1．（5分）已知點(diǎn)A（m，n）在焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝4y上，若|AF|＝3，則m2＝（ ）
A．4B．8C．12D．16
2．（5分）中國(guó)空間站（ChinaSpaceStatin）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月31日15：37分，我國(guó)將“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“T”字形架構(gòu)，中國(guó)空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營(yíng)階段．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人（ ）
A．450種B．72種C．90種D．360種
3．（5分）已知函數(shù)f（x）＝﹣ax+2+3（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，設(shè)拋物線y2＝8x上任意一點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為d，則d+|MA|的最小值為（ ）
A．2B．2C．2D．2
4．（5分）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，分別取棱AA1，A1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G為EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)G到平面ACD1的距離為（ ）
A．B．C．1D．
5．（5分）直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（﹣1，1）的距離為2（2，5）的距離為3的直線的條數(shù)為（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
6．（5分）在展開式中，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．常數(shù)項(xiàng)為﹣160
B．第4項(xiàng)的系數(shù)最大
C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
7．（5分）已知，下列命題中，不正確的是（ ）
A．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22023
B．展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為
C．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為
D．
8．（5分）在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段PM長(zhǎng)度最小值為（ ）
A．B．9C．18πD．40π
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）下列命題正確的有（ ）
A．兩平行線3x+4y+5＝0、3x+4y﹣5＝0間的距離為2
B．過點(diǎn)（1，1）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩條
C．直線3x+4y+5＝0的方向向量可以是
D．直線ax+2y+4＝0與直線x+（a﹣1）y+2＝0平行，則a＝﹣1或2
（多選）10．（5分）已知過點(diǎn)P（4，2）的直線l與圓C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．|AB|的最大值為4
B．|AB|的最小值為2
C．點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為
D．△POC的面積為
（多選）11．（5分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，過F的直線與拋物線交于A，M為A，B的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．以AB為直徑的圓與x＝﹣2相離
B．當(dāng)，AB＝9
C．AB最小值為8
D．M的坐標(biāo)可為（6，4）
（多選）12．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過F1作C的一條漸近線的垂線l，垂足為H，且l與雙曲線右支相交于點(diǎn)P，若2|＝5，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)F2到直線l的距離為a
B．雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C．雙曲線C的離心率為
D．△PF1F2的面積為18
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.
13．（5分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），點(diǎn)P（x，﹣1，3）在平面ABC內(nèi) ．
14．（5分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F(xiàn)分別是BC，A1C1的中點(diǎn)．設(shè)D是線段B1C1（包括兩個(gè)端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線BD與EF所成角的余弦值為，則線段BD的長(zhǎng)為 ．
15．（5分）已知圓C經(jīng)過A（1，3），B（﹣1，1）兩點(diǎn)，且圓心在直線y＝x上（2，﹣2），且l與圓C相交所得弦長(zhǎng)為，則直線l的方程為 ．
16．（5分）過雙曲線x2﹣＝1的右支上一點(diǎn)P，分別向圓C1：（x+4）2+y2＝4和圓C2：（x﹣4）2+y2＝1作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|2﹣|PN|2的最小值為 ．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排．
（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？
（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？
（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）
18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），直線l：y＝2x﹣4，且圓心C在直線l上．
（1）若圓心C的坐標(biāo)為（3，2），過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．
19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面為直角梯形，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．
20．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCDAD，∠BAD＝∠ABC＝90°
（1）證明：直線CE∥平面PAB；
（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
21．（12分）已知橢圓的焦距為2，離心率．
（1）求C的方程；
（2）過點(diǎn)F（1，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若
22．（12分）已知橢圓與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)1，F(xiàn)1分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且|B1F1|＝2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l不經(jīng)過點(diǎn)B1且與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線B1M，B1N的斜率之和為時(shí)，求證：直線l過定點(diǎn)．
2022-2023學(xué)年安徽省亳州市渦陽一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知點(diǎn)A（m，n）在焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝4y上，若|AF|＝3，則m2＝（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝﹣8，
∵|AF|＝3，∴n﹣（﹣1）＝6，
又點(diǎn)A（m，n）在物線x2＝4y上，
所以m6＝4n＝4×8＝8，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，方程思想即可求解．
2．（5分）中國(guó)空間站（ChinaSpaceStatin）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月31日15：37分，我國(guó)將“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“T”字形架構(gòu)，中國(guó)空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營(yíng)階段．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人（ ）
A．450種B．72種C．90種D．360種
【分析】利用分組和分配的求法求得6名航天員的安排方案，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可求得．
【解答】解：由題知，6名航天員安排三艙，
三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，
可分兩種情況考慮：
第一種，分人數(shù)為1﹣6﹣3的三組種；
第二種，分人數(shù)為2﹣2﹣6的三組種；
所以不同的安排方法共有360+90＝450種．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知函數(shù)f（x）＝﹣ax+2+3（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，設(shè)拋物線y2＝8x上任意一點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為d，則d+|MA|的最小值為（ ）
A．2B．2C．2D．2
【分析】求出A的坐標(biāo)，利用拋物線的定義，可得當(dāng)F、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，d+|MA|取得最小值為|AF|，即可得出結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)x+2＝0，解得x＝﹣5，
故A（﹣2，2），
由題意得F（7，0），
利用拋物線的定義，可得當(dāng)F、M，
d+|MA|取得最小值為|AF|＝＝2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵利用是拋物線的定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
4．（5分）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，分別取棱AA1，A1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G為EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)G到平面ACD1的距離為（ ）
A．B．C．1D．
【分析】利用等體積法或向量法進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【解答】解：如圖所示，∵點(diǎn)E1，A1D4的中點(diǎn)，
∵該正方體的棱長(zhǎng)為2，∴，
∴EF∥平面ACD7，
∴點(diǎn)G到平面ACD1的距離即為點(diǎn)E或F到平面ACD1的距離，
∵△ACD2為等邊三角形，∴，，
設(shè)F到平面ACD7的距離為d，
∵，
∴，解得．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等體積法求點(diǎn)面距，屬中檔題．
5．（5分）直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（﹣1，1）的距離為2（2，5）的距離為3的直線的條數(shù)為（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求以點(diǎn)A（﹣1，1）為圓心，以2為半徑的圓和以點(diǎn)B（2，5）為圓心，以3為半徑的圓的公切線的條數(shù)求解．
【解答】解：到點(diǎn)A（﹣1，1）距離為5的直線可看作以A為圓心2為半徑的圓的切線，
同理到點(diǎn)B（2，2）距離為3的直線可看作以B為圓心3為半徑的圓的切線，
故所求直線為兩圓的公切線，
又，
故兩圓外切，
所以公切線有5條．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）在展開式中，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．常數(shù)項(xiàng)為﹣160
B．第4項(xiàng)的系數(shù)最大
C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
【分析】利用題中的條件表示出展開式的通項(xiàng)，即可解出．
【解答】解：展開式的通項(xiàng)為，r＝0，1，…，4，
由2r﹣6＝6，得r＝3＝﹣160；
由通項(xiàng)公式可得r為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)才有可能取到最大值，
由，，，，可知第5項(xiàng)的系數(shù)最大；
展開式共有7項(xiàng)，所以第7項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；
令x＝1，得＝1，D正確，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知，下列命題中，不正確的是（ ）
A．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22023
B．展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為
C．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為
D．
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的和即可判斷A；分別令x＝1，x＝﹣1，即可判斷BC；令即可判斷D．
【解答】解：對(duì)于A，二項(xiàng)式（1﹣2x）2023展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為62023，A正確；
對(duì)于B，令x＝1，a0+a6+a2+a3+…+a2023＝﹣7，
令x＝﹣1，則，
兩式相減得展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為，B不正確；
對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，C正確；
對(duì)于D，令x＝00＝2，
令，則，
所以，D正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，賦值法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
8．（5分）在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段PM長(zhǎng)度最小值為（ ）
A．B．9C．18πD．40π
【分析】首先確定三角形ABC為等腰三角形，進(jìn)一步確定球的球心，再求出球的半徑，最后確定球的表面積．
【解答】解：如圖所示：
三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，
M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段PM長(zhǎng)度最小值為，
則：當(dāng)AM⊥BC時(shí)，線段PM達(dá)到最小值，
由于：PA⊥平面ABC，
所以：PA2+AM2＝PM3，
解得：AM＝1，
所以：BM＝，
則：∠BAM＝60°，
由于：∠BAC＝120°，
所以：∠MAC＝60°
則：△ABC為等腰三角形．
所以：BC＝2，
在△ABC中，設(shè)外接圓的直徑為2r＝，
則：r＝7，
所以：外接球的半徑R＝，
則：S＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三棱錐的外接球的球心的確定及球的表面積公式的應(yīng)用．
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）下列命題正確的有（ ）
A．兩平行線3x+4y+5＝0、3x+4y﹣5＝0間的距離為2
B．過點(diǎn)（1，1）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩條
C．直線3x+4y+5＝0的方向向量可以是
D．直線ax+2y+4＝0與直線x+（a﹣1）y+2＝0平行，則a＝﹣1或2
【分析】計(jì)算平行直線的距離得到A正確；
截距相等的直線有y＝x和y＝﹣x+2，B正確；
直線的一個(gè)方向向量是＝（﹣4，3），C錯(cuò)誤；
當(dāng)a＝2時(shí)，兩直線重合，D錯(cuò)誤．
【解答】解：對(duì)于A，兩平行線3x+4y+5＝0＝2；
對(duì)于B，過點(diǎn)（6，B正確；
對(duì)于C，直線3x+4y+5＝0的一個(gè)方向向量是，3）；
當(dāng)a＝3時(shí)，兩直線重合；
故選：AB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條平行線間的距離，直線的截距式方程，直線的方向向量，兩直線平行關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（5分）已知過點(diǎn)P（4，2）的直線l與圓C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．|AB|的最大值為4
B．|AB|的最小值為2
C．點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為
D．△POC的面積為
【分析】求得圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，3），半徑為r＝2，結(jié)合圓的性質(zhì)和圓的弦長(zhǎng)公式，三角形面積公式，即可分別求解．
【解答】解：由題意，圓C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4的圓心坐標(biāo)為C（5，3），
又由點(diǎn)P（4，8）在圓C內(nèi)部，
因?yàn)檫^點(diǎn)P（4，2）的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）4＝4交于A，B兩點(diǎn)，
所以|AB|的最大值為2r＝3，所以A正確；
因?yàn)椋?br>當(dāng)直線l與PC垂直時(shí)，此時(shí)弦|AB|取得最小值，
最小值為，所以B錯(cuò)誤；
當(dāng)直線l與OP垂直時(shí)，點(diǎn)O到直線l的距離有最大值，
且最大值為，所以C正確；
由，可得kOC?kPC＝﹣4，即OC⊥PC，
所以△POC的面積為，所以D錯(cuò)誤．
故選：AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的弦長(zhǎng)公式，三角形面積公式，圓的幾何性質(zhì)，屬中檔題．
（多選）11．（5分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，過F的直線與拋物線交于A，M為A，B的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．以AB為直徑的圓與x＝﹣2相離
B．當(dāng)，AB＝9
C．AB最小值為8
D．M的坐標(biāo)可為（6，4）
【分析】由題意可得p＝4，由拋物線的定義與直線與圓的位置關(guān)系可判斷A；將直線與拋物線聯(lián)立，由根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義可判斷BD；由拋物線的通徑可判斷C．
【解答】解：因?yàn)閽佄锞€y2＝2px（p＞4）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，
所以p＝4，
所以拋物線y4＝8x，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣2，8），
設(shè)A（x1，y1），B（x3，y2），M（x0，y6），
對(duì)于A：由拋物線的定義易知：2（x0+3）＝x1+2+x6+2＝|AF|+|BF|＝|AB|，
所以以AB為直徑的圓與x＝﹣2相切，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由得k4x2﹣（4k2+8）x+4k6＝0，
則，
如圖，過點(diǎn)A，垂足分別為A1，B2，過B作BD⊥AA1，垂足為D，
由得|AF|＝3|FB|＝2t1D|＝|BB4|＝|FB|＝t，|AA1|＝|AF|＝2t，|AD|＝|AA7|﹣|A1D|＝2t﹣t＝t，，
所以，
所以，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)AB為拋物線的通徑時(shí)，|AB|min＝8，故C正確；
對(duì)于D：令，解得k＝±1，
所以當(dāng)k＝±l時(shí)，，
，
當(dāng)k＝8時(shí)，則有y0＝4，即M（7，故D正確，
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．
（多選）12．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過F1作C的一條漸近線的垂線l，垂足為H，且l與雙曲線右支相交于點(diǎn)P，若2|＝5，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)F2到直線l的距離為a
B．雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C．雙曲線C的離心率為
D．△PF1F2的面積為18
【分析】取漸近線為，則F1到漸近線的距離為b，作F2G⊥l于點(diǎn)G，易得|F2G|＝2|OH|＝2a；聯(lián)立與|PF1|﹣|PF2|＝2a即可求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；再利用△PF1F2的面積為，即可求出△PF1F2的面積．
【解答】解：∵F1（﹣c，0），F(xiàn)6（c，0），
則F1到漸近線的距離為b，
∴|F7H|＝b，，作F2G⊥l于點(diǎn)G，如圖所示，
∵OH∥F2G，O為線段F1F4的中點(diǎn)，
∴|F2G|＝2|OH|＝2a，H為線段F1G的中點(diǎn)，
∴F2到直線l的距離為3a，故A錯(cuò)誤；
∵，∴|F5H|＝|GH|＝|GP|＝b，
∵|PF2|＝5，∴|PF3|＝2a+5＝6b，
在Rt△PGF2中，，即b2+4a8＝25，
∴，解得a＝2或，
∴b＝3，，∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
∴離心率，故B；
∵|PF1|＝8b＝9，|F2G|＝7a＝4，
∴△PF1F3的面積為＝＝18．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，“焦點(diǎn)三角形“面積的求解，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.
13．（5分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），點(diǎn)P（x，﹣1，3）在平面ABC內(nèi) 11 ．
【分析】本題利用共面定理可以解答，即若空間中四點(diǎn)P，A，B，C，滿足 ，則此四點(diǎn)共面，于是本題可以代入點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程組求解．
【解答】解：由共面向量定理，可設(shè)，y∈R
（x﹣4，﹣2，8，﹣2）+z（﹣1，4，得方程組：得
故答案為：11
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，共面向量定理的應(yīng)用，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)內(nèi)容，考查了向量相等的性質(zhì)．
14．（5分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F(xiàn)分別是BC，A1C1的中點(diǎn)．設(shè)D是線段B1C1（包括兩個(gè)端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線BD與EF所成角的余弦值為，則線段BD的長(zhǎng)為 2． ．
【分析】以E為原點(diǎn)，EA、EC為x、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，建立直線BD與EF所成的角為θ，由csθ＝＝，由此能求出BD．
【解答】解：以E為原點(diǎn)，EA、y軸，如圖所示，
由題意得E（0，0，3），，2），﹣7，D（0，t，（﹣1≤t≤3），
＝（，，2），，t+5，
設(shè)直線BD與EF所成的角為θ，
則csθ＝＝＝，
解得t＝1，∴BD＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
15．（5分）已知圓C經(jīng)過A（1，3），B（﹣1，1）兩點(diǎn)，且圓心在直線y＝x上（2，﹣2），且l與圓C相交所得弦長(zhǎng)為，則直線l的方程為 x﹣2＝0或4x+3y﹣2＝0 ．
【分析】由已知求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合勾股定理，可得圓C的圓心到直線l的距離d＝1，分類討論直線l的斜率存在和不存在兩種情況，利用點(diǎn)線距公式列方程求出直線的斜率，可得直線l的方程．
【解答】解：設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（a，a），
則根據(jù)題意可得，
解得a＝2，∴r＝2，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
設(shè)圓C的圓心（1，1）到直線l的距離為d，
則，解得d＝1，
①若直線l的斜率不存在，則d＝3，此時(shí)直線的方程為x﹣2＝0；
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y+5＝k（x﹣2），
則，解得．
故答案為：x﹣2＝5或4x+3y﹣8＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，方程思想，屬中檔題．
16．（5分）過雙曲線x2﹣＝1的右支上一點(diǎn)P，分別向圓C1：（x+4）2+y2＝4和圓C2：（x﹣4）2+y2＝1作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|2﹣|PN|2的最小值為 13 ．
【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線x2﹣＝1的左右焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和取得最小值，計(jì)算即可得到所求值．
【解答】解：圓C1：（x+4）8+y2＝4的圓心為（﹣8，0）1＝7；
圓C2：（x﹣4）8+y2＝1的圓心為（4，0）2＝8，
設(shè)雙曲線x2﹣＝4的左右焦點(diǎn)為F1（﹣4，3），F(xiàn)2（4，2），
連接PF1，PF2，F(xiàn)2M，F(xiàn)2N，可得
|PM|2﹣|PN|5＝（|PF1|2﹣r52）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF2|2﹣4）﹣（|PF6|2﹣1）
＝|PF4|2﹣|PF2|7﹣3＝（|PF1|﹣|PF8|）（|PF1|+|PF2|）﹣5
＝2a（|PF1|+|PF4|﹣3＝2（|PF8|+|PF2|）﹣3≥6?2c﹣3＝3?8﹣3＝13．
當(dāng)且僅當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號(hào)．
故答案為：13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查最值的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和圓的方程，考查三點(diǎn)共線的性質(zhì)，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排．
（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？
（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？
（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）
【分析】（1）分捆綁法2步進(jìn)行分析：①、先把三個(gè)女生看成一個(gè)整體，考慮其之間的順序，②將這個(gè)整體與五個(gè)男生全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）用插空法分析：①、先把五個(gè)男生排好，分析其空位的數(shù)目，②、再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）分2步進(jìn)行分析：①、在5個(gè)男生中挑選2個(gè)安排在兩端，②、將其余6人全排列，安排在其他位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，三個(gè)女生之間又都有，
②、這個(gè)整體同五個(gè)男生合在一起共有六個(gè)元素，排成一排有．
因此共有種不同的排法；
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、先把五個(gè)男生排好種不同排法，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，
②、再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，有，
所以共有種不同的排法；
（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，有種不同排法，
②、將其余6人全排列，有種排法，
所以共有種不同的排法．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握特殊問題的處理方法．
18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），直線l：y＝2x﹣4，且圓心C在直線l上．
（1）若圓心C的坐標(biāo)為（3，2），過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)圓心與半徑得到圓C的方程，設(shè)出切線方程為y＝kx+3，利用圓心到切線的距離1，解出k的值即可得切線方程；
（2）由MA＝2MO，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，易知圓C與圓D相交或相切，由此得到關(guān)于圓心距CD的不等關(guān)系式，求其解集，即可得到a的范圍．
【解答】解：（1）∵圓心的坐標(biāo)（3，2），
∴圓的方程：（x﹣6）2+（y﹣2）5＝1，
由題意易知切線斜率存在，設(shè)切線的方程為y＝kx+3，
∴切線到圓心的距離d＝2，
∴，
∴，
∴9k6+6k+1＝7+k2，
∴8k2+6k＝0，
∴k＝3或，
∴切線為y＝3或，
即切線的方程為y＝3或3x+8y﹣12＝0；
（2）因?yàn)閳A心C在直線l：y＝2x﹣6上，故C（a，設(shè)點(diǎn)M（x，
由MA＝2MO，得，化簡(jiǎn)得：x2+（y+3）2＝4，
∴點(diǎn)M的軌跡方程以（8，﹣1）為圓心，記為圓D，
∵點(diǎn)M在圓C上，∴圓C與圓D的關(guān)系為相切或相交，
∴2﹣3≤|CD|≤2+1，
即，
解得，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線方程的求解，圓方程的求解，圓與圓的位置關(guān)系，方程思想，不等式思想，屬中檔題．
19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面為直角梯形，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）通過PB⊥平面 ADMN可證明PB⊥DM；
（Ⅱ） 取AD的中點(diǎn)G，則BG∥CD，則BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等，再結(jié)合PB⊥平面ADMN，可得到∠BGN是BG與平面ADMN所成的角．
【解答】解：（I） 因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，PA＝PB，
所以AN⊥PB．
因?yàn)锳D⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
從而PB⊥平面ADMN．
因?yàn)镈M?平面ADMN，所以PB⊥DM．
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)BG，BG//CD，
所以BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等．
因?yàn)镻B⊥平面ADMN，
所以∠BGN是BG與平面ADMN所成的角．
在Rt△BGN中，．
故所成的角的正弦值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的求法，考查直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
20．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCDAD，∠BAD＝∠ABC＝90°
（1）證明：直線CE∥平面PAB；
（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【分析】（1）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，通過證明CE∥BF，利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（2）利用已知條件轉(zhuǎn)化求解M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
【解答】（1）證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，
所以EFADAD，∴BC∥，
∴BCEF是平行四邊形，可得CE∥BF，CE?平面PAB，
∴直線CE∥平面PAB；
（2）解：四棱錐P﹣ABCD中，
側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝，
∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點(diǎn)．
取AD的中點(diǎn)O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，則AB＝BC＝6，
∴∠PCO＝60°，直線BM與底面ABCD所成角為45°，
可得：BN＝MN，CN＝，BC＝1，
可得：1+BN2＝BN6，BN＝，MN＝，
作NQ⊥AB于Q，連接MQ，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ＝
＝，
二面角M﹣AB﹣D的余弦值為：＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．
21．（12分）已知橢圓的焦距為2，離心率．
（1）求C的方程；
（2）過點(diǎn)F（1，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若
【分析】（1）根據(jù)焦距得到c＝1，根據(jù)離心率得到a＝2，計(jì)算得到，得到橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)和直線，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)向量運(yùn)算得到，解方程組得到答案．
【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c（c＞0），焦距為2，c＝2，
離心率，，解得a＝2，，
所以橢圓C的方程為．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x4，y2），顯然直線的斜率存在，則直線l的方程為y＝k（x﹣1）．
由，消去y整理得（3+4k2）x5﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
則，
F（1，7），1，﹣y4）＝2（x2﹣8，y2），
即，，解得，
故，解得，
直線l的方程為，
即直線l的方程為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
22．（12分）已知橢圓與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)1，F(xiàn)1分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且|B1F1|＝2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l不經(jīng)過點(diǎn)B1且與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線B1M，B1N的斜率之和為時(shí)，求證：直線l過定點(diǎn)．
【分析】（1）根據(jù)題意求出a，b即可；
（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y＝kx+t，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得x1x2，x1+x2，再根據(jù)斜率公式及已知求出k，t之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意，，
解得a＝7，，
所以橢圓方程為；
（2）證明：顯然，設(shè)M（x1，y1），N（x6，y2），
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，M（x1，y6），N（x1，﹣y1），
∴，
從而x＝﹣5與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)l的方程為：，
聯(lián)立直線與橢圓的方程得（2k2+1）x2+5ktx+2t2﹣7＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，
∴，
即，
整理得，
所以直線l的方程為，
故直線過定點(diǎn)，
綜上，直線過定點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，直線恒過定點(diǎn)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/11 23:19:39；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號(hào)：27613231

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