?2023—2024 學年度上學期 東北育才超常教育實驗部
少兒35班 數(shù)學學科 階段檢測（一）
考試時間： 120分鐘 試卷滿分： 150分
一．選擇題（共8小題）
1．直線的一個方向向量可以是（　?。?br /> A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
2．已知直線l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，則“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．向量，在直線l方向向量上的投影向量相等，則直線l的斜率為（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．已知圓C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），則當圓C的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為（　?。?br /> A． B．6 C． D．
5．方程|x|﹣1＝表示的曲線為（　?。?br /> A．兩個半圓 B．一個圓 C．半個圓 D．兩個圓
6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則BE與平面EFG所成角的正弦值為（　?。?br /> A． B． C． D．
7．若點A（m，n）在圓C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 上，則的取值范圍為（　?。?br /> A． B． C．[0，4] D．
8．若正方形ABCD的邊長為a，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點（如圖1），沿AE，AF將△ADE，△ABF折起，使得點B，D恰好重合于點P（如圖2），則直線PA與平面PCE所成角的正弦值為（　?。?br />
A． B． C． D．
二．多選題（共4小題）
（多選）9．在下列四個命題中，正確的是（　?。?br /> A．若直線的傾斜角α為銳角，則其斜率一定大于0
B．任意直線都有傾斜角α，且當α≠90°時，斜率為tanα
C．若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為α
D．直線的傾斜角越大，則其斜率越大
（多選）10．已知直線l：ax+（2a﹣3）y﹣3＝0與n：（a+2）x+ay﹣6＝0，則下列選項正確的是（　　）
A．當a＝2時，l∥n B．當時，l⊥n
C．若l∥n，則l，n間的距離為 D．原點到l的距離的最大值為
（多選）11．已知圓C關于x軸對稱，經(jīng)過點（0，1），且被y軸分成兩段，弧長之比為2：1，則圓C的方程為（　　）
A．x2+（y+）2＝ B．x2+（y﹣）2＝
C．（x+）2+y2＝ D．（x﹣）2+y2＝
（多選）12．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為A1B1的中點，P為棱BC上的動點，則下列結論正確的是（　　）
A．存在點P，使AC1⊥平面D1EP
B．存在點P，使PE＝PD1
C．四面體EPC1D1的體積為定值
D．二面角P﹣D1E﹣C1的余弦值取值范圍是
三．填空題（共4小題）
13．過點P（1，2）引一直線l，使點A（2，3）和B（4，﹣5）到l的距離相等，則直線l的方程是：　 ?。?br /> 14．點在圓x2+y2﹣2ax﹣2＝0外，則a的取值范圍為 　 ?。?br /> 15．已知直線l1：y＝kx+3k+2，直線l2：y＝+2，其中k＞1，若直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個凸四邊形，則此四邊形面積的取值范圍是 　 ?。?br /> 16．如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角為60°．設M，N分別為AE，BC的中點，直線BM與平面ADE所成角的正弦值為 　 ?。?br />
四．解答題（共6小題）
17．已知直線l1：（m+2）x+my﹣8＝0與直線l2：mx+y﹣4＝0，m∈R．
（1）若l1∥l2，求m的值，并求出兩平行線間的距離；
（2）若點P（1，m）在直線l2上，直線l過點P，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程．
18．已知△ABC中，B（0，2），C（﹣2，﹣1），角A的平分線在x軸上．
（1）求點B關于x軸的對稱點D的坐標及邊AB，邊AC所在直線的方程；
（2）求△ABC的外接圓的方程．
19．求滿足下列條件的圓的方程．
（1）若圓C1經(jīng)過點（6，6），且圓心與點（2，3）關于直線y＝x對稱，求圓C1的標準方程；
（2）若圓C2與直線和直線都相切，且圓心在x軸上，求圓C2的標準方程．
20．已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．
（1）求AC與平面AEF所成角的正弦值；
（2）求二面角F﹣AE﹣C的正切值；
（3）求點B到平面AEF的距離．
21．將一塊直角三角形木板ABO置于平面直角坐標系中，已知AB＝OB＝1，AB⊥OB，點是三角形木板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鉆掉，可用經(jīng)過點P的任一直線MN將三角形木板鉆成△AMN．設直線MN的斜率為k．
（1）求點M，N的坐標（用k表示）及直線MN的斜率k的范圍；
（2）令△AMN的面積為S，試求出S的取值范圍．
22．某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設計了一道數(shù)學探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊AB、CD、AD的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個“芻甍”（如圖2）．
（1）若O是四邊形EBCF對角線的交點，求證：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小為，求平面OAB與平面ABE夾角的余弦值．


參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．直線的一個方向向量可以是（　?。?br /> A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
【解答】解：直線l的方程可化為y＝，
所以直線l的方向向量為＝（1，），
又因為與平行的向量即可作為直線的方向向量，且（3，2）＝3，
所以向量（3，2）可以是直線l的一個方向向量．
故選：C．
2．已知直線l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，則“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：a＝2時，直線l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x﹣y+2＝0，可得兩條直線的斜率相同，在y軸的截距不同，所以兩條直線平行，
即此時“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的充分條件；
l1∥l2時，則＝≠，整理可得，解得a＝2，此時a＝2”是“l(fā)1∥l2”的必要條件，
綜上所述：“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的充要條件．
故選：C．
3．已知向量，在直線l方向向量上的投影向量相等，則直線l的斜率為（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：設l的方向向量為（x，y），則＝，即（x，y）（1，2）＝（x，y）（3，4），
整理可得：x+2y＝3x+4y，所以x＝﹣y斜率為﹣1．
故選：B．
4．已知圓C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），則當圓C的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為（　?。?br /> A． B．6 C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，圓C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），變形可得（x+1）2+（y﹣m）2＝m2+4m+5，
其圓心為（﹣1，m），半徑為r，則r2＝m2+4m+5＝（m+2）2+1，
當圓C的面積最小時，必有m＝﹣2，此時r2＝1，
圓C的方程為（x+1）2+（y+2）2＝1，
圓心C到原點為距離d＝＝，
則圓上的點到坐標原點的距離的最大值為d+r＝+1，
故選：D．
5．方程|x|﹣1＝表示的曲線為（　?。?br /> A．兩個半圓 B．一個圓 C．半個圓 D．兩個圓
【解答】解：兩邊平方整理得：（|x|﹣1）2＝2y﹣y2，
化簡得（|x|﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
由|x|﹣1≥0得|x|≥1，即x≥1或x≤﹣1，
當x≥1時，方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
表示圓心為（1，1）且半徑為1的圓的右半圓；
當x≤﹣1時，方程為（x+1）2+（y﹣1）2＝1，
表示圓心為（﹣1，1）且半徑為1的圓的左半圓
綜上所述，得方程|x|﹣1＝表示的曲線為兩個半圓
故選：A．

6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則BE與平面EFG所成角的正弦值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，連接BD、AC，且EF、BD分別交AC于H、O．
∵四邊形ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，
故EF∥BD，H為AO的中點，∵EF?平面EFG，BD?平面EFG，
∴BD∥平面EFG，∴BD到平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．
∵BD⊥AC，EF∥BD，∴EF⊥AC，即EF⊥HC，∵GC⊥平面ABCD，
EF?平面ABCD，∴EF⊥GC，∵HC∩GC＝C，∴EF⊥，∵HC∩GC＝C，HC，GC?平面HCG，
∴EF⊥平面HCG，∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，
作OK⊥HG交HG于點K，∵OK?平面HCG，平面EFG∩平面HCG＝HG，
∴OK⊥平面EFG，∴線段OK的長就是點B到平面EFG的距離．
∵正方形ABCD的邊長為2，GC＝2，∴．
∵GC⊥平面ABCD，HC?平面ABCD，∴GC⊥HC，
∴在Rt△HCG中，，根據(jù)Rt△HKO∽Rt△HCG，
有，得，
∵O∈BD，BD∥平面EFG，∴OK的長即為點B到平面EFG的距離，
∴，即BE與平面EFG成角的正弦值為．
故選：D．

7．若點A（m，n）在圓C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 上，則的取值范圍為（　?。?br /> A． B． C．[0，4] D．
【解答】解：因為點A（m，n）在圓C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 上，
則的幾何意義為圓上點與定點P（﹣4，0）的斜率，
因為圓C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 化為標準方程為（x﹣1）2+（y﹣4）2＝16，
由題意可知切線的斜率存在且PB的斜率為0，
設圓C的切線方程為y＝k（x+4），
則＝4，
解得k＝0或k＝，
故k的范圍為[0，]．
故選：B．

8．若正方形ABCD的邊長為a，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點（如圖1），沿AE，AF將△ADE，△ABF折起，使得點B，D恰好重合于點P（如圖2），則直線PA與平面PCE所成角的正弦值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：在正方形中，由AD⊥DE，AB⊥BF，可得PA⊥PE，PA⊥PF，
設a＝2，則BD＝2，EF＝，PE＝DE＝1，PF＝BF＝1，
則滿足PE2+PF2＝EF2，則PE⊥PF，
∵PA，PF，PE三線兩兩垂直，以P為坐標原點，建立空間坐標系如圖：
可得P0，0，0），E（1，0，0），F(xiàn)（0，1，0），A（0，0，2），
設C（x，y，z），由AC＝2，CE＝FC＝1，
得，得x＝，y＝，z＝﹣，即C（，，﹣），
得＝（1，0，0），＝（，，﹣），
設平面PCE的一個法向量＝（x，y，z），
由?＝0，?＝0，得，得，令y＝1，則x＝0，z＝1，
即＝（0，1，1），
所以平面PCE的一個法向量為＝（0，1，1），
又＝（0，0，2），
設PA與平面PCE所成的角為θ，
則sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．
故選：A．

二．多選題（共4小題）
（多選）9．在下列四個命題中，正確的是（　?。?br /> A．若直線的傾斜角α為銳角，則其斜率一定大于0
B．任意直線都有傾斜角α，且當α≠90°時，斜率為tanα
C．若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為α
D．直線的傾斜角越大，則其斜率越大
【解答】解：當0°＜α＜90°時，其斜率k＝tanα＞0，所以A正確；
根據(jù)直線傾斜角的定義可得每一條直線都有一條確定的傾斜角，由斜率定義可得當直線的傾斜角α≠90°時，直線的斜率為tanα，所以 B正確；
若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為β＝α+k×180°，k∈Z，且0°≤β＜180°，故C不正確；
直線的傾斜角為銳角是斜率大于0，傾斜角為鈍角時斜率小于0，故D不正確．
故選：AB．
（多選）10．已知直線l：ax+（2a﹣3）y﹣3＝0與n：（a+2）x+ay﹣6＝0，則下列選項正確的是（　?。?br /> A．當a＝2時，l∥n
B．當時，l⊥n
C．若l∥n，則l，n間的距離為
D．原點到l的距離的最大值為
【解答】解：對于A，l：2x+y﹣3＝0，n：4x+2y﹣6＝0，兩直線重合，錯誤；
對于B，，正確；
對于C，若l∥n，則a2＝（2a﹣3）（a+2），解得a＝2或a＝﹣3．當a＝2時，l，n重合，
當a＝﹣3時，l∥n，∴l(xiāng)的方程為x+3y+1＝0，n的方程為x+3y+6＝0，l，n間的距離為，正確；
對于D，由（x+2y）a﹣3y﹣3＝0，可得l恒過點（2，﹣1），所以原點到l的距離的最大值為，正確．
故選：BCD．
（多選）11．已知圓C關于x軸對稱，經(jīng)過點（0，1），且被y軸分成兩段，弧長之比為2：1，則圓C的方程為（　?。?br /> A．x2+（y+）2＝ B．x2+（y﹣）2＝
C．（x+）2+y2＝ D．（x﹣）2+y2＝
【解答】解：設圓C與y軸的交點為A，B，

∵圓C關于x軸對稱，經(jīng)過點（0，1），
∴可設圓C的方程為（x±a）2+y2＝r2（a＞0），圓心C在x軸上，圓C與y軸的交點A（0，1），B（0，﹣1），
∵弧長之比為2：1，
∴，
則，
∴，
故圓心坐標為，，
故圓的方程為．
故選：CD．
（多選）12．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為A1B1的中點，P為棱BC上的動點，則下列結論正確的是（　　）

A．存在點P，使AC1⊥平面D1EP
B．存在點P，使PE＝PD1
C．四面體EPC1D1的體積為定值
D．二面角P﹣D1E﹣C1的余弦值取值范圍是
【解答】解：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體的棱長為2，
則A（2，0，0），C1（0，2，2），C（0，2，0），E（2，1，2），D1（0，0，2），
則＝（﹣2，2，2），＝（2，1，0），
由?＝﹣2×2+2×1+2×0＝﹣2≠0，即AC1不垂直于D1E，故A錯誤；
設P（a，2，0）（0≤a≤2），||＝||，即為＝，
化為（a﹣2）2+5＝a2+8，解得a＝，故B正確；
平面C1D1E即為平面B1C1D1A1，而BC∥平面C1D1E，又P在BC上，
可得P到平面C1D1E的距離為棱長，且為定值，
又△C1D1E的面積為定值，所以四面體EPC1D1的體積為定值，故C正確；
由＝（2，1，0），＝（a，2，﹣2），設平面PD1E的法向量為＝（x，y，z），
由，可取x＝1，則y＝﹣2，z＝﹣2，
即有＝（1，﹣2，﹣2）．
由DD1⊥平面C1D1E，可得＝（0，0，2）是平面C1D1E的法向量，
則二面角P﹣D1E﹣C1的余弦值為＝＝，
由0≤a≤2可得二面角P﹣D1E﹣C1的余弦值取值范圍是[，]，故D錯誤．
故選：BC．

三．填空題（共4小題）
13．過點P（1，2）引一直線l，使點A（2，3）和B（4，﹣5）到l的距離相等，則直線l的方程是：　3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0　．
【解答】解：A，B的中點為Q（3，﹣1），
由幾何意義知：l∥AB或l是直線PQ時，滿足題意．；
l∥AB時，l方程為y﹣2＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6＝0，PQ方程為：，即3x+2y﹣7＝0；
故直線l的方程是3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0．
故答案為：3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0．
14．點在圓x2+y2﹣2ax﹣2＝0外，則a的取值范圍為 　（﹣，）∪（1，）?。?br /> 【解答】解：∵圓x2+y2﹣2ax﹣2＝0，即（x﹣a）2+（y﹣）2＝3﹣2a2，
∴3﹣2a2＞0，即2a2＜3．可得﹣＜a．
∵點A（2，）在圓x2+y2﹣2ax﹣2＝0外，∴4+3﹣4a﹣6+3a2＞0，∴a＞1或a．
綜上可得，﹣＜a＜或1＜a＜．
故答案為：（﹣，）∪（1，）．
15．已知直線l1：y＝kx+3k+2，直線l2：y＝+2，其中k＞1，若直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個凸四邊形，則此四邊形面積的取值范圍是 ?。?，）　．
【解答】解：易知l1：y＝kx+3k+2＝k（x+3）+2，
直線l2：y＝+2＝，其中k＞1，
兩直線都過定點A（﹣3，2），作出它們的圖象：過A作AN⊥y軸于N，AM⊥x軸于M，
則B（，0），C（0，），M（﹣3，0），N（0，2），
所以S四邊形ABOC＝S△ABM+S△ACN+S矩形AMON
＝+3×2
＝（）+6①，由k＞1得，，
則y＝看成關于的二次函數(shù)，易知其在（0，1）上遞增，
故y∈（0，13），故①式取值范圍是（6，）．
故答案為：（6，）．

16．如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角為60°．設M，N分別為AE，BC的中點，直線BM與平面ADE所成角的正弦值為 　?。?br />
【解答】解：過點E、D分別作直線DC、AB的垂線EG、DH并分別交于點G、H，

因為四邊形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，
由平面幾何知識易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，
則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形，
所以在Rt△EGD和Rt△DHA中，，
∵DC⊥CF，DC⊥CB，且CF∩CB＝C，
∴DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F﹣DC﹣B的平面角，則∠BCF＝60°，
則△BCF是等邊三角形，則CB⊥FN，
因為DC⊥FC，DC⊥BC，F(xiàn)C∩BC＝C，F(xiàn)C?平面FCB，BC?平面FCB，
所以DC⊥平面FCB，因為FN?平面FCB，所以DC⊥FN，
又因為DC∩CB＝C，DC?平面ABCD，CB?平面ABCD，
所以FN⊥平面ABCD，
過點N作AB平行線NK，以N為原點，以NK，NB，NF分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系N﹣xyz，
設，則，
∴，
設平面ADE的法向量為，
由，得，
令x＝，則y＝﹣1，z＝，
則，
設直線BM與平面ADE所成角為θ，
∴sinθ＝|cos|＝＝＝＝．
故答案為：．
四．解答題（共6小題）
17．已知直線l1：（m+2）x+my﹣8＝0與直線l2：mx+y﹣4＝0，m∈R．
（1）若l1∥l2，求m的值，并求出兩平行線間的距離；
（2）若點P（1，m）在直線l2上，直線l過點P，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程．
【解答】解：（1）由l1∥l2，得（m+2）×1＝m×m，∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，
檢驗，當m＝﹣1時，直線l1：x﹣y﹣8＝0與直線l2：x﹣y+4＝0平行，
當m＝2時，直線l1：2x+y﹣4＝0與直線l2：2x+y﹣4＝0重合，
∴m＝﹣1，兩直線分別為x﹣y﹣8＝0和x﹣y+4＝0，
則兩平行線間距離為．
（2）將點P（1，m）代入直線l2，得m＝2，即點P（1，2），
設所求直線y﹣2＝k（x﹣1）（k≠0），
分別令x＝0、y＝0得直線在兩軸截距為2﹣k、，
由題意得，∴k2﹣3k+2＝0，解得k＝1或2，
則所求直線方程為y﹣2＝x﹣1或y﹣2＝2（x﹣1）
即x﹣y+1＝0或2x﹣y＝0．
18．已知△ABC中，B（0，2），C（﹣2，﹣1），角A的平分線在x軸上．
（1）求點B關于x軸的對稱點D的坐標及邊AB，邊AC所在直線的方程；
（2）求△ABC的外接圓的方程．
【解答】解：（1）點B（0，2）關于x軸的對稱點D的坐標為（0，﹣2），
設A（m，0），由題意得kAC+kAB＝0，即．解得m＝﹣4，
所以直線AB的方程為，即x﹣2y+4＝0，
直線AC的方程為，即x+2y+4＝0．
（2）設△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，D2+E2﹣4F＞0，
由，解得D＝，E＝﹣，F(xiàn)＝1，
所以所求圓的方程為．
19．求滿足下列條件的圓的方程．
（1）若圓C1經(jīng)過點（6，6），且圓心與點（2，3）關于直線y＝x對稱，求圓C1的標準方程；
（2）若圓C2與直線和直線都相切，且圓心在x軸上，求圓C2的標準方程．
【解答】解：（1）∵點（2，3）關于直線y＝x對稱的點為（3，2），
∴圓C1的圓心坐標為（3，2），又圓C1經(jīng)過點（6，6），
∴半徑＝5，
∴圓C1的標準方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25；
（2）設圓心C2（a，0），
∵圓C2與直線和直線都相切，
∴，
∴或，
解得a＝2，
∴圓心C2（2，0），又半徑＝2，
∴圓C2的標準方程為（x﹣2）2+y2＝4．
20．已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．
（1）求AC與平面AEF所成角的正弦值；
（2）求二面角F﹣AE﹣C的正切值；
（3）求點B到平面AEF的距離．
【解答】解：（1）由四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC，BC∥AD，因此AE⊥AD．
由于PA⊥平面ABCD，AD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AE，
故AE，AD，PA兩兩垂直，則以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，則A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，，
所以，，，
設平面AEF的一個法向量為，
則，令y＝2，則，
設AC與平面AEF所成角為θ，則．
（2）取AC的中點O，連接FO，又F為PC中點，
所以FO∥PA且，又PA⊥平面ABCD，則FO⊥平面ABCD．
過O作OG⊥AE于G，則∠FGO就是二面角F﹣AE﹣C的平面角，
由圖及題意得FO＝1，，得．
（3）設點B到平面AEF的距離為d，，由（1）知：面AEF的一個法向量為，
所以．
21．將一塊直角三角形木板ABO置于平面直角坐標系中，已知AB＝OB＝1，AB⊥OB，點是三角形木板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鉆掉，可用經(jīng)過點P的任一直線MN將三角形木板鉆成△AMN．設直線MN的斜率為k．
（1）求點M，N的坐標（用k表示）及直線MN的斜率k的范圍；
（2）令△AMN的面積為S，試求出S的取值范圍．

【解答】解：（1）∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，
∴直線OA方程為：y＝x
直線AB方程為：x＝1，
由得M（，）．
∵≥0，
∴k＞1或k≤，
又由得N（1，）且，≥0，
得k≥﹣，
∴﹣≤k≤．∴直線MN的斜率k的范圍為[﹣，]；
（2）S△AMN＝?|AN|?h＝[1﹣][1﹣]＝[4（1﹣k）++4]．
設t＝1﹣k∈[，]，f（t）＝4t+．f′（t）＝4﹣．
又t∈[，]，∴f′（t）≥0，
∴f（t）在[，]是單調遞增．
∴當t＝，時，f（t）＝，即當1﹣k＝時，即k＝﹣時，
（S△）max＝[+4]＝，t＝，（S△）min＝，
S的取值范圍為[，]．
22．某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設計了一道數(shù)學探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊AB、CD、AD的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個“芻甍”（如圖2）．

（1）若O是四邊形EBCF對角線的交點，求證：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小為，求平面OAB與平面ABE夾角的余弦值．

【解答】解：（1）取CF的中點H，連接GH，OH，如圖所示，
∵四邊形EBCF是矩形，且CB＝2BE，
∴O為線段BF與CE的中點，∴OH∥BC，且OH＝，
由圖1可知，AG∥BC且AG＝，EF∥BC，且EF＝BC，
∴在圖2中，AG∥BC且AG＝，
∴AG∥OH且AG＝OH，
∴四邊形AOHG是平行四邊形，∴AO∥GH，
又∵AO?平面GCF，GH?平面GCF，
∴AO∥平面GCF．
（2）由圖1可知，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在圖2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，
∴∠AEB即為二面角A﹣EF﹣B的平面角，
∴∠AEB＝，
以E為坐標原點，，分別為x軸和y軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，
設CB＝2BE＝2EA＝4，
則E（0，0，0）B（2，0，0），F(xiàn)（0，4，0），O（1，2，0），
又∵EF⊥AE，EF⊥BE，AE∩BE＝E，
∴EF⊥平面ABE，∴點A在xOz平面上，
∴＝（0，4，0）為平面ABE的一個法向量，
又∵∠AEB＝，AE＝2，∴A（﹣1，0，），
∴＝（﹣2，﹣2，），＝（1，﹣2，0），
設平面OAB的一個法向量為＝（x，y，z），
則，即，取y＝1得，
∴，
∴平面OAB與平面ABE夾角的余弦值為|cos＜，＞|＝＝＝．

聲明：試題解析著作權屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/9/26 9:13:25；用戶：紀璇；郵箱：ccsyb11@xyh.com；學號：22439989

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