A．a(chǎn)101＜27B．存在k∈N*，使ak＝ak+1
C．S101＜2D．?dāng)?shù)列{an}不具有單調(diào)性
2．（3分）若直線經(jīng)過A（1，0），B（4，）兩點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
3．（3分）若直線l1：2x+y＝0與直線l2：x+my+1＝0互相平行，則實(shí)數(shù)m＝（ ）
A．B．C．﹣2D．2
4．（3分）若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2+a3＝5，則S4的值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
5．（3分）若直線y＝kx+1與圓x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線x+2y＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k+m的值為（ ）
A．1B．2C．3D．0
6．（3分）數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，an，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為（ ）
A．48B．49C．50D．51
7．（3分）已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為（ ）
A．2B．C．D．3
8．（3分）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜0，f（0）＝1，則不等式f（x）＞ex的解集是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）
二.多選題（共4小題）
（多選）9．（3分）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A．
B．（2x）′＝2x?ln2
C．
D．（x2?csx）′＝2x?csx+x2?sinx
（多選）10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線，則（ ）
A．實(shí)軸長(zhǎng)為2
B．漸近線方程為
C．離心率為2
D．一條漸近線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)到另一條漸近線的距離為3
（多選）11．（3分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax+1的圖象在x＝2處切線的斜率為9，則下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＝3
B．f（x）在x＝﹣1處取得極大值
C．當(dāng)x∈（﹣2，1]時(shí)，f（x）∈（﹣1，3]
D．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）中心對(duì)稱
（多選）12．（3分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝81，a7＝13，且S3，S17﹣S16，Sk成等比數(shù)列，則（ ）
A．k＝11
B．a(chǎn)n＝2n﹣1
C．Sn＝n2
D．
三.填空題（共4小題）
13．（3分）已知f（x）＝e2x﹣2xf′（0），則f′（1）＝ ．
14．（3分）等比數(shù)列{an}中，a1＝1，S3＝13，其中公比q＞0，則a2＝ ．
15．（3分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP．若|FQ|＝8，則C的準(zhǔn)線方程為 ．
16．（3分）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是 ．
四.解答題（共6小題）
17．已知圓C1的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線3x+4y﹣10＝0相切．
（1）求圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l過點(diǎn)M（1，2），直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程．
18．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），S3＝18，a4＝2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn，求Tn＝b1+b2+…+bn；
（3）若數(shù)列{cn}滿足cnTn，求cn的最小值及此時(shí)n的值．
19．已知：函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2﹣3x．
（1）若f'（3）＝0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，求：實(shí)數(shù)a的取值范圍
20．已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，a2，a3，a4﹣4成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，求證：1≤Tn＜3．
21．已知函數(shù)f（x），其中a＞0．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的方程；
（2）當(dāng)a≠1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若，證明對(duì)任意x1，x2∈[，1]（x1≠x2），恒成立．
22．已知橢圓過點(diǎn)P（﹣2，﹣1），且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（﹣4，0）的直線l（不經(jīng)過點(diǎn)P）交橢圓C于點(diǎn)A，B，試問直線PA與直線PB的斜率之和是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
2022-2023學(xué)年江蘇省南京大學(xué)附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（共8小題）
1．（3分）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1＝an2﹣2an2，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為Sn，則（ ）
A．a(chǎn)101＜27B．存在k∈N*，使ak＝ak+1
C．S101＜2D．?dāng)?shù)列{an}不具有單調(diào)性
【分析】根據(jù)題意求得，進(jìn)而得到與同號(hào)，結(jié)合作差法比較法，可判定B、D錯(cuò)誤；由，得到，利用累加法，可判定A錯(cuò)誤；化簡(jiǎn)得到，利用裂項(xiàng)法求和，可判定C正確．
【解答】解：由于，則，
又由，則與同號(hào)，
又由a1＝2，則，可得，
所以數(shù)列{an}單調(diào)遞增，故B、D錯(cuò)誤；
又因?yàn)椋?br>由數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且a1＝2，
所以an﹣2＞0，an﹣1＞0，所以，
累加得，所以a101≥27，故A錯(cuò)誤；
由，可得，
因?yàn)閍n＞a1＝2，所以，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的求和問題，屬于中檔題．
2．（3分）若直線經(jīng)過A（1，0），B（4，）兩點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【分析】先根據(jù)直線的斜率公式求出斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，以及傾斜角的取值范圍，求出傾斜角的值．
【解答】解：若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線的斜率等于 ．
設(shè)直線的傾斜角等于θ，則有tanθ．
再由 0≤θ＜π可得 θ，即θ＝30°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率公式，傾斜角和斜率的關(guān)系，以及傾斜角的取值范圍，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于基礎(chǔ)題．
3．（3分）若直線l1：2x+y＝0與直線l2：x+my+1＝0互相平行，則實(shí)數(shù)m＝（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：當(dāng)m＝0時(shí)，直線l1與l2不平行，
當(dāng)m≠0時(shí)，∵l1//l2，
∴，解得．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
4．（3分）若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2+a3＝5，則S4的值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得S4的值．
【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2+a3＝5，
由等差數(shù)列的基本性質(zhì)得a1+a4＝a2+a3＝5，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列求和，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
5．（3分）若直線y＝kx+1與圓x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線x+2y＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k+m的值為（ ）
A．1B．2C．3D．0
【分析】由題意可得直線x+2y＝0經(jīng)過圓心，且直線y＝kx+1與直線x+2y＝0垂直，可得k，m的方程，解方程可得所求和．
【解答】解：直線y＝kx+1與圓x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線x+2y＝0對(duì)稱，
可得直線x+2y＝0經(jīng)過圓心（，），則﹣k﹣2m＝0，
又直線y＝kx+1與直線x+2y＝0垂直，可得k?（）＝﹣1，即k＝2，
所以m＝﹣1，圓x2+y2+2x﹣y﹣4＝0，即（x+1）2+（y）2．
故k+m＝2﹣1＝1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．（3分）數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，an，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為（ ）
A．48B．49C．50D．51
【分析】通過數(shù)列的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列的和即可．
【解答】解：數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，an，奇數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，公差為2，偶數(shù)項(xiàng)是等比數(shù)列，公比為2，
所以數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為：（0+2+4+6+8）+（1+2+4+8+16）＝51．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，是基礎(chǔ)題．
7．（3分）已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為（ ）
A．2B．C．D．3
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可．
【解答】解：聯(lián)立解得，所以，
依題可得，即，
變形得c+a＝3a，c＝2a，因此，雙曲線C的離心率為2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．（3分）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜0，f（0）＝1，則不等式f（x）＞ex的解集是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）
【分析】不等式f（x）＞ex轉(zhuǎn)化為1，令F（x），求導(dǎo)分析F（x）的單調(diào)性，由f（0）＝1，得F（0）＝1，則不等式轉(zhuǎn)化為F（x）＞F（0），結(jié)合F（x）在R上單調(diào)性，即可得出答案．
【解答】解：令F（x），
F′（x），
因?yàn)閒'（x）﹣f（x）＜0，
所以F′（x）＜0，
所以F（x）在R上單調(diào)遞減，
因?yàn)閒（0）＝1，
所以F（0）1，
所以不等式f（x）＞ex轉(zhuǎn)化為1，
即F（x）＞F（0），
結(jié)合F（x）在R上單調(diào)性，可得x＜0，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．
二.多選題（共4小題）
（多選）9．（3分）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A．
B．（2x）′＝2x?ln2
C．
D．（x2?csx）′＝2x?csx+x2?sinx
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵（x）′＝1，∴A錯(cuò)誤，
∵（2x）′＝2xln2，∴B正確，
∵（）′，∴C正確，
∵（x2?csx）′＝2xcsx﹣x2?sinx，∴D錯(cuò)誤，
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．
（多選）10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線，則（ ）
A．實(shí)軸長(zhǎng)為2
B．漸近線方程為
C．離心率為2
D．一條漸近線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)到另一條漸近線的距離為3
【分析】由雙曲線的方程可得a，b的值，求出準(zhǔn)線方程與漸近線的方程可得正確答案．
【解答】解：由雙曲線 的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2+b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4，所以A不正確，
所以實(shí)軸長(zhǎng)2a＝4，離心率2，漸近線方程為y＝±xx，所以B，C正確，
因?yàn)闇?zhǔn)線方程為x1，設(shè)漸近線y與漸近線的交點(diǎn)為A，兩個(gè)方程聯(lián)立可得A（1，），另一條漸近線的方程為：y＝0，所以A到它的距離為d，所以D不正確．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（3分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax+1的圖象在x＝2處切線的斜率為9，則下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＝3
B．f（x）在x＝﹣1處取得極大值
C．當(dāng)x∈（﹣2，1]時(shí)，f（x）∈（﹣1，3]
D．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）中心對(duì)稱
【分析】對(duì)f（x）求導(dǎo)，由f′（2）＝9，可求得a的值，從而判斷選項(xiàng)A；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，從而求得極值點(diǎn)，即可判斷選項(xiàng)B；由函數(shù)的單調(diào)可求得在區(qū)間（﹣2，1]上f（x）的取值范圍，即可判斷選項(xiàng)C；函數(shù)y＝x3﹣3x為奇函數(shù)，可求得f（x）的對(duì)稱中心，即可判斷選項(xiàng)D．
【解答】解：f（x）＝x3﹣ax+1，則f′（x）＝3x2﹣a，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象在x＝2處切線的斜率為9，
所以f′（2）＝9，即12﹣a＝9，解得a＝3，故A正確；
則f（x）＝x3﹣3x+1，則f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1，令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣1，1）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x＝﹣1處取得極大值，故B正確；
當(dāng)x∈（﹣2，1]時(shí)，由f（x）的單調(diào)性可知，f（x）的最大值為f（﹣1）＝3，
又f（﹣2）＝﹣1，f（1）＝﹣1，
所以當(dāng)x∈（﹣2，1]時(shí)，f（x）∈[﹣1，3]，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3﹣3x為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，
所以函數(shù)f（x）＝x3﹣ax+1的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）中心對(duì)稱，故D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
（多選）12．（3分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝81，a7＝13，且S3，S17﹣S16，Sk成等比數(shù)列，則（ ）
A．k＝11
B．a(chǎn)n＝2n﹣1
C．Sn＝n2
D．
【分析】先根據(jù)題意求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求得an，Sn，再由S3，S17﹣S16，Sk成等比數(shù)列列出式子求解得出k的值，再利用裂項(xiàng)相消法求和，得到，從而判斷各項(xiàng)的正誤．
【解答】解：依題意，S9＝9a5＝81，解得a5＝9，
而a7＝13，故，則a1＝a5﹣4d＝1，
則，故B、C正確：
因?yàn)镾3，S17﹣S16，Sk成等比數(shù)列，
故
則9k2＝332，解得k＝11，故A正確；
而，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的綜合，屬于中檔題．
三.填空題（共4小題）
13．（3分）已知f（x）＝e2x﹣2xf′（0），則f′（1）＝ ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解．
【解答】解：f（x）＝e2x﹣2xf′（0），
則f'（x）＝2e2x﹣2f'（0），
將x＝0代入可得，f'（0）＝2e0﹣2f'（0），解得f'（0），
故f'（x），
所以f'（1）．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．
14．（3分）等比數(shù)列{an}中，a1＝1，S3＝13，其中公比q＞0，則a2＝ 3 ．
【分析】先根據(jù)求和公式求出公比q，再根據(jù)通項(xiàng)公式即可求出．
【解答】解：等比數(shù)列{an}中，a1＝1，S3＝13，
∴1+q+q2＝13，
解得q＝3或q＝﹣4（舍去），
∴a2＝a1q＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．
15．（3分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP．若|FQ|＝8，則C的準(zhǔn)線方程為 x＝﹣2 ．
【分析】求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，推出PQ方程，然后求解Q的坐標(biāo)，利用|FQ|＝8，求解p，然后求解準(zhǔn)線方程．
【解答】解：由題意，不妨設(shè)P在第一象限，則P（，p），kOP＝2，PQ⊥OP．
所以kPQ，所以PQ的方程為：y﹣p（x），
y＝0時(shí)，x，
|FQ|＝8，所以8，解得p＝4，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：x＝﹣2．
故答案為：x＝﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
16．（3分）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是 （0，） ．
【分析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，設(shè)g（x）（x＞0），則函數(shù)g（x）與y＝k的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性和極值，畫出函數(shù)g（x）的大致圖像，利用數(shù)形結(jié)合法即可求出k的取值范圍．
【解答】解：∵函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴方程有兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根，
設(shè)g（x）（x＞0），則函數(shù)g（x）與y＝k的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，
∵g'（x），
令g'（x）＝0得，x＝e，
∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)g（x）在x＝e時(shí)，取得最大值g（e），
又∵當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0，
∴函數(shù)g（x）的大致圖像，如圖所示，
由圖像可知，0，
∴k的取值范圍是（0，），
故答案為：（0，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．
四.解答題（共6小題）
17．已知圓C1的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線3x+4y﹣10＝0相切．
（1）求圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l過點(diǎn)M（1，2），直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程．
【分析】（1）由圓心到直線的距離求得半徑，可得圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由已知弦長(zhǎng)可得圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求k，則直線方程可求．
【解答】解：（1）∵原點(diǎn)O到直線3x+4y﹣10＝0的距離為，
∴圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2＝4；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝1，代入x2+y2＝4，
得y，即直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2＝0．
∵直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，圓的半徑為2，
則圓心到直線l的距離d，解得k．
∴直線l的方程為，即3x﹣4y+5＝0．
綜上，直線l的方程為x＝1或3x﹣4y+5＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
18．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），S3＝18，a4＝2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn，求Tn＝b1+b2+…+bn；
（3）若數(shù)列{cn}滿足cnTn，求cn的最小值及此時(shí)n的值．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可得關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解得代入通項(xiàng)公式可得；（2）由（1）可得bn（），由裂項(xiàng)相消法求和可得；（3）由（2）可得n+12，由基本不等式可得．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則S3＝3a118，a4＝a1+3d＝2，
解得a1＝8，d＝﹣2，
∴an＝8﹣2（n﹣1）＝﹣2n+10；
（2）由（1）可得
（），
∴Tn＝b1+b2+…+bn（1）
（3）由（2）可得n+12≥22＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)n+1，即n＝4時(shí)取等號(hào)，此時(shí)cn取最小值8
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及裂項(xiàng)相消法求和以及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．
19．已知：函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2﹣3x．
（1）若f'（3）＝0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，求：實(shí)數(shù)a的取值范圍
【分析】（1）因?yàn)閒'（3）＝0得到a的值，確定出f（x）和f′（x）的解析式，然后令f′（x）＝0求出x的值，在區(qū)間[1，a]上利用x的值討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值；
（2）因?yàn)閒（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，所以令f′（x）＞0，解得a，求出的最小值得到a的取值范圍．
【解答】解：（1）f'（3）＝0，即27﹣6a﹣3＝0，
∴a＝4．
∴f（x）＝x3﹣4x2﹣3x，f'（x）＝3x2﹣8x﹣3，
令．
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是f（3）＝﹣18，最大值是f（1）＝﹣6
（2）f'（x）＝3x2﹣2ax﹣3≥0∴x≥1∴，
當(dāng)x≥1時(shí)，是增函數(shù)，其最小值為，
∴a≤0．
【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．
20．已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，a2，a3，a4﹣4成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，求證：1≤Tn＜3．
【分析】（1）根據(jù)題干已知條件及等差中項(xiàng)的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出關(guān)于首項(xiàng)a1的方程，解出a1的值，即可計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)出前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式，然后根據(jù)不等式的運(yùn)算和數(shù)列的單調(diào)性即可證明不等式成立．
【解答】（1）解：依題意，由a2，a3，a4﹣4成等差數(shù)列，
可知2a3＝a2+a4﹣4，
∵數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，
∴，
即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，
∴，n∈N*．
（2）證明：由（1），可得，
則Tn＝b1+b2+???+bn，
，
兩式相減，可得



．
∴，
又∵{Tn}是遞增數(shù)列，
∴Tn≥T1＝1，
∴1≤Tn＜3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，以及數(shù)列求和與不等式的綜合問題．考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，錯(cuò)位相減法，不等式的運(yùn)算能力，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．
21．已知函數(shù)f（x），其中a＞0．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的方程；
（2）當(dāng)a≠1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若，證明對(duì)任意x1，x2∈[，1]（x1≠x2），恒成立．
【分析】（1）把a(bǔ)＝2代入函數(shù)解析式，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的導(dǎo)數(shù)值，再求出f（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式求切線的方程；
（2）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)a的范圍由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)定義域分段，利用導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（3）當(dāng)0＜a時(shí)，f（x）在[，1]內(nèi)是減函數(shù)，又x1≠x2，不妨設(shè)0＜x1＜x2，則f（x1）＞f（x2），于是 等價(jià)于．構(gòu)造函數(shù)g（x）（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)證明其為減函數(shù)得答案．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x），f′（x），
∴f′（1），∵f（1）＝﹣2，
∴切線方程為：y+2（x﹣1），整理得：x+2y+3＝0；
（2）f′（x）（x＞0），令f′（x）＝0，解得：x＝a或x，
①若0＜a＜1，a，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如表：
∴f（x）在區(qū)間（0，a）和（，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（a，）內(nèi)是減函數(shù)；
②若a＞1，a，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如表：
∴f（x）在區(qū)間（0，）和（a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（，+∞）內(nèi)是減函數(shù)；
（3）證明：∵0＜a，∴f（x）在[，1]內(nèi)是減函數(shù)，又x1≠x2，
不妨設(shè)0＜x1＜x2，則f（x1）＞f（x2），，
于是等價(jià)于，
令g（x）（x＞0），
∵g′（x）（a）在[，1]內(nèi)是減函數(shù)，
故g′（x）≤g′（）＝2﹣（a）≤2﹣20，
從而g（x）在[，1]內(nèi)是減函數(shù)，
∴對(duì)任意，有g(shù)（x1）＞g（x2），
即，
∴當(dāng)a∈（0，），對(duì)任意（x1≠x2），
均有恒成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，等價(jià)轉(zhuǎn)化是第三問的關(guān)鍵，屬難題．
22．已知橢圓過點(diǎn)P（﹣2，﹣1），且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（﹣4，0）的直線l（不經(jīng)過點(diǎn)P）交橢圓C于點(diǎn)A，B，試問直線PA與直線PB的斜率之和是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于a，b，c的方程組，解出a，b，c的值，從而得到橢圓C的方程．
（2）當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，易求kPA+kPB＝﹣1，當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝my﹣4，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，y1?y2，代入kPA+kPB化簡(jiǎn)，即可求出結(jié)果．
【解答】解：（1）由題意可得，解得，
∴橢圓C的方程：．
（2）當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，A（2，0），B（﹣2，0），
∴kPA+kPB1，
當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝my﹣4，
聯(lián)立方程，消去x得：（4+m2）y2﹣8my+8＝0，
∴，y1?y2，
∴kPA+kPB



＝﹣1，
綜上所述，直線PA與直線PB的斜率之和是定值﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，是中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/8 10:22:14；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號(hào)：27613231x
1
（1，3）
3
（3，4）
4
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
﹣6
↓
﹣18
↑
﹣12
x
（0，a）
a
（a，）

（，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
增函數(shù)
極大值
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)
x
（0，）

（，a）
a
（a，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
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