河南省焦作市博愛縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知，則（）
A．B．
C．D．
2．已知函數(shù)滿足，則下列描述正確的是（）
A．點(diǎn)與點(diǎn)在軸同側(cè)
B．若的圖象在處的切線斜率小于0，則一定存在點(diǎn)在軸下方
C．與的圖象可能與軸交于同一點(diǎn)
D．函數(shù)不一定存在零點(diǎn)
3．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一動點(diǎn)，若，則的最大值為（）
A．B．C．1D．2
4．已知A，B，C三點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)O在直線l外，滿足，其中，為等差數(shù)列中的項(xiàng)，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（）
A．1010B．1011C．1012D．1013
5．已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
6．已知圓，直線，若當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時(shí)，直線被圓所截得的弦長的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值為（）
A．B．C．D．
7．下列關(guān)于空間向量的命題中，錯誤的是（）
A．若非零向量，，滿足，，則有
B．任意向量，，滿足
C．若，，是空間的一組基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面
D．已知向量，，若，則為銳角
8．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）種.
A．408B．120C．156D．240
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項(xiàng)，每選對1個得3分；若只有3個正確選項(xiàng)，每選對1個得2分.
9．盒子中有12個乒乓球，其中8個白球4個黃球，白球中有6個正品2個次品，黃球中有3個正品1個次品．依次不放回取出兩個球，記事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
10．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論正確的是（）
A．是偶函數(shù)
B．在區(qū)間單調(diào)遞增
C．在有3個零點(diǎn)
D．的最大值為2
11．已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若直線與直線平行，則
B．直線傾斜角的范圍為
C．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直
D．直線過定點(diǎn)
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，且，則 .
13．已知正三棱錐，底面是邊長為2的正三角形，若，且，則正三棱錐外接球的半徑為．
14．對任意的實(shí)數(shù)，圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
16．（15分）如圖，四邊形是平行四邊形，為的中點(diǎn).以為軸，將折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，以為軸，將折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，設(shè)平面平面直線.
(1)求證：直線平面；
(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.
17．（15分）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)M滿足，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線，求這兩條切線的方程．
18．（17分）已知動點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大，點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線是中心在原點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長為．
(1)求曲線、的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，與曲線相交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程．
19．（17分）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；
(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；
(3)給定實(shí)數(shù)且，試判斷是否存在直線，使得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，請說明理由.
參考答案
一、單項(xiàng)選擇題
1．【答案】A
【解析】令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，即，故，
因?yàn)?，所以，即，故?br>所以，
故選：A.
2．【答案】C
【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，不在軸同側(cè)，所以A錯誤；
對于選項(xiàng)B，因?yàn)榈膱D象在處的切線斜率小于0，所以，
又，所以，如果，則，滿足，且，，但的圖象恒在軸上方，所以B錯誤；
對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋绻?，則與的圖象可能與軸交于同一點(diǎn)，所以C正確；
對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，則，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，所以D錯誤.
故選：C.
3．【答案】A
【解析】設(shè)BD、AE交于O，因?yàn)椋?br>所以，所以,
所以，則，
所以，
因?yàn)镺、F、B三點(diǎn)共線，
所以，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)，
所以，
故選：A
4．【答案】C
【解析】由三點(diǎn)共線，且，可得，
又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，可得.
故選：C.
5．【答案】D
【解析】復(fù)數(shù)滿足，
則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓，
則橢圓短半軸長為，橢圓方程為，
表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓長軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值大值2；
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓短軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值小值；
故的取值范圍為，
故選：D
6．【答案】C
【解析】由題意可知，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，
直線交軸于點(diǎn)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，
此時(shí)，，原點(diǎn)到直線的距離取最大值，即，
因?yàn)橹本€被圓所截得的弦長的最小值為，即，解得.
故選：C.
7．【答案】B
【解析】A：因?yàn)?，，是非零向量，所以由，，可得，因此本選項(xiàng)說法正確；
B：因?yàn)橄蛄浚?不一定是共線向量，因此不一定成立，所以本選項(xiàng)說法不正確；
C：，，是空間的一組基底，
且
所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)說法正確；
D：，
當(dāng)時(shí)，，
若向量，同向，則有，
所以有，則（舍去）
所以向量，不能同向，
因此為銳角，故本選項(xiàng)說法正確，
故選：B.
8．【答案】A
【解析】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），
當(dāng)“樂”排在第一節(jié)有（種），
當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有（種），
當(dāng)“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有（種），
則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有（種），
故選：．
二、多項(xiàng)選擇題
9．【答案】AD
【解析】對A，，，所以,故A正確；
對B，事件“第次取球，取到正品”，，故B錯誤；
對C，事件“第次取球，取到正品且第次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黃，正白），（正黃，次白），共有種情況，
，故C錯誤；
對D，事件“第次取球，取到白球且第次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黃正），（白次，白正），（白次，黃正），共有種情況，
，又因?yàn)椋?故D正確；故選AD.
10．【答案】ACD
【解析】對于A：，又函數(shù)的定義域?yàn)?，A正確；
對于B：當(dāng)時(shí)，，其在單調(diào)遞減，B錯誤；
對于C：令，即，
畫出函數(shù)在上的圖象如下圖：
,
為實(shí)線圖象，為虛線圖象，
觀察圖象可得，兩個函數(shù)圖象在上有3個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，
故在有3個零點(diǎn)，C正確；
對于D：對于，明顯其最大值可以取到，對于，明顯其最大值也可以取到，
當(dāng)時(shí)，和可同時(shí)取到最大值，所以的最大值為2，D正確.
故選：ACD.
11．【答案】BC
【解析】選項(xiàng)A，存在斜率，
直線方程可化為：，
直線也存在斜率，方程可化為，
由，則兩直線平行的充要條件為，
即解得或，故A錯誤；
選項(xiàng)B，由直線的斜率，
則傾斜角的范圍為，故B正確；
選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，直線，斜率為，
又直線的斜率為，則兩直線斜率之積為，故兩直線垂直，C正確；
選項(xiàng)D，，令，得，
故直線過定點(diǎn)，不過，D錯誤.
故選：BC.
三、填空題
12．【答案】
【解析】解：由題意，，
則由正弦定理可得，
∵，∴，∴，
又∵，則，
∴，
∴.又由，
可得：，則，
∴，即，則，
∴，即，由解得：，
∴由解得：，.
∴由正弦定理可得：，解得：，，
∴.
故答案為：
13．【答案】/
【解析】設(shè)正三棱錐的底面中心為點(diǎn)，連接，則面，
連接并延長，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，
因?yàn)榈酌媸钦切危?br>則為的中點(diǎn)，，，
又，面，面，
所以面，又因?yàn)槊妫?br>所以，又因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，故面，又因?yàn)槊妫?br>所以面，
因?yàn)槊?，面，所以?br>因?yàn)槿忮F是正三棱錐，且底面是邊長為2的正三角形，
所以兩兩垂直，且，
將其補(bǔ)形成棱長為正方體，如圖：
所以正三棱錐外接球的半徑為.
故答案為：
14．【答案】
【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑，
直線方程可化為，
令解得，所以直線過定點(diǎn)，
顯然當(dāng)直線與圓相切或相交時(shí)，取最小值且，
不妨令直線過原點(diǎn)，將代入，此時(shí)，
設(shè)圓心到直線的距離為，當(dāng)直線與垂直時(shí)，取得最大值，下面證明：
當(dāng)與直線垂直時(shí)，記為直線，
當(dāng)不與直線垂直且直線不經(jīng)過時(shí)，記為直線，
過作交于點(diǎn)，如下圖所示，
由圖可知為直角三角形，且為斜邊，所以，
所以取最大值時(shí)，與直線垂直時(shí)，
故，，
但此時(shí)的方程為，即為，
此時(shí)無論取何值都無法滿足要求，故取不到，
所以，
故答案為：
四、解答題
15．（13分）【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得
，
因?yàn)?、，則，可得，
所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
故，
因此，面積的最大值為.
16．（15分）【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）由題意知，分別取的中點(diǎn)，連接，則，.
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫妫?br>所以平面，同理平面，所以//.
因?yàn)槠矫嫫矫?，所?/平面.
因?yàn)槠矫嫫矫嬷本€，所以//.
又平面，所以直線平面.
（2）
不妨設(shè)，所以平行四邊形中，，
所以.
又平行四邊形中，，
所以，所以，即.
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，直線為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.
又，則，
所以，所以.
設(shè)平面的法向量為，則得
令，則，所以平面的一個法向量為.
由（1）知，是平面的一個法向量，
則.
所以平面與平面夾角的余弦值為.
17．（15分）【答案】(1)，C表示以為圓心，為半徑的圓
(2)和
【解析】（1）解：設(shè)，由，可得，即，
整理得，即方程可化為，
所以曲線表示以為圓心，為半徑的圓．
（2）解：由題意，兩切線的斜率均存在，設(shè)切線方程為，即，
則圓心到切線的距離，解得或，
所以兩條切線方程為和．
18．（17分）【答案】(1)，
(2)或
【解析】（1）解：由題意知，點(diǎn)到直線的距離等于，
所以，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為.
因?yàn)闄E圓的長軸長，為橢圓的一個焦點(diǎn)，則，，
所以，，所以，曲線的方程為.
（2）解：若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，不合乎題意，
所以，直線的斜率必存在，則直線的方程為
由，整理得，則，
設(shè)、，則，，
所以，，則，
由，整理得，
則，
設(shè)、，則，，
所以，
，
因?yàn)椋?，可得，解得?br>所以，直線的方程為.
19．（17分）【答案】(1)
(2)偶函數(shù)，證明見解析
(3)存在符合題意
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，要使函數(shù)有意義，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：
，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)；
（3）假設(shè)存在直線，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，
則，所以，
即，即，
所以，即，
所以，所以，即，
因?yàn)榍?，所以?br>故存在，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.

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