1．（4分）直線2x﹣my﹣3m＝0，當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn) ．
2．（4分）已知直線l1：x+2y+3＝0，l2：x+ay+1＝0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
3．（4分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a3+a4＝20，S5＝35，則{an}的公差為 ．
4．（4分）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a5：a3＝1：2，則S9：S5＝ ．
5．（4分）直線l：2x﹣y+5＝0與圓O2：x2+（y﹣5）2＝18交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝ ．
6．（4分）數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且an+1＝4an+6（n為正整數(shù)），令bn＝lg2（an+2），則 ．
7．（5分）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：l：y＝2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為 ．
8．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且{an}不是常數(shù)列，則以下命題正確的是 ．
①若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列；
②若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn＞0恒成立，則{an}是嚴(yán)格增數(shù)列；
③若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S2023?a2023＞0恒成立；
④若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＞0，S6＝S11，則Sn的最大值在n為8或9時(shí)取到．
9．（5分）已知圓C：（x+2）2+y2＝25上一動(dòng)點(diǎn)M，點(diǎn)B（2，0），線段MB的中垂線交直線MC于點(diǎn)P（x，y）（x≥0），且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是|PB|﹣2，則|PB|＝ ．
10．（5分）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝[lg2n]（n為正整數(shù)），其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則a1+a2+a3+…+a2023＝ ．
11．（5分）已知F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，記△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，△AF1F2與△BF1F2的內(nèi)切圓圓心均在直線x＝a上，且r1r2≤3a2，則此雙曲線離心率的取值范圍為 ．
12．（5分）已知集合A＝{x|x＝2n﹣1，n為正整數(shù)}，B＝{x|x＝2n，n為正整數(shù)}．將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn＞16an+1成立的n的最小值為 ．
二、選擇題。（本大題共4題，每題5分，滿分20分）
13．（5分）無(wú)窮等比數(shù)列4，﹣2，1，，…的各項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．7D．
14．（5分）設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ）
A．充要條件
B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件
D．既不充分也不必要條件
15．（5分）若圓C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）與圓C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三條切線，則a+b的最大值為（ ）
A．﹣3B．﹣3C．3D．3
16．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1＞0，公差d＜0，若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)k，使S2k﹣1＝（2k﹣1）Sn，則k﹣4n的最小值為（ ）
A．﹣74B．﹣8C．﹣53D．﹣13
三、解答題。（本大題共5題，滿分76分）
17．（14分）已知：以點(diǎn)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)，
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設(shè)直線y＝﹣2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM＝ON，求圓C的方程．
18．（14分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a2＝﹣2，a4+a5＝4，數(shù)列{bn}中，點(diǎn)（bn，Tn）在直線上，其中Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn＝an?bn，求數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)．
19．（14分）某地區(qū)森林原有木材存量為a，且每年增長(zhǎng)率為20%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材的存量．
（1）求an的表達(dá)式；
（2）如果，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，經(jīng)過(guò)多少年后，木材存儲(chǔ)量能翻一番？
20．（16分）已知橢圓C：和雙曲線的焦距相同，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A，B，直線AP，PB與直線l：x＝﹣4分別交于點(diǎn)M，N．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求線段MN的最小值；
（3）如圖，設(shè)直線l：x＝﹣4與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作直線交橢圓與E，F(xiàn)，直線EB與FA交于一點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)Q在一條定直線上．
21．（18分）記實(shí)數(shù)a、b中較小者為min{a，b}，例如min{1，2}＝1，min{1，1}＝1，對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{an}，記hk＝min{a2k﹣1，a2k}．若對(duì)任意k∈N*均有hk＜hk+1，則稱數(shù)列{an}為“趨向遞增數(shù)列”．
（1）已知數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式分別為，判斷數(shù)列{an}、{bn}是否為“趨向遞增數(shù)列”？并說(shuō)明理由；
（2）已知首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列{cn}是“趨向遞增數(shù)列”，求公比q的取值范圍；
（3）若數(shù)列{dn}滿足d1、d2為正實(shí)數(shù)，且dn＝|dn+2﹣dn+1|，求證：數(shù)列{dn}為“趨向遞增數(shù)列”的必要非充分條件是{dn}中沒(méi)有0．
2022-2023學(xué)年上海市復(fù)旦附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、填空題。（本大題共12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1．（4分）直線2x﹣my﹣3m＝0，當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn) （0，﹣3） ．
【分析】直線2x﹣my﹣3m＝0，即2x﹣m（y+3）＝0，列出方程組，即可求解．
【解答】解：直線2x﹣my﹣3m＝0，即2x﹣m（y+3）＝0，
令，解得，
故所有直線都通過(guò)定點(diǎn)（0，﹣3）．
故答案為：（0，﹣3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查恒過(guò)定點(diǎn)的直線，屬于基礎(chǔ)題．
2．（4分）已知直線l1：x+2y+3＝0，l2：x+ay+1＝0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：直線l1：x+2y+3＝0，l2：x+ay+1＝0，l1⊥l2，
則1×1+2×a＝0，解得a．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a3+a4＝20，S5＝35，則{an}的公差為 6 ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，
∵S5＝35，
∴5a3＝35，解得a3＝7，
∵a3+a4＝20，
∴a4＝13，
∴公差d＝a4﹣a3＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．（4分）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a5：a3＝1：2，則S9：S5＝ ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解．
【解答】解：依題意，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以，
又a5：a3＝1：2，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了等差中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）直線l：2x﹣y+5＝0與圓O2：x2+（y﹣5）2＝18交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝ 6 ．
【分析】先求出圓心（0，5），可得圓心在直線l：2x﹣y+5＝0上，可得結(jié)論．
【解答】解：由圓O2：x2+（y﹣5）2＝18，可得圓心C（0，5），半徑r＝3，
∵2×0﹣5+5＝0，
圓心C（0，5）在直線l：2x﹣y+5＝0上，
故|AB|＝2r＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的求法，屬基礎(chǔ)題．
6．（4分）數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且an+1＝4an+6（n為正整數(shù)），令bn＝lg2（an+2），則 2024 ．
【分析】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法求解即可．
【解答】解：已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且an+1＝4an+6（n為正整數(shù)），
則an+1+2＝4（an+2），
又a1+2＝4，
則數(shù)列{an+2}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
即，
即，
即數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
即2024，
故答案為：2024．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，重點(diǎn)考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，屬基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：l：y＝2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為 ．
【分析】根據(jù)漸近線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用a、b、c的關(guān)系和條件列出方程求出a2、b2，代入雙曲線的方程即可．
【解答】解：由題意得，，
解得a2＝5，b2＝20，
∴雙曲線的方程是，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且{an}不是常數(shù)列，則以下命題正確的是 ①②③④ ．
①若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列；
②若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn＞0恒成立，則{an}是嚴(yán)格增數(shù)列；
③若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S2023?a2023＞0恒成立；
④若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＞0，S6＝S11，則Sn的最大值在n為8或9時(shí)取到．
【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，代入通項(xiàng)公式，求和公式即可判斷．
【解答】解：①設(shè){an}為等差數(shù)列的公差為d，則22d為常數(shù)，則為等比數(shù)列，正確；
②若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn＞0恒成立，則a1＞0，公差d＞0，故{an}為遞增數(shù)列，故正確；
③若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列公比為q，則q≠1，
則S2023?a2023?a1?q2022＝a12?q2022?0恒成立，正確；
④若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S6＝S11，可得a7+a8+a9+a10+a11＝0，則5a9＝0，∴a9＝0，
又a1＞0，則d＜0，則Sn的最大值為S8＝S9，正確．
則正確的命題是：①②③④．
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．
9．（5分）已知圓C：（x+2）2+y2＝25上一動(dòng)點(diǎn)M，點(diǎn)B（2，0），線段MB的中垂線交直線MC于點(diǎn)P（x，y）（x≥0），且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是|PB|﹣2，則|PB|＝ ．
【分析】根據(jù)橢圓、拋物線定義可知P是橢圓1與拋物線y2＝8x的交點(diǎn)，聯(lián)立方程求P橫坐標(biāo)，結(jié)合已知即可求|PB|．
【解答】解：由P到y(tǒng)軸的距離是|PB|﹣2，即P到x＝﹣2與B（2，0）的距離相等，
∴P在拋物線y2＝8x上，
又線段MB的中垂線交直線MC于點(diǎn)P（x，y）（x≥0），即|MP|＝|PB|，
所以|MC|＝|MP|+|PC|＝|PC|+|PB|＝5，即P軌跡是以C，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝5的橢圓，軌跡方程為1，
綜上，P是橢圓1與拋物線y2＝8x的交點(diǎn)，聯(lián)立可得36x2+800x﹣225＝0，
解得x或x（舍），則|PB|2．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程及其應(yīng)用等知識(shí)，屬中檔題．
10．（5分）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝[lg2n]（n為正整數(shù)），其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則a1+a2+a3+…+a2023＝ 9×211﹣238 ．
【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合錯(cuò)位相減法求和求解即可．
【解答】解：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝[lg2n]（n為正整數(shù)），其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，
則當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝0，
當(dāng)21≤n＜22﹣1時(shí)，an＝1，
當(dāng)22≤n＜23﹣1時(shí)，an＝2，
依次類推，
當(dāng)2k≤n＜2k+1﹣1時(shí)，an＝k，
又210≤2023＜211﹣1，
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，
則S2047＝a1+a2+a3+…+a2023+a2024+...+a2047＝0×20+1×21+2×22+...+10×210，①
則2...+10×211，②
②﹣①可得：，
即9×211+2，
又a2024＝a2025＝...＝a2047＝10，
則，
故答案為：9×211﹣238．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題．
11．（5分）已知F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，記△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，△AF1F2與△BF1F2的內(nèi)切圓圓心均在直線x＝a上，且r1r2≤3a2，則此雙曲線離心率的取值范圍為 （1，1] ．
【分析】設(shè)圓O1切AF1、AF2、F1F2分別于點(diǎn)M、N、G，推導(dǎo)出△O1GF2∽△O1F2O2，可得出，可得出關(guān)于c、a的不等式，即可求得該雙曲線離心率的取值范圍．
【解答】解：設(shè)△AF1F2、△BF1F2的內(nèi)切圓圓心分別為O1、O2，
設(shè)圓O1切AF1、AF2、F1F2分別于點(diǎn)M、N、G，
過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，
由切線長(zhǎng)定理，可得|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1G|，|F2G|＝|F2N|，
∴|AF2|+|F1F2|﹣|AF1|＝（|AN|+|F2N|）+（|F1G|+|F2G|）﹣（|AM|+|F1M|）
＝|F2N|+|F2G|＝2|F2G|＝2c﹣2a，則|F2G|＝c﹣a，
∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為c﹣（c﹣a）＝a．
故點(diǎn)O1的橫坐標(biāo)也為a，同理可知點(diǎn)O2的橫坐標(biāo)為a，故O1O2⊥x軸，
故圓O1和圓O2均與x軸相切于G（a，0），圓O1和圓O2兩圓外切．
在△O1O2F2中，，O1O2⊥F2G，
∴∠GO1F2＝∠F2O1O2，∠O1GF2＝∠O1F2O2＝90°，∴△O1GF2∽△O1F2O2，
∴，則，
∴，
即（c﹣a）2＝r1?r2，∴（c﹣a）2≤3a2，可得c﹣aa，
可得c≤（1）a，則a＜c≤（1）a，因此e∈（1，1]．
故答案為：（1，1]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．
12．（5分）已知集合A＝{x|x＝2n﹣1，n為正整數(shù)}，B＝{x|x＝2n，n為正整數(shù)}．將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn＞16an+1成立的n的最小值為 36 ．
【分析】先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式確定滿足條件的項(xiàng)數(shù)的取值范圍，再列不等式求滿足條件的項(xiàng)數(shù)的最小值
【解答】解：設(shè)數(shù)列{an}中的第n項(xiàng)為，則Sn＝[（2×1﹣1）+（2×2﹣1）+（2×3﹣1）+…+（2×2k﹣1﹣1）]+（2+22+…+2k）

＝22k﹣2+2k+1﹣2，
由Sn＞16an+1得22k﹣2+2k+1﹣2＞16（2k+1）?（2k﹣1）2﹣28?2k﹣1﹣18＞0．
?2k﹣1≥25，∴k≥6，
所以只需研究25是否有滿足條件的解，
此時(shí)Sn＝（2×1﹣1）+（2×2﹣1）+…+（2m﹣1）+（2+22+…+25）＝m2+26﹣2，
此時(shí)an+1＝2m+1，m為等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)，且m＞16，
由m2+26﹣2＞16（2m+1）得：m2﹣32m+46＞0，
∴m≥31，n＝m+5≥36．
故滿足條件的n最小值為36．
【點(diǎn)評(píng)】本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的和．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型主要有分段型，符號(hào)型，周期型，屬于難題．
二、選擇題。（本大題共4題，每題5分，滿分20分）
13．（5分）無(wú)窮等比數(shù)列4，﹣2，1，，…的各項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．7D．
【分析】先求出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，再結(jié)合無(wú)窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解．
【解答】解：等比數(shù)列4，﹣2，1，，…，
則首項(xiàng)為4，公比為，
故無(wú)窮等比數(shù)列4，﹣2，1，，…的各項(xiàng)和為．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ）
A．充要條件
B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】利用必要、充分及充要條件的定義判斷即可．
【解答】解：{an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，
若“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，
例如：當(dāng)首項(xiàng)為2，q時(shí)，各項(xiàng)為2，﹣1，，，…，此時(shí)2+（﹣1）＝1＞0，（）0；
而“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，
則“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分條件，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．
15．（5分）若圓C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）與圓C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三條切線，則a+b的最大值為（ ）
A．﹣3B．﹣3C．3D．3
【分析】由題意可得兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，由3，得到a2+b2＝9，故滿足條件的點(diǎn)（a，b）在以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓上，
法一：令a+b＝t，利用線性規(guī)劃求出t的最大值；
法二、可令a＝3csα，b＝3sinα（0≤α＜2π），運(yùn)用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：由題意可得，兩圓相外切，
兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為（x+a）2+y2＝4，x2+（y﹣b）2＝1，
圓心分別為（﹣a，0），（0，b），半徑分別為2和1，
故有3，∴a2+b2＝9，
故滿足條件的點(diǎn)（a，b）在以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓上．
法一、令a+b＝t，利用線性規(guī)劃求出t的最大值．
如圖：可行域?yàn)閳Aa2+b2＝9，t＝a+b為目標(biāo)函數(shù)，
點(diǎn)A（，）和點(diǎn)B（，）為最優(yōu)解，
故B（，）使a+b＝t 取得最大值為3．
法二、令a＝3csα，b＝3sinα（0≤α＜2π），
則a+b＝3csα+3sinα＝3sin（α），
當(dāng)sin（α）＝1，即α?xí)r，可得a+b的最大值為3．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相外切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
16．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1＞0，公差d＜0，若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)k，使S2k﹣1＝（2k﹣1）Sn，則k﹣4n的最小值為（ ）
A．﹣74B．﹣8C．﹣53D．﹣13
【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得ak＝Sn，令n＝2，化簡(jiǎn)得到k﹣2，由k∈N*，得k＝1，d＝﹣a1，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到k﹣4n[（n）2]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)能求出結(jié)果．
【解答】解：由題意得（2k﹣1）Sn，
則（2k﹣1）Sn，即ak＝Sn，
令n＝2，得ak＝S2，即a1+（k﹣1）d＝2a1+d，①
即k﹣2，
∵a1＞0，d＜0，∴k﹣20，即k＜2，
∵k∈N*，∴k＝1，代入①，得d＝﹣a1，
當(dāng)d＝﹣a1時(shí)，ak＝Sn，
∴a1﹣（k﹣1）a1，
即k，∴，
∴k﹣4n[（n）2]，
∴當(dāng)n＝5或n＝6時(shí)，k﹣9n的最小值為﹣13．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的運(yùn)算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
三、解答題。（本大題共5題，滿分76分）
17．（14分）已知：以點(diǎn)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)，
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設(shè)直線y＝﹣2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM＝ON，求圓C的方程．
【分析】（1）求出半徑，寫(xiě)出圓的方程，再解出A、B的坐標(biāo)，表示出面積即可．
（2）通過(guò)題意解出OC的方程，解出t 的值，直線y＝﹣2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，判斷t是否符合要求，可得圓的方程．
【解答】解：（1）∵圓C過(guò)原點(diǎn)O，
∴，
設(shè)圓C的方程是，
令x＝0，得，
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴，
即：△OAB的面積為定值；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，
∴OC垂直平分線段MN，
∵kMN＝﹣2，∴，
∴直線OC的方程是，
∴，解得：t＝2或t＝﹣2，
當(dāng)t＝2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（2，1），，
此時(shí)C到直線y＝﹣2x+4的距離，
圓C與直線y＝﹣2x+4相交于兩點(diǎn)，
當(dāng)t＝﹣2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），，
此時(shí)C到直線y＝﹣2x+4的距離，
圓C與直線y＝﹣2x+4不相交，
∴t＝﹣2不符合題意舍去，
∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等有關(guān)知識(shí)，是中檔題．
18．（14分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a2＝﹣2，a4+a5＝4，數(shù)列{bn}中，點(diǎn)（bn，Tn）在直線上，其中Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn＝an?bn，求數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)．
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得（a4+a5）﹣（a1+a2）＝6d＝6，解可得d＝1，進(jìn)而求出a1，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，點(diǎn)（bn，Tn）在直線上，則有Tnbn+1，由此分析可得Tn﹣1bn﹣1+1，兩式相減可得bnbn﹣1，于Tnbn+1，令n＝1可得：b1的值，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)題意，求出{cn}的通項(xiàng)公式，分析cn+1﹣cn的表達(dá)式以及符號(hào)，據(jù)此分析可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，
由于a1+a2＝﹣2，a4+a5＝4，則（a4+a5）﹣（a1+a2）＝6d＝6，解可得d＝1，
又由a1+a2＝﹣2，則a1，
故an＝（）+n﹣1＝n；
數(shù)列{bn}中，點(diǎn)（bn，Tn）在直線上，則有Tnbn+1，①，
由此可得：Tn﹣1bn﹣1+1，②，
①﹣②，變形可得：bnbn﹣1，
對(duì)于Tnbn+1，令n＝1可得：b1b2+1，解可得b1，
則數(shù)列{bn}為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故bn（）n﹣1，
（2）若cn＝an?bn，則cn＝（n），
則cn+1﹣cn，
故有c1＜c2＜c3＝c4＞c5＞c6＞……，
數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)為c3＝c4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，涉及數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬于中檔題．
19．（14分）某地區(qū)森林原有木材存量為a，且每年增長(zhǎng)率為20%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材的存量．
（1）求an的表達(dá)式；
（2）如果，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，經(jīng)過(guò)多少年后，木材存儲(chǔ)量能翻一番？
【分析】（1）要求出an的表達(dá)式，列出前幾項(xiàng)觀察規(guī)律，從而推出an的表達(dá)式；
（2）只需代入，化簡(jiǎn)后的指數(shù)式轉(zhuǎn)化利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可．
【解答】解：（1）設(shè)第一年的森林的木材存量為a1，第n年后的森林的木材存量為an，
則a1＝a（1+0.2）﹣b＝1.2a﹣b，a2＝1.2a1﹣b＝1.2a2﹣（1.2+1）b，
a3＝1.2a2﹣b＝1.23a﹣（1.22+1.2+1）b，…，
an＝1.2na﹣（1.2n﹣1+1.2n﹣2+…+1）b＝1.2nab＝1.2na﹣5（1.2n﹣1）b，（n∈N*）．
（2）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)可得1.2na﹣5（1.2n﹣1）?a＝2a，
lg3≈0.5，lg2≈0.3，則有1.2n＝2.5，nlg1.2＝lg2.5，n4，
經(jīng)過(guò)4年后木材存儲(chǔ)量能翻一番．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查遞推數(shù)列，函數(shù)思想，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．
20．（16分）已知橢圓C：和雙曲線的焦距相同，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A，B，直線AP，PB與直線l：x＝﹣4分別交于點(diǎn)M，N．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求線段MN的最小值；
（3）如圖，設(shè)直線l：x＝﹣4與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作直線交橢圓與E，F(xiàn)，直線EB與FA交于一點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)Q在一條定直線上．
【分析】（1）由雙曲線的方程及題意可得c的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得a，b的關(guān)系，再由a，b，c之間的關(guān)系，可得a，b的值，即求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P的坐標(biāo)，求出直線AP的方程，令x＝﹣4可得M的縱坐標(biāo)，同理可得N的縱坐標(biāo)，求出|MN|的表達(dá)式換元，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得|MN|的最小值；
（3）設(shè)直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，求出直線EB，F(xiàn)A的方程，聯(lián)立兩個(gè)方程，可證得兩直線的交點(diǎn)Q在定直線上．
【解答】解：（1）由雙曲線的方程可得焦距22，
由題意可得c及，解得a＝2，b＝1，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝1；
（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P（x0，y0），x0≠±2，則y02＝1；
由題意可得直線AP，BP的斜率存在且不為0，設(shè)直線AP的方程為xy﹣2，令x＝﹣4，可得yM'
設(shè)直線BP的方程為xx+2，令x＝﹣4，可得yN，
可得|MN|＝||＝||＝||，
令t＝2x0+5∈（1，9），則x0，
所以|MN|＝||，
因?yàn)椤剩ǎ?），所以當(dāng)時(shí)，|MN|min；
（3）證明：顯然直線l的斜率存在且不為0，H（﹣4，0），設(shè)直線l的方程為x＝my﹣4，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），
聯(lián)立，整理可得：（4+m2）y2﹣8my+12＝0，
Δ＝64m2﹣48（4+m2）＞0，可得m2＞12，且y1+y2，y1y2，
可得，
直線EB的方程為：xy+2，
直線FA的方程為：xy﹣2，
聯(lián)立，可得y，
所以xy+2?2＝﹣1，
可得直線FA，EB的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣1，即證明Q點(diǎn)在定直線x＝﹣1上．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，兩直線的交點(diǎn)在定直線上的證明方法，屬于中檔題．
21．（18分）記實(shí)數(shù)a、b中較小者為min{a，b}，例如min{1，2}＝1，min{1，1}＝1，對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{an}，記hk＝min{a2k﹣1，a2k}．若對(duì)任意k∈N*均有hk＜hk+1，則稱數(shù)列{an}為“趨向遞增數(shù)列”．
（1）已知數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式分別為，判斷數(shù)列{an}、{bn}是否為“趨向遞增數(shù)列”？并說(shuō)明理由；
（2）已知首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列{cn}是“趨向遞增數(shù)列”，求公比q的取值范圍；
（3）若數(shù)列{dn}滿足d1、d2為正實(shí)數(shù)，且dn＝|dn+2﹣dn+1|，求證：數(shù)列{dn}為“趨向遞增數(shù)列”的必要非充分條件是{dn}中沒(méi)有0．
【分析】（1）利用定義趨向遞增數(shù)列判斷數(shù)列{an}、{bn}，可得出結(jié)論；
（2）求得，分q＞1、q＝1、0＜q＜1、﹣1＜q＜0、q＝﹣1、q＜﹣1六種情況討論，驗(yàn)證hk＜hk+1能否恒成立，綜合可得出q的取值范圍；
（3）利用充分條件、必要條件的定義，利用反證法結(jié)合趨向遞增數(shù)列的性質(zhì)證明數(shù)列{dn}中沒(méi)有0，再證明出數(shù)列{dn}中沒(méi)有0時(shí)數(shù)列{dn}不是趨勢(shì)遞增數(shù)列．
【解答】（1）解：由于，記，
所以，
，
由于h2＞h3，不滿足對(duì)任意k∈N*均有hk＜hk+1，
所以數(shù)列{an}不是趨向遞增數(shù)列，
由于，記，
所以，
數(shù)列{bn}是趨向遞增數(shù)列．
（2）解：．
當(dāng)q＞1時(shí)，數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，此時(shí)hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝c2k﹣1＜c2k+1＝hk+1，滿足題意，
當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{cn}為常數(shù)列，不滿足題意；
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，數(shù)列{cn}為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝c2k＞c2k+2＝hk+1，不滿足題意；
當(dāng)﹣1＜q＜0時(shí)，此時(shí)hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝c2k＜c2k+2＝hk+1，滿足題意；
當(dāng)q＝﹣1時(shí)，此時(shí)hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝﹣1＝hk+1，不滿足題意；
當(dāng)q＜﹣1時(shí)，此時(shí)hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝c2k＞c2k+2＝hk+1，不滿足題意，
綜上所述，q的取值范圍是（﹣1，0）∪（1，+∞）．
（3）證明：先證必要性：假設(shè)存在正整數(shù)m（m≥3）使得dm＝0，dm＝|dm+2﹣dm+1|＝0，
令dm+1＝dm+2＝a．
因?yàn)閐1、d2為正實(shí)數(shù)，且dn＝|dn+2﹣dn+1|，所以dn≥0，于是a≥0．
則數(shù)列{dn}從第m項(xiàng)開(kāi)始為：0、a、a、0、a、a、?．
若m為奇數(shù)，，，
與數(shù)列{dn}為趨向遞增數(shù)列矛盾：
若m為偶數(shù)，，，
與數(shù)列{dn}為趨向遞增數(shù)列矛盾，
故假設(shè)不成立，所以數(shù)列{dn}為趨向遞增數(shù)列的必要條件是{dn}中沒(méi)有0；
再證非充分：
首先，若{dn}中沒(méi)有0，構(gòu)造數(shù)列{dn}：d1＝1，d2＝10，d3＝11，d4＝1，此時(shí)h1＝h2，
d2k+1＝d2k+d2k﹣1，d2k+2＝d2k+1﹣d2k，與趨向遞增數(shù)列定義矛盾；
其次，證明數(shù)列{dn}中各項(xiàng)均大于0．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明．即證：d2n﹣1＞0，d2n＞0
①當(dāng)n＝1時(shí)，d1＝1＞0，d2＝10＞0；
②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，命題成立，即d2k﹣1＞0，d2k＞0．
當(dāng)n＝k+1時(shí)，d2n﹣1＝d2k+1＝d2k+d2k﹣1＞0，d2n＝d2k+2＝d2k+1﹣d2k＝d2k+d2k﹣1﹣d2k＝d2k﹣1＞0．
因此，有對(duì)任意n∈N*，均有dn＞0．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，dn＝dn+1﹣dn+2＞0；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，dn＝dn+2﹣dn+1＞0，
所以dn＝|dn+2﹣dn+1|＞0對(duì)任意n∈N*均成立．
因此，{dn}中沒(méi)有0是數(shù)列{dn}為趨向遞增數(shù)列非充分條件．
所以數(shù)列{dn}為趨向遞增數(shù)列的必要非充分條件是{dn}中沒(méi)有0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列中的新定義，數(shù)列中的遞推關(guān)系式，充分條件與必要條件的判定等知識(shí)，屬于中等題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/8 10:22:37；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號(hào)：27613231

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