一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．E．均不是
2．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．E．均不是
3．已知，分別是關(guān)于的方程，的根，則下面為定值2023的是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
4．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
5．以下不滿足的角是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
6．已知，為雙曲線（，）的兩個焦點，為雙曲線上的任意一點，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3E．均不是
7．設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若對任意正整數(shù)都有，則（ ）
A．B．C．D．E．均不是
8．一個彈性小球從10米自由落下，著地后反彈到原來高度的處，再自由落下，又彈回到上一次高度的處，假設(shè)這個小球能無限次反彈，則這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為（ ）
A．50B．60C．70D．80E．均不是
9．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．E．均不是
10．已知，則被10除所得的余數(shù)為（ ）
A．9B．3C．1D．0E．均不是
11．在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
12．過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1B．C．D．E．均不是
13．已知圓：（）與雙曲線：（，），若在雙曲線上存在一點，使得過點所作的圓的兩條切線，切點為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
14．如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當(dāng)點沿運動時，點經(jīng)過的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是（ ）
A．B．
C．D．
E．均不是
15．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)的最小正周期是；
②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；
③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；
④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4E．0
二、解答題
16．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的取值范圍；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值.
17．設(shè)數(shù)列滿足，．
(1)計算，猜想的通項公式并加以證明；
(2)求數(shù)列，求的前項和．
18．已知雙曲線的漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為，過點作直線（不與軸重合）與雙曲線相交于兩點，過點作直線的垂線為垂足．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在實數(shù)，使得直線過定點，若存在，求的值及定點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
19．一般地，任何一個復(fù)數(shù)（，）都可以表示成形式，其中，是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，（，）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”.
(1)畫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.試求（結(jié)果表示代數(shù)形式）.
20．已知關(guān)于的不等式的解集為.
(1)求，的值；
(2)求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積.
參考答案：
1．D
【分析】
求二次函數(shù)值域可得集合，解指數(shù)不等式可得集合，再求交集即可.
【詳解】因為，所以，所以，
又因為，所以.
所以.
故選：D.
2．D
【分析】
運用對數(shù)運算公式計算即可.
【詳解】由題意知，，，，
因為，，
所以由換底公式可得，，
又因為（），
所以，
所以由換底公式可得.
故選：D.
3．C
【分析】
由與關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱可得與為同一點即可求得結(jié)果.
【詳解】由已知條件可知，，，
令，，，
如圖所示，
曲線與曲線關(guān)于直線對稱，曲線關(guān)于直線對稱，
設(shè)曲線分別與曲線，交于點， ，
則點，關(guān)于直線對稱，
而點關(guān)于直線對稱的點為，即為點，
則，即.
故選：C.
4．A
【分析】
結(jié)合圖象變換求得解析式，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意知，（）
又因為為偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對稱.
所以，，解得，，
又，所以當(dāng)時，取得最小值為.
故選：A.
5．D
【分析】
利用誘導(dǎo)公式及反三角函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】對于A項，，故A項正確；
對于B項，令，則，所以，故B項正確；
對于C項，，故C項正確；
對于D項，，故D項不成立.
故選：D.
6．A
【分析】
設(shè)出點，，坐標(biāo)，運用數(shù)量積坐標(biāo)公式可得，結(jié)合可得，進而可求得離心率.
【詳解】如圖，
設(shè)，，，
則（當(dāng)且僅當(dāng)在頂點時取等號），
所以，即，
所以.
故選：A.
7．C
【分析】
運用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前項和公式求解即可.
【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得，
.
故選：C.
8．C
【分析】
運用等比數(shù)列求和公式計算可得解析式，結(jié)合極限思想即可求解.
【詳解】由題意知，這個小球在這次運動中第次反彈著地后所經(jīng)過的總路程為，
假設(shè)這個小球能無限次反彈，
所以這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為.
故選：C.
9．C
【分析】在上取點，使，連接、，過點作于點，結(jié)合題意可得平面，平面，故點到直線距離的最小值為，計算出即可得.
【詳解】在上取點，使，連接、，過點作于點，
由，故，又平面， 平面，
故平面，由平面，平面，故，
故，又，，、平面，
故平面，故到平面的距離為，
又在線段上，故點到直線距離的最小值為，
由，故，則，
故.
故選：C.
10．C
【分析】
由題意可得，將其展開式寫出后可得，即可得解.
【詳解】，
由，
故被10除所得的余數(shù)為.
故選：C.
11．B
【分析】由題意，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個陽爻包含基本事件數(shù)為，由此能求出這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率.
【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，
基本事件的總數(shù)為，
這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數(shù)為，
所以這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是.
故選：B.
12．B
【分析】
得到圓的圓心與半徑后，借助切線性質(zhì)可得，即可得，即可得.
【詳解】圓可化為，即圓心為，半徑為，
故圓心到點的距離為，
則，由，故，
故.
故選：B.
13．B
【分析】由圓的切線的性質(zhì)可得，即雙曲線與圓有交點，即，即可計算離心率的范圍.
【詳解】由，故，則，
即雙曲線與圓有交點，
即，即，即，
即雙曲線的離心率的取值范圍是.
故選：B.
14．A
【分析】
求出點在對應(yīng)線段上時的解析式，結(jié)合圖象判斷即可得.
【詳解】當(dāng)點在上時，，
當(dāng)點在上時，
，
當(dāng)點在上時，，
其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.
故選：A.
15．B
【分析】根據(jù)降冪公式和輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可判斷.
【詳解】，
對于①，因為，則的最小正周期，故①錯誤；
對于②，由函數(shù)解析式可知，滿足時單調(diào)遞減，
解得，當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，故②正確；
對于③，由函數(shù)解析式可知，對稱軸滿足，
解得，所以當(dāng)時，對稱軸為，故③正確；
對于④，函數(shù)的圖象向左平移個單位可得，故④錯誤.
故正確結(jié)論的個數(shù)是個.
故選：B.
16．(1)
(2)
【分析】（1）對函數(shù)配方后，可得其對稱軸，從而可求得其單調(diào)區(qū)間，進而可求出的取值范圍，
（2）對函數(shù)配方后，可得其對稱軸，然后分和兩種情況求出函數(shù)的最大值
【詳解】（1）當(dāng)時，，
對稱軸為直線，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，，
函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是；
（2）當(dāng)時，，
對稱軸為直線，
當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值；
當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值；
函數(shù)在上的最大值.
17．(1)，，，猜想，證明見解析
(2)
【分析】
（1）利用遞推關(guān)系式可求得，由此可猜想得到通項公式；利用數(shù)學(xué)歸納法可證得通項公式成立；
（2）由（1）可得，采用錯位相減法可求得.
【詳解】（1）由，得：；；；
由此可猜想，證明如下：
當(dāng)時，，即成立；
假設(shè)當(dāng)時，成立，
那么當(dāng)時，，即成立；
綜上所述：當(dāng)時，.
（2）由（1）得：，
，，
兩式作差得：，
.
18．(1)
(2)存在實數(shù)，使得直線過定點
【分析】
（1）焦點到漸近線的距離為，在根據(jù)漸近線方程求出；
（2）計算出的直線方程，再令即可求出定點坐標(biāo).
【詳解】（1）
焦點到漸近線的距離不妨求直線的距離，漸近線方程，得
所以雙曲線方程為；
（2）
假設(shè)存在實數(shù)，使得直線過定點,
設(shè)直線，則．
聯(lián)立，消得
則．
直線，令得:
又
當(dāng)即時，為定值
所以存在實數(shù)，使得直線過定點.
19．(1)圖象見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)對應(yīng)的點在第四象限畫出圖象，求得復(fù)數(shù)的模和輔角即可；
（2）根據(jù)，進而求得，，再利用復(fù)數(shù)的乘法求解.
【詳解】（1）因為對應(yīng)的點在第四象限，
所以對應(yīng)的向量如圖所示.
易得，，，
所以.
所以.
（2）因為，
所以.
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三個“二次”的關(guān)系列方程求解；
（2）由約束條件畫出可行域，然后求面積即可.
【詳解】（1）由題意得是方程的兩根，
則，即有.
（2）由得，
由約束條件畫出可行域，如圖所示，
在中，分別令，2得，3，
在中，分別令，2得，，
則不等式組所表示的平面區(qū)域的面積.

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