較強(qiáng).
故選：C
6．已知，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
B．在上單調(diào)遞增；
C．在上的值域?yàn)椋?br>D．圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
【答案】B
【分析】由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷ABC，由圖象變換判斷D．
【詳解】，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)；
時(shí)，，函數(shù)遞增，B正確；
時(shí)，，，C錯(cuò)；
的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象的解析式為，D錯(cuò)，
故選：B．
7．函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)和偶函數(shù)性質(zhì)得到的單調(diào)性，則得到不等式，解出即可.
【詳解】，且定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，
則在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則在上單調(diào)遞減，
則由，得到，即或，解得，
故選：D.
8．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意首先根據(jù)、雙曲線的定義得出，再結(jié)合即可列出等式求解.
【詳解】
由題意過(guò)點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，且，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
由雙曲線的定義可知，
而，
所以在中，由勾股定理有，即，
解得，即雙曲線的離心率為.
故選：A.
9．若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先確定0是一個(gè)零點(diǎn)，在非0零點(diǎn)中，根據(jù)的正負(fù)分類(lèi)討論化簡(jiǎn)方程，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象進(jìn)行分析可得，注意對(duì)討論作出的圖象．
【詳解】顯然是的一個(gè)零點(diǎn)，
因此除0以外還有3個(gè)解，
時(shí)，方程化為，時(shí)方程化為，
時(shí)，顯然不合題意，
所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
作出函數(shù)和的圖象，
時(shí)圖象為圖1，時(shí)，圖象為圖2，
時(shí)，時(shí)的圖象與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，時(shí)，的圖象是一條射線，圖象與的圖象不可能是三個(gè)交點(diǎn)，
，時(shí)的圖象是一條射線與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，
所以時(shí)，的圖象與的圖象應(yīng)有三個(gè)公共點(diǎn)，
時(shí)，的圖象是一條線段，與有一個(gè)公共點(diǎn)，時(shí)，是一條射線，與應(yīng)有兩個(gè)交點(diǎn)，
由得，，或(舍去)，
經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足要求，
綜上，．
故選：A．

圖1 （） 圖2（）
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)含有參數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題一般先化為方程的解，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，這里變化最多的是一般的函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)，然后利用直線與曲線的關(guān)系進(jìn)行求解．
二、填空題
10．已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為 ．
【答案】/
【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算．
【詳解】，
故答案為：
11．展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 ．
【答案】240
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式公式求解即可.
【詳解】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：
故令，解得
所以常數(shù)項(xiàng)為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題.
12．記曲線的焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)的一條直線與曲線C交于點(diǎn)M（異于原點(diǎn)），且與圓相切，若，則P的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)圓與拋物線都是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)切線方程為：，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出.
【詳解】易知圓和拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
不妨設(shè)切線方程為：，
所以圓心到直線的距離為：，解得，
又因?yàn)?，解得或?br>焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以
則.
若切線方程為：，則時(shí)，
又因?yàn)?，解得或?br>焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以
則.
故答案為：
三、雙空題
13．某射擊小組共有10名射手，其中一級(jí)射手3人，二級(jí)射手5人，三級(jí)射手2人，現(xiàn)選出2人參賽，在至少有一人是一級(jí)射手的條件下，另一人是三級(jí)射手的概率為 ；若一、二、三級(jí)射手獲勝概率分別是0.9，0.7，0.5，則任選一名射手能夠獲勝的概率為 ．
【答案】 /0.25 /0.72
【分析】計(jì)算出至少有一人是一級(jí)射手的情況有幾種，再求出選出的2人中1人是一級(jí)射手另一人是三級(jí)射手的情況的種數(shù)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即得答案；求出任選一名射手，分別是一、二、三級(jí)射手的概率，根據(jù)全概率公式即可求得任選一名射手能夠獲勝的概率.
【詳解】由題意得至少有一人是一級(jí)射手的情況共有種，
選出的2人中1人是一級(jí)射手另一人是三級(jí)射手的情況種，
故選出2人參賽，在至少有一人是一級(jí)射手的條件下，另一人是三級(jí)射手的概率為；
任選一名射手，分別是一、二、三級(jí)射手概率分別為，
而一、二、三級(jí)射手獲勝概率分別是0.9，0.7，0.5，
則任選一名射手能夠獲勝的概率為，
故答案為：，
四、填空題
14．已知，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】由，然后利用四元基本不等式求解.
【詳解】因?yàn)?，，得：?br>則：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)取等號(hào)，
故最小值為：.
故答案為：.
五、雙空題
15．在中，，面積為，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，設(shè)，，則用，表示為 ；若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】 /0.5
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.
【詳解】因?yàn)?，則，可得;
因?yàn)辄c(diǎn)F為的中點(diǎn)，，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，，
由基本不等式,于是，
當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，
則時(shí)，有最小值.
故答案為：；.
六、解答題
16．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再代入已知得，然后由余弦定理可得；
（2）利用二倍角公式得出，再由兩角差的正弦公式計(jì)算．
【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴，，
；
（2），，
，，
∴．
17．如圖，平面，，，，，
(1)求證：//平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；
（3）利用向量法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，
因?yàn)椋矫?，平面?br>所以平面，
又平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
則，
所以直線CE與平面BDE所成角的正弦值為．
（3）因?yàn)?br>所以點(diǎn)F到平面BDE的距離為.
18．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為A，B．已知橢圓的離心率為，．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交y軸于點(diǎn)Q，若四邊形的面積是三角形面積的3倍，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知線段長(zhǎng)度與離心率，求解出的值，然后根據(jù)求解出的值，則橢圓方程可求；
（2）根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形與三角形的面積比，由此得到關(guān)于的關(guān)系式，通過(guò)聯(lián)立直線與橢圓方程求得對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，然后求解出參數(shù)值得的坐標(biāo)，則可求直線方程.
【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以?br>所以，所以，
所以橢圓方程為；
（2）如圖，因?yàn)樗倪呅闻c三角形的面積之比為，
所以三角形與三角形的面積比為，
所以，所以，
顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，所以，
所以，，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故直線的方程為.
19．設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知，，，
(1)求和的通項(xiàng)公式以及
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(1)， ；
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和進(jìn)行求解即可；
（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可；
（3）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋?，，?br>所以有，
；
（2），
；
（3）因?yàn)椋?br>所以有，
，
兩式相減，得，
.
20．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍
(3)若有3個(gè)零點(diǎn)，其中，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．
【答案】(1)
(2)
(3)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）對(duì)恒成立，化簡(jiǎn)分離參數(shù)可得對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出的最大值即可；
（3）將函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，分類(lèi)討論，得使條件成立的的取值范圍，再證明，結(jié)合，，即可得證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
故，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，
即；
（2）對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（3），
，
令，
當(dāng)時(shí)，在恒成立，則，
所以在單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足，舍去；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>則除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，
所以存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，解得，
當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，
則，，所以，
當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；
又，所以，，
而，且，
，且，
所以存在，，使得，
即有3個(gè)零點(diǎn)，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，
因?yàn)?br>，
又，，
所以，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．

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