一、單選題
1．已知為平面的一個(gè)法向量，l為一條直線，為直線l的方向向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)及其法向量與方向向量的關(guān)系，即可判斷得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示：
若，則可以在平面內(nèi)，即，所以充分性不成立；
若，易知，由線面垂直性質(zhì)可知，即必要性成立；
所以可得“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
2．已知，，，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù) （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】若四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)使得成立，代入坐標(biāo)求解即可．
【詳解】若四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)使得成立，
則解得
故選：D．
3．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．
【詳解】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】4．如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，則的值為（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可結(jié)合數(shù)量積的定義即可求解.
【詳解】，
．
故選：C．
5．如圖所示，圓柱形玻璃杯中水的液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件求得橢圓的長(zhǎng)半軸和半焦距，由此求得橢圓的離心率.
【詳解】由題意，設(shè)圓柱底面直徑為，則橢圓短軸長(zhǎng)，橢圓長(zhǎng)軸豎直截面如下圖所示：
由題意及圖，可知為直角等腰三角形，且，
故，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，
所以，
所以橢圓的離心率.
故選：C
6．如圖，四面體A-BCD，△ABD與△BCD均為等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BD，且滿足，，記二面角的平面角為，，則異面直線BE與CF所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)邊長(zhǎng)為2，過(guò)作，交于點(diǎn),由的數(shù)量積求解．
【詳解】由于△ABD與△BCD均為等邊三角形，由可知為的中點(diǎn)，
過(guò)作，交于點(diǎn)，連接，則，,
故的夾角即為二面角的平面角為，故，
設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，
設(shè)與的夾角為，則，
，
即，
則，
，即，
故選：C．
7．已知，是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對(duì)于任意x，，（，），則（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)模長(zhǎng)的最小值，結(jié)合已知數(shù)量積計(jì)算即可得模長(zhǎng).
【詳解】
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值1，兩邊平方即
在時(shí)，取到最小值1，
，
∴，
可得.
.
故選：A.
8．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過(guò)，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（ ）
A．B．3C．6D．
【答案】C
【分析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示，再利用均值不等式得到答案．
【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸，雙曲線實(shí)軸，由題意可知：，

又，，
兩式相減，可得：，，
． ，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的最小值為6，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力．
二、多選題
9．已知不共面的三個(gè)向量都是單位向量，且?jiàn)A角都是，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．不是空間的一組基底
B．不是空間的一組基底
C．向量的模是2
D．向量和的夾角為
【答案】BD
【分析】對(duì)于AB，利用共面向量定理判斷，對(duì)于C，利用求解，對(duì)于D，利用向量的夾角公式計(jì)算.
【詳解】假設(shè)共面，則，
所以，方程組無(wú)解，所以假設(shè)不成立，
所以空間向量不共面，所以是空間的一組基底，A錯(cuò)誤；
假設(shè)共面，則，
即，解得，
所以三個(gè)向量共面，不是空間的一組基底，B正確；
由題意，得，
所以，C錯(cuò)誤；
，設(shè)向量和的夾角為，
則，又，所以，D正確.
故選：BD.
10．已知直線，過(guò)直線上任意一點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則有（ ）
A．四邊形MACB面積的最小值為B．最大度數(shù)為60°
C．直線AB過(guò)定點(diǎn)D．的最小值為
【答案】AD
【分析】，當(dāng)時(shí)有最小值，求出可判斷A；當(dāng)時(shí)最大，可判斷B；設(shè)點(diǎn)，，，求出直線的方程，整理得，由可得直線AB過(guò)的定點(diǎn)可判斷C；直線AB所過(guò)定點(diǎn)為P，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，求出的最小值可判斷D.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，此時(shí)，所以四邊形MACB面積的最小值為，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，，，則，易知在點(diǎn)A、B處的切線方程分別為，，將點(diǎn)分別代入兩切線方程得，，所以直線方程為，整理得，代入，得，
解方程組得所以直線AB過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)直線AB所過(guò)定點(diǎn)為P，則，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)，則的最小值為，故選項(xiàng)D正確，故選：AD.
11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P為空間中一點(diǎn)，，則（ ）
A．當(dāng)，時(shí)，異面直線BP與所成角的余弦值為
B．當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積為
C．當(dāng)，，時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面
D．當(dāng)，時(shí)，異面直線BP和所成角的取值范圍是
【答案】ABD
【分析】根據(jù)向量關(guān)系式確定動(dòng)點(diǎn)位置或軌跡，然后逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.
【詳解】對(duì)于，連接，.由下圖可知，P為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)O.連接PO，BO，則，所以∠BPO或其補(bǔ)角即異面直線BP與所成的角，易得，，，所以，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，由條件可知（），P點(diǎn)的軌速為線段，因?yàn)椋訮到平面的距離為，且的面積為，所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，如下圖，由條件可知（），所以點(diǎn)P在線段EF上（E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)）.因?yàn)槠矫妫云矫婕雌矫?，點(diǎn)P則平面與直線EF的交點(diǎn)，此交點(diǎn)在FE的延長(zhǎng)線上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，由條件可知（），可知點(diǎn)P的軌速為線段，如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，得，，設(shè)，，則，所以，令，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)直線BP和所成的角是；當(dāng)，即時(shí)，，
令，，
所以，即時(shí)，取得最大值，
直線BP和所成角的最小值為，故選項(xiàng)正確.
故選：.
12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作兩漸近線的垂線，垂足分別為、．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率
B．當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時(shí)，的內(nèi)切圓的圓心總在直線上
C．為定值
D．的最小值為
【答案】ACD
【分析】由圓心到漸近線的距離等于半徑求得，從而可得，得離心率，判斷A；設(shè)出的內(nèi)切圓與其三邊的切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)得出點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而判斷B；設(shè)點(diǎn)，求出，代入點(diǎn)在雙曲線上的條件可判斷C；利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判斷D．
【詳解】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，
雙曲線的漸近線為，即，
因?yàn)閳A與雙曲線的漸近線相切，且圓心為，圓的半徑為，
所以，，因?yàn)?，解得?br>則雙曲線，，，，
對(duì)于A選項(xiàng)，雙曲線的離心率．A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，為雙曲線右支上（異于右頂點(diǎn)）一點(diǎn)，
設(shè)的內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為、、，如圖，
由圓的切線性質(zhì)知
，
即，可得，
所以，當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時(shí)，的內(nèi)切圓的圓心總在直線上，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
又雙曲線的漸近線方程為
則，即為定值，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，由已知的方程是，傾斜角為，
所以，則，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D對(duì)．
故選：ACD.
三、填空題
13．點(diǎn)2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．
【詳解】1，，2，，
的夾角為銳角，，且不能同向共線．
解得，．則的取值范圍為．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
14．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】考慮直線與曲線相切，且切點(diǎn)位于第二象限時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由可得，即曲線表示圓的上半圓，
由題意可知直線與曲線有公共點(diǎn)，如下圖所示：
當(dāng)直線與半圓相切且切點(diǎn)位于第二象限時(shí)，
則有，解得.
由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與半圓有公共點(diǎn)，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
15．已知點(diǎn)是橢圓：上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為 .
【答案】2
【分析】由橢圓的方程可得，的值，進(jìn)而求出的值，由角平分線的性質(zhì)可得到，的距離相等，設(shè)為，，設(shè)，則，由為三角形的中位線，可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到面積最大．
【詳解】解：由橢圓的方程可得，，所以，

故，，又平分，則到、的距離相等，設(shè)為，則，
設(shè)，則，，
由是的中位線，易得，
即，由橢圓性質(zhì)易知，存在點(diǎn)為橢圓上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，使，此時(shí)最大，且為.
故答案為：
16．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，,為線段,上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn),,的平面截該正方體的截面記為,則下列命題正確的是 .
①當(dāng)且時(shí),為等腰梯形;
②當(dāng),分別為,的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為;
③當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，與的交點(diǎn)為,滿足;
④當(dāng)且時(shí), 的面積.
【答案】①②
【分析】將①③④三個(gè)命題逐一畫(huà)出圖像進(jìn)行分析,即可判斷出真命題,從而得到正確的序號(hào)；②利用空間向量求點(diǎn)面距，進(jìn)而得體積.
【詳解】①:作圖如下所示,過(guò) 作,交于,截面為
即
即截面為等腰梯形.故①正確.
②:以 為原點(diǎn),、、分別為、、 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則
,,,
,,
設(shè)平面 的法向量為,則
不妨設(shè),則法向量.則點(diǎn)到平面 的距離

.故②正確.
③:延長(zhǎng) 交 的延長(zhǎng)線于一點(diǎn),連接 交 于點(diǎn)

.故③錯(cuò)誤
④:延長(zhǎng) 交 的延長(zhǎng)線于,連接交于,則截面為四邊形

根據(jù)面積比等于相似比的平方得 .
在 中,,
邊上的高為

故④錯(cuò)誤
故答案為: ①②.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方體截面有關(guān)命題真假性的判斷,考查錐體體積計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力.對(duì)于求體積求高時(shí),往往建立空間直角坐標(biāo)系,采用法向量的思想進(jìn)行求解思路比較明確.
四、解答題
17．（1）已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，，若與互相垂直，求k.
（2）已知三角形的頂點(diǎn)是，，.求三角形的面積，
【答案】（1）或（2）
【解析】（1）利用兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出k的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，利用向量模及夾角的公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）,
若與互相垂直，則
即，
化簡(jiǎn)得
解得或
（2）,
,
,,
,
,
18．在中，，
（1）求AB邊的垂直平分線所在的直線方程；
（2）若的角平分線所在的直線方程為，求AC所在直線的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)AB邊的垂直平分線為l，求出，即得AB邊的垂直平分線所在的直線方程；
（2）設(shè)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求出即得解.
【詳解】（1）設(shè)AB邊的垂直平分線為l，
有題可知，，
又可知AB中點(diǎn)為，
l的方程為，即，
（2）設(shè)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
則，解得，所以，
由題可知，兩點(diǎn)都在直線AC上，
所以直線的斜率為，所以直線的方程為，
所以AC所在直線方程為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線方程常用的方法是：待定系數(shù)法，先定式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式），再定量.
19．如圖，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)
【分析】（1）先由證得∥平面，同理證得∥平面，進(jìn)而證得平面∥平面，即可證得平面；
（2）先證得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，由向量夾角余弦公式即可求解.
【詳解】（1）由正方形的性質(zhì)知：，又平面，平面，∥平面，
，平面，平面，∥平面，，平面，
平面∥平面，平面，平面；
（2）
平面平面，平面平面，平面，則平面，
又，則平面，又，則兩兩垂直，以為原點(diǎn)，
的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由得：
，則，
設(shè)平面的法向量為，則，取得，
又易得平面的一個(gè)法向量為，則，
又二面角為銳角，則二面角的余弦值為.
20．將棱長(zhǎng)為1的正方體截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，點(diǎn)在棱上．
(1)當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，求到平面的距離；
(2)當(dāng)在棱上移動(dòng)時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，
（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由空間向量表示出后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解
【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，．
可得，，．
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以所?br>令，得，所以為平面的一個(gè)法向量，
點(diǎn)到平面的距離．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，故可設(shè)，得，
所以．
所以．
令，可得，．
設(shè)，則，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，．
所以的取值范圍是．
21．已知P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓作兩切線，切點(diǎn)分別為A、B.
（1）求四邊形面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）最小值，；（2）AB恒過(guò)定點(diǎn).
【分析】（1）先由題中條件，得到，求出最小值，以及此時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)，先求出以PC為直徑的圓的方程，所得圓的方程與圓的方程作差，即可得出直線AB的方程，從而可得出直線AB過(guò)定點(diǎn).
【詳解】（1）由題意，易知，，
∴
又，
∴，
要使四邊形ACBP面積最小，則PC最小，當(dāng)時(shí)，PC的長(zhǎng)最小.
過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為
將其與聯(lián)立解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，
∴；
（2）設(shè)，又，則，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
因此以PC為直徑的圓的方程為，
整理得，
∵，
∴這個(gè)圓也是四邊形ACBP的外接圓，它與圓C方程相減，得公共弦AB方程：
；
，
令，
∴AB恒過(guò)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
求解兩圓的公共弦所在直線方程是否過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，一般需要先由題中條件，得到兩圓的方程，由兩圓的方程作差整理，得出公共弦所在直線方程，再由直線過(guò)定點(diǎn)的判定方法，即可得出結(jié)果.
22．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)A為下頂點(diǎn)，且AM的斜率為．

(1)求橢圓E的方程；
(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作一條與y軸不重合的直線，該直線交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，直線AD，AC分別交x軸于H，G兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：為定值，并求出該定值．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析，
【分析】（1）根據(jù)橢圓所過(guò)的點(diǎn)和已知的AM的斜率列出方程組求解即可；
（2）設(shè)直線BC：，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理得到C、D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，得到，代入直線方程和韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可得到答案.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，，且AM的斜率為，
所以，
解得，，
所以橢圓E的方程為
（2）證明：由題意知，直線BC的斜率存在，設(shè)直線BC：，
設(shè)，，
由，得，
，得，
則，，
因?yàn)?，直線AD的方程為，
令，解得，
則，同理可得，
所以
為定值，
所以為定值，該定值為

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2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校科學(xué)高中部高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)?？茖W(xué)高中部高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案，共17頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題，應(yīng)用題，證明題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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